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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中高二(上)第一次联考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={﹣2,0,1,3},B={﹣1,1,3},则A∪B元素的个数为( )
A.2 B.4 C.5 D.7
2.设向量=(1,2),=(m,m+1),∥,则实数m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
3.已知直线l1:(a+2)x+3y=5与直线l2:(a﹣1)x+2y=6平行,则直线l1在x轴上的截距为( )
A.﹣1 B. C.1 D.2
4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[14,18]内的频数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
5.函数f(x)=的定义域是( )
A.(9,+∞) B.(0,] C.[,+∞) D.(0,9]
6.如果实数x,y满足约束条件,则2x﹣y的最小值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.3
7.如图是一个程序框图,则输出的n的值是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
8.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥β C.若l∥β,则m⊥α D.若α∥β,则 l⊥m
9.函数y=(x2﹣1)e|x|的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.如图是﹣个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )
A.4 B.8 C.4 D.4
11.一条光线从点A(0,2)射入,与x轴相交于点B(2,0),经x轴反射后过点C(m,1),直线l过点C且分别与x轴和y轴的正半轴交于P,Q两点,O为坐标原点,则当△OPQ的面积最小时直线l的方程为(
A.x+=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
12.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分别是被BC,AB的中点,点F在棱CC1上,AB=BC=CA=CF=2,AA1=3,则下列说法正确的是( )
A.设平面ADF与平面BEC1的交线为l,则直线C1E与l相交
B.在棱A1C1上存在点N,使得三棱锥N﹣ADF的体积为
C.设点M在BB1上,当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF
D.在棱A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数f(x)=,则f(f(﹣3))= .
14.已知直线(sinθ)x+y﹣2=0的倾斜角为θ(θ≠0),则θ= .
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinB=2sinA,且△ABC的面积为a2sinB,则cosB= .
16.已知在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,在该四棱锥内部或表面任取一点O,则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直角△ABC的顶点A的坐标为(﹣3,0),直角顶点B的坐标为(1,),顶点C在x轴上.
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求直角△ABC的斜边中线所在的直线的方程.
18.为了参加2012贵州省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队,代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表:
班级
高三(7)班
高三(17)班
高二(31)班
高二(32)班
人数
12
6
9
9
(Ⅰ)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人数;
(Ⅱ)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率.
19.如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,E,F分别为线段DD1,BD的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π,求证:EF⊥平面EA1C1.
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公差不为0,数列{bn}满足bn=(an﹣1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
21.已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,m),m∈R
(1)若m=tan,且∥,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)将函数f(x)=2(+)•﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在[0,]上有零点,求m的取值范围.
22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,BC=PC,E是PA的中点.
(1)求证:PB⊥平面CDE;
(2)已知点M是AD的中点,点N是AC上一点,且平面PDN∥平面BEM.若BC=2AB=4,求点N到平面CDE的距离.
2016-2017学年山西省临汾一中、忻州一中、长治二中高二(上)第一次联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={﹣2,0,1,3},B={﹣1,1,3},则A∪B元素的个数为( )
A.2 B.4 C.5 D.7
【考点】并集及其运算.
【分析】由A与B,求出两集合的并集,找出并集元素个数即可.
【解答】解:∵A={﹣2,0,1,3},B={﹣1,1,3},
∴由集合元素的互异性得A∪B={﹣2,﹣1,0,1,3},
则A∪B的元素个数为5.
故选:C
2.设向量=(1,2),=(m,m+1),∥,则实数m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量平行的性质求解.
【解答】解:∵=(1,2),=(m,m+1),∥,
∴,
解得m=1.
故选:A.
3.已知直线l1:(a+2)x+3y=5与直线l2:(a﹣1)x+2y=6平行,则直线l1在x轴上的截距为( )
A.﹣1 B. C.1 D.2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出.
【解答】解:∵直线l1:(a+2)x+3y=5与直线l2:(a﹣1)x+2y=6平行,
∴=﹣,解得a=7,经过验证满足条件.
∴直线l1的方程为:9x+3y=5,令y=0,解得x=.
∴直线l1在x轴上的截距为.
故选:B.
4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[14,18]内的频数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图的性质求出样本数据落在[14,18]内的频率,由此能求出样本数据落在[14,18]内的频数.
【解答】解:由频率分布直方图的性质得:
样本数据落在[14,18]内的频率为: [1﹣(0.02+0.08+0.09)×4]=0.12,
∴样本数据落在[14,18]内的频数为100×0.12=12.
