2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-3 椭圆及其性质（试题部分） 24页

‎§9.3　椭圆及其性质 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 椭圆的定 义及标 准方程 ‎①掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义解题;②掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程 ‎2019课标全国Ⅰ,12,5分 椭圆的方程 余弦定理 ‎★★☆‎ 椭圆的几 何性质 ‎①掌握椭圆的几何性质,并会熟练运用;②理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率 ‎2019课标全国Ⅱ,20,12分 椭圆的离心率 椭圆的定义 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅱ,11,5分 椭圆的离心率 椭圆的定义,焦点三角形 ‎2018课标全国Ⅰ,4,5分 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 ‎2019课标全国Ⅲ,15,5分 椭圆的几何性质 ‎—‎ 直线与椭 圆的位 置关系 ‎①掌握直线与椭圆位置关系的判断方法;②理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题 ‎2018课标全国Ⅲ,20,12分 直线与椭圆的位置关系 弦中点,向量的运算,弦长问题 ‎★★★‎ 分析解读 从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,因此要求学生在备考时注重以下内容:①能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程;②能熟练运用椭圆的几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率等)解决相关问题;③能够把直线与椭圆的位置关系问题转化为方程组解的问题,从而判断其位置关系,解决相关问题.在解答题中常以椭圆的方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系为主,同时与向量、函数、不等式等知识综合起来进行考查趋势逐渐加强,备考时应加以重视.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎1.(2019湖北重点中学第一次调研,11)点P是椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1上的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的周长是(　　)‎ A.12 B.10 C.8 D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018湖北十堰十三中质检,6)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,‎3‎)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎6‎=1 B.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎6‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1 D.x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　A　‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2020届河南新乡、许昌两市第二次联考,4)焦点在x轴上的椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a>0)的离心率为‎2‎‎2‎,则a=(　　)‎ A.6 B.6+3‎2‎ C.‎6‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2020届辽宁抚顺部分重点中学第二次联考,6)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎4‎=1的一个焦点坐标为(4,0),则a=(　　)‎ A.±2‎5‎ B.±2‎3‎ C.2‎3‎ D.2‎‎5‎ 答案　A　‎ ‎3.(2020届百师联盟第一次联考,5)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),F1、F2为其左、右焦点,|F1F2|=2‎2‎,B为短轴的一个端点,三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为‎7‎,则椭圆的长轴长为(　　)‎ A.4 B.8 C.‎1+‎‎33‎‎2‎ D.1+‎‎33‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018湖北武汉模拟,4)曲线x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎9‎=1与曲线x‎2‎‎25-k+y‎2‎‎9-k=1(k<9)的(　　)‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 答案　D　‎ ‎5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为‎1‎‎2‎,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 答案　B　‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 答案　A　‎ ‎2.过椭圆x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎3‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　求椭圆的标准方程的方法 ‎1.(2020届江西南昌重点中学9月联考,8)椭圆C1:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与双曲线C2:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1的离心率之积为‎3‎‎2‎,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1 B.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1‎ C.x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎3‎=1 D.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎8‎=1‎ 答案　C　‎ ‎2.已知椭圆C的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-‎2‎),‎-1,‎‎14‎‎2‎,则椭圆C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 方法2　求椭圆的离心率(或其取值范围)的方法 ‎1.(2017课标全国Ⅲ,11,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)‎ A.1-‎3‎‎2‎ B.2-‎3‎ C.‎3‎‎-1‎‎2‎ D.‎3‎-1‎ 答案　D　‎ ‎3.(2020届河南十所名校尖子生第二次联考,12)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点M为椭圆C上异于A,B的一点.直线AM和直线BM的斜率之积为-‎1‎‎4‎,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎15‎‎4‎ 答案　C　‎ ‎4.设F1(-c,0)、F2(c,0)分别是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线x=a‎2‎c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎2‎‎2‎ B.‎0,‎‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎‎,1‎ D.‎‎3‎‎3‎‎,1‎ 答案　D　‎ 方法3　解决弦中点问题的方法 ‎1.(2019湖南郴州一模,11)已知椭圆x‎2‎‎4‎+y‎2‎b‎2‎=1(0b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎5.(2019课标全国Ⅲ,15,5分)设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎20‎=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. ‎ 答案　(3,‎15‎)‎ ‎6.