故选:D.
5.函数f(x)=的定义域是( )
A.(9,+∞) B.(0,] C.[,+∞) D.(0,9]
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据对数定义及二次根式性质求出f(x)定义域即可.
【解答】解:由题意得,
解得:0<x≤9,
则函数f(x)的定义域为(0,9].
故选:D.
6.如果实数x,y满足约束条件,则2x﹣y的最小值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.3
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组表示的可行域,以及直线y=2x,平移通过目标函数z=2x﹣y的几何意义,即可得到所求最小值.
【解答】解:作出约束条件表示的可行域,
作出直线y=2x,平移直线,当过点A(0,2)时,
2x﹣y取最小值﹣2.
故选:A.
7.如图是一个程序框图,则输出的n的值是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环后,p=19,n=3,不满足退出循环的条件,
第二次执行循环后,p=16,n=5,不满足退出循环的条件,
第三次执行循环后,p=11,n=7,不满足退出循环的条件,
第四次执行循环后,p=4,n=9,满足退出循环的条件,
故输出的n值为9,
故选:D
8.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥β,则l∥m B.若l⊥m,则α∥β C.若l∥β,则m⊥α D.若α∥β,则 l⊥m
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】A中l与m位置不确定,B中α与β可能相交,C中m与α的位置不确定,D正确.
【解答】解:对于A若α⊥β,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则l与m可能平行、可能相交也可能异面,故A不正确;
对于B,若l⊥m,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则α与β可能平行也可能相交,故B不正确;
对于C,m与α的位置不确定
对于D,若α∥β,直线l⊥平面α,则直线l⊥平面β,又∵直线m∥平面β,则l⊥m,故D正确;
故选:D.
9.函数y=(x2﹣1)e|x|的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象.
【分析】根据函数的函数奇偶性,值域即可判断.
【解答】解:因为f(﹣x)=(x2﹣1)e|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数,
所以图象关于y轴对称,故排除B,
当x→+∞时,y→+∞,故排除A
当﹣1<x<1时,y<0,故排除D
故选:C.
10.如图是﹣个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为( )
A.4 B.8 C.4 D.4
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:该几何体的直观图如图所示,面积最小的为侧面VAB.
【解答】解:视图可知:该几何体的直观图如图所示,
由三BA⊥平面VAD,可得BA⊥VA.
面积最小的为侧面Rt△VAB,
VA==4,AB=2.
∴S△VAB==4.
故选:D.
11.一条光线从点A(0,2)射入,与x轴相交于点B(2,0),经x轴反射后过点C(m,1),直线l过点C且分别与x轴和y轴的正半轴交于P,Q两点,O为坐标原点,则当△OPQ的面积最小时直线l的方程为(
A.x+=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】求出C的坐标,利用基本不等式,即可求出当△OPQ的面积最小时直线l的方程.
【解答】解:直线AB的斜率为﹣1,
则反射光线所在的直线方程为y=x﹣2,代入点C得m=3,即C(3,1).
设直线l的方程为=1(a>0,b>0),
则△OPQ的面积S=ab,且+=1≥2,即有ab≥12,
当且仅当=,即a=6,b=2等号成立,
此时△OPQ的面积S取最小值6,直线l的方程为+=1.
故选B.
12.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分别是被BC,AB的中点,点F在棱CC1上,AB=BC=CA=CF=2,AA1=3,则下列说法正确的是( )
A.设平面ADF与平面BEC1的交线为l,则直线C1E与l相交
B.在棱A1C1上存在点N,使得三棱锥N﹣ADF的体积为
C.设点M在BB1上,当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF
D.在棱A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】在A 中,连接CE,连接OF,推导出EC1∥l;在B中,若存在点N在A1C1上,则VD﹣AFN最小值为;在C中,当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF;在D中:过C1作C1G∥FA,交AA1于点G,推导出C1P⊥A1C1.
【解答】解:在A 中:连接CE,交AD于点O,则O为△ABC重心,
连接OF,由已知得OF∥EC1,则EC1∥l,故A错;
在B中:若存在点N在A1C1上,则VN﹣ADF=VD﹣AFN,
当N与C1重合时,VD﹣AFN取最小值为,故B错;
在C中:当BM=1时,由题意得△CBM≌△FCD,则∠BCM+∠CDF=90°,
∴CM⊥DF.
又∵AD⊥平面CB1,∴AD⊥CM,又DF∩AD=D,∴CM⊥平面ADF,
∵CM⊂平面CAM,∴平面CAM⊥平面ADF,故C正确;
在D中:过C1作C1G∥FA,交AA1于点G,
若在A1B1上存在点P,使得C1P⊥AF,则C1P⊥C1G,
又C1P⊥GA1,∴C1P⊥平面A1C1G1,∴C1P⊥A1C1,矛盾,故D错.
故选:C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数f(x)=,则f(f(﹣3))= 0 .
【考点】函数的值.
【分析】先求出f(﹣3)=(﹣3)2﹣1=8,从而f(f(﹣3))=f(8),由此能求出结果.
【解答】解:∵f(x)=,
∴f(﹣3)=(﹣3)2﹣1=8,
f(f(﹣3))=f(8)=3﹣log28=3﹣3=0.
故答案为:0.
14.已知直线(sinθ)x+y﹣2=0的倾斜角为θ(θ≠0),则θ= (或135°) .
【考点】直线的倾斜角.
【分析】求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角.
【解答】解:由题意得tanθ=﹣,
∵θ≠0,
∴cosθ=﹣,则θ=(或135°).
故答案是:(或135°).
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinB=2sinA,且△ABC的面积为a2sinB,则cosB= .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可求b=2a,利用三角形面积公式可求c=2a,进而利用余弦定理即可得解cosB的值.
【解答】解:∵由sinB=2sinA,
∴得:b=2a,
∵由△ABC的面积为a2sinB,得: acsinB=a2sinB,即c=2a,
∴cosB===.
故答案为:.
16.已知在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,在该四棱锥内部或表面任取一点O,则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为 .
【考点】几何概型.
【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用对应的体积比值求出对应的概率.
【解答】解:如图所示,AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H,
当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时,V三棱锥O﹣PAB≥;
在几何体CDEFGH中,连接GD、GE,
则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=,
又V四棱锥P﹣ABCD=,
则所求的概率为P==.
故答案为:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直角△ABC的顶点A的坐标为(﹣3,0),直角顶点B的坐标为(1,),顶点C在x轴上.
(1)求边BC所在直线的方程;
(2)求直角△ABC的斜边中线所在的直线的方程.
【考点】待定系数法求直线方程.
【分析】(1)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出.
(2)点C在x轴上,又x+y﹣2=0.可得C(2,0).利用中点坐标公式可得斜边AC的中点.可得直角△ABC的斜边中线OB的方程.
【解答】解:(1)依题意,直角△ABC的直角顶点为B(1,),
所以AB⊥BC,故kAB•kBC=﹣1.
又因为A(﹣2,0),
所以kAB==,从而kBC=﹣,
所以边BC所在直线的方程为y﹣=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0.
(2)因为直线BC的方程为x+y﹣2=0,点C在x轴上,
由y=0,得x=2,即C(2,0),所以斜边AC的中点为(0,0).
故直角△ABC的斜边中线为OB(O为坐标原点).
设直线OB:y=kx,把B(1,)代入,得k=,
所以直角△ABC的斜边中线OB所在的直线的方程是y=x.
18.为了参加2012贵州省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队,代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表:
班级
高三(7)班
高三(17)班
高二(31)班
高二(32)班
人数
12
6
9
9
(Ⅰ)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人数;
(Ⅱ)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法.
【分析】(1)先求出每个个体被抽到的概率,再用各个班的篮球队员人数乘以此概率,即得分别从这四个班抽出的队员人数.
(II)所有的选法有=15种,而选出的两名队员来自同一班的选法有+=7种,由此求得选出的两名队员来自同一班的概率.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,每个个体被抽到的概率等于,故应从高三(7)班中抽出人,
应从高三(17)班中抽出人,应从高二(31)班中抽出人,应从高二(32)班中抽出人.
(II)从高三年级抽出的队员共有4+2=6人,从中选出两位队员作为冠军的代表发言,所有的选法有=15种,
而选出的两名队员来自同一班的选法有+=7种,
则这两名队员来自同一班的概率等于 .
19.如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,E,F分别为线段DD1,BD的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π,求证:EF⊥平面EA1C1.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连接BD1,由EF为中位线,得EF∥D1B,由此能证明EF∥平面ABC1D1.