(2019课标全国Ⅱ,20,12分)已知F1,F2是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;‎ ‎(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.‎ 答案　本题主要考查椭圆的定义、简单的几何性质;考查数形结合的数学思想和逻辑思维能力与运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.‎ ‎(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=‎3‎c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(‎3‎+1)c,故C的离心率e=ca=‎3‎-1.‎ ‎(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当‎1‎‎2‎|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎ 即c|y|=16,①‎ x2+y2=c2,②‎ x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1.③‎ 由②③及a2=b2+c2得y2=b‎4‎c‎2‎,‎ 又由①知y2=‎1‎‎6‎‎2‎c‎2‎,故b=4.‎ 由②③得x2=a‎2‎c‎2‎(c2-b2),‎ 所以c2≥b2,‎ 从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4‎2‎.‎ 当b=4,a≥4‎2‎时,存在满足条件的点P.‎ 所以b=4,a的取值范围为[4‎2‎,+∞).‎ ‎7.(2018课标全国Ⅲ,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).‎ ‎(1)证明:k<-‎1‎‎2‎;‎ ‎(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA|+|FB|.‎ 答案　本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.‎ ‎(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x‎1‎‎2‎‎4‎+y‎1‎‎2‎‎3‎=1,x‎2‎‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎‎3‎=1.‎ 两式相减,并由y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=k得x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎+y‎1‎‎+‎y‎2‎‎3‎·k=0.‎ 由题设知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1,y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=m,于是k=-‎3‎‎4m.‎ 由题设得00)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,证明:‎3‎0.‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为π‎4‎.‎ 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)‎ 将x=y-2代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1得7y2-12y=0.‎ 解得y=0或y=‎12‎‎7‎,所以y1=‎12‎‎7‎.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=2×‎1‎‎2‎×‎12‎‎7‎×‎12‎‎7‎=‎144‎‎49‎.(4分)‎ ‎(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.‎ 由x1·(-2)=‎16k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎得x1=‎2(3-4k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 故|AM|=|x1+2|‎1+‎k‎2‎=‎12‎‎1+‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎.‎ 由题设,直线AN的方程为y=-‎1‎k(x+2),‎ 故同理可得|AN|=‎12k‎1+‎k‎2‎‎3k‎2‎+4‎.(7分)‎ 由2|AM|=|AN|得‎2‎‎3+4‎k‎2‎=k‎3k‎2‎+4‎,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)‎ 设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.‎ 又f(‎3‎)=15‎3‎-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(‎3‎,2)内,所以‎3‎b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=‎5‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求点E的坐标.‎ 答案　本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.‎ ‎(1)设椭圆C的焦距为2c.‎ 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.‎ 又因为DF1=‎5‎‎2‎,AF2⊥x轴,所以DF2=DF‎1‎‎2‎-‎F‎1‎F‎2‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.‎ 由b2=a2-c2,得b2=3.‎ 因此,椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,a=2.‎ 因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.‎ 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.‎ 因为点A在x轴上方,所以A(1,4).‎ 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.‎ 由y=2x+2,‎‎(x-1‎)‎‎2‎+y‎2‎=16,‎得5x2+6x-11=0,‎ 解得x=1或x=-‎11‎‎5‎.‎ 将x=-‎11‎‎5‎代入y=2x+2,得y=-‎12‎‎5‎.‎ 因此B‎-‎11‎‎5‎,-‎‎12‎‎5‎.‎ 又F2(1,0),所以直线BF2:y=‎3‎‎4‎(x-1).‎ 由y=‎3‎‎4‎(x-1),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=‎13‎‎7‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.‎ 将x=-1代入y=‎3‎‎4‎(x-1),得y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ 解法二:由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ 如图,连接EF1.‎ 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,‎ 从而∠BF1E=∠B.‎ 因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.‎ 所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.‎ 因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.‎ 因为F1(-1,0),由x=-1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎ 解得y=±‎3‎‎2‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎3.(2018天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为‎5‎‎3‎,|AB|=‎13‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.‎ 答案　(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c‎2‎a‎2‎=‎5‎‎9‎,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎13‎,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.‎ 易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组‎2x+3y=6,‎y=kx,‎消去y,可得x2=‎6‎‎3k+2‎.