(2)推导出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R=2,求出AA1=2,推导出EF⊥A1E,A1C1⊥EF,由此能证明EF⊥平面EA1C1.
【解答】证明:(1)连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为线段DD1,BD的中点,
∴EF为中位线,
∴EF∥D1B,而D1B⊂面ABC1D1,EF⊄面ABC1D1,
∴EF∥平面ABC1D1.
(2)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π,
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R=2,
设AA1=a,则=2,解得a=2,
∵AB=2,∴EF2=4, =6, =10,
∴=,即EF⊥A1E,
∵A1C1⊥平面1D1D,∴A1C1⊥EF,
又A1C1∩A1E=A1,∴EF⊥平面EA1C1.
20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的公差不为0,数列{bn}满足bn=(an﹣1)2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)根据条件利用等比数列的公式,求出公差,即可求数列{an}的通项公式;
(2)求得数列{bn}的通项公式,采用乘以公比错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn.
【解答】解:(1)等差数列{an}公差为d,首项为a1,
∵a1,a3,a7成等比数列.
∴a32=a1a7,
即(a1+2d)2=a1(a1+6d),
化简得d=a1,或d=0.
当d=a1,S3=3a1+×a1=9,得a1=2,d=1.
∴an=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)=n+1,即an=n+1,
数列{an}的通项公式an=n+1;
当d=0时,S3=3a1=9,a1=3,
∴数列{an}的通项公式an=3;
(2)若数列{an}的公差不为0,an=n+1,
bn=(an﹣1)2n=(n+1﹣1)2n=n2n,
∴bn=n•2n,
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n,
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
两式相减:得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1,
=2n+1﹣2﹣n×2n+1,
∴Tn=(n﹣1)2n+1+2.
数列{bn}的前n项和Tn,Tn=(n﹣1)2n+1+2.
21.已知向量=(sinx,﹣1),=(cosx,m),m∈R
(1)若m=tan,且∥,求cos2x﹣sin2x的值;
(2)将函数f(x)=2(+)•﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在[0,]上有零点,求m的取值范围.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)利用诱导公式可求m,利用平面向量共线的坐标表示可求tanx,利用同角三角函数基本关系式即可化简求值.
(2)由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数f(x)的解析式,利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x),根据x的范围,可求2sin(2x﹣)的范围,令g(x)=0即可解得m的取值范围.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)∵m=,∥,…
∴3sinx+cosx=0,得tanx=﹣,…
∴cos2x﹣sin2x===…
(2)∵f(x)=2(+)•﹣2m2﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣2m﹣1
=sin2x+cos2x﹣2m=2sin(2x+)﹣2m,…
∴g(x)=2sin(2x﹣+)﹣2m=2sin(2x﹣)﹣2m,…
∵x∈[0,],
∴2x﹣∈[﹣,],则2sin(2x﹣)∈[﹣1,2],…
令g(x)=0,可得2m=2sin(2x﹣),
∴2m∈[﹣1,2],…
∴m的取值范围是[﹣,1]…
22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,BC=PC,E是PA的中点.
(1)求证:PB⊥平面CDE;
(2)已知点M是AD的中点,点N是AC上一点,且平面PDN∥平面BEM.若BC=2AB=4,求点N到平面CDE的距离.
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)取PB的中点为F,连接CF和EF,证明DC⊥PB,CF⊥PB,即可证明PB⊥平面CDE;
(2)利用VN﹣DCE=VE﹣DCN,求点N到平面CDE的距离.
【解答】(1)证明:取PB的中点为F,连接CF和EF,
∵E是PA的中点,∴EF∥AB∥DC,
∴平面CDE与平面CDEF为同一平面,
∵PC⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,
∴DCPC,DC⊥BC,即DC⊥平面PBC,∴DC⊥PB.
∵BC=PC,∴CF⊥PB,
∵CD∩CF=C,∴PB⊥平面CDE.
(2)解:过D作DG∥BM交BC于G,连接PG,
∵M是AD的中点,∴EM∥PD,
∵PD∩DG=D,∴平面PDG∥平面BEM,
∴当N是AC与DG的交点时,平面PDN∥平面BEM,
在矩形ABCD中,求得=,
∵BC=2AB=4,∴S△DCN=,S△DCN=2,
E到平面ABCD的距离为2,设点N到平面CDE的距离为d,
由VN﹣DCE=VE﹣DCN得,解得d=.