由方程组x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎y=kx,‎消去y,可得x1=‎6‎‎9k‎2‎+4‎.‎ 由x2=5x1,可得‎9k‎2‎+4‎=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-‎8‎‎9‎或k=-‎1‎‎2‎.‎ 当k=-‎8‎‎9‎时,x2=-9<0,不合题意,舍去;‎ 当k=-‎1‎‎2‎时,x2=12,x1=‎12‎‎5‎,符合题意.‎ 所以,k的值为-‎1‎‎2‎.‎ 考点二　椭圆的几何性质 ‎1.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b‎2‎与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎3‎ ‎2.(2019天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知‎3‎|OA|=2|OB|(O为原点).‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设经过点F且斜率为‎3‎‎4‎的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.‎ 答案　本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有‎3‎a=2b.‎ 又由a2=b2+c2,消去b得a2=‎3‎‎2‎a‎2‎+c2,解得ca=‎1‎‎2‎.‎ 所以,椭圆的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知,a=2c,b=‎3‎c,故椭圆方程为x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1.‎ 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=‎3‎‎4‎(x+c).‎ 点P的坐标满足x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎y=‎3‎‎4‎(x+c),‎消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-‎13c‎7‎.‎ 代入到l的方程,解得y1=‎3‎‎2‎c,y2=-‎9‎‎14‎c.‎ 因为点P在x轴上方,所以Pc,‎3‎‎2‎c.‎ 由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).‎ 因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t‎4‎=‎3‎‎2‎cc+2c,解得t=2.则C(4,2).‎ 因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得‎3‎‎4‎‎(4+c)-2‎‎1+‎‎3‎‎4‎‎2‎=2,可得c=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎1.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,焦点F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),圆O的直径为F1F2.‎ ‎(1)求椭圆C及圆O的方程;‎ ‎(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;‎ ‎②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,求直线l的方程.‎ 答案　解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),‎ 所以可设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 又点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆C上,所以‎3‎a‎2‎‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=3,‎ 解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1.‎ 因此,椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ 因为圆O的直径为F1F2,‎ 所以其方程为x2+y2=3.‎ ‎(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3.‎ 所以直线l的方程为y=-x‎0‎y‎0‎(x-x0)+y0,即y=-x‎0‎y‎0‎x+‎3‎y‎0‎.‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=-x‎0‎y‎0‎x+‎‎3‎y‎0‎消去y,得 ‎(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)x2-24x0x+36-4y‎0‎‎2‎=0.(*)‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)(36-4y‎0‎‎2‎)=48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)=0.‎ 因为x0,y0>0,所以x0=‎2‎,y0=1.‎ 因此,点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②因为三角形OAB的面积为‎2‎‎6‎‎7‎,所以‎1‎‎2‎AB·OP=‎2‎‎6‎‎7‎,从而AB=‎4‎‎2‎‎7‎.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(*)得 x1,2=‎24x‎0‎±‎‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎2(4x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎,‎ 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=‎1+‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎·‎48y‎0‎‎2‎(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(4x‎0‎‎2‎+‎y‎0‎‎2‎‎)‎‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=3,‎ 所以AB2=‎16(x‎0‎‎2‎-2)‎‎(x‎0‎‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=‎32‎‎49‎,即2x‎0‎‎4‎-45x‎0‎‎2‎+100=0.‎ 解得x‎0‎‎2‎=‎5‎‎2‎(x‎0‎‎2‎=20舍去),则y‎0‎‎2‎=‎1‎‎2‎,因此P的坐标为‎10‎‎2‎‎,‎‎2‎‎2‎.‎ 则直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ 解法二:(1)由题意知c=‎3‎,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆上,‎ 所以2a=‎(‎3‎-‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎+‎(‎3‎+‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎-0‎‎2‎=4,所以a=2.‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,‎ 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),‎ 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,‎ 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)·(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,‎ 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x‎2‎‎4‎+(kx+m)2=1,‎ 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 因为直线l与椭圆C相切,‎ 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,‎ 整理得m2=4k2+1,‎ 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-‎2‎,则m=3,‎ 将k=-‎2‎,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,‎ 整理得x2-2‎2‎x+2=0,‎ 解得x1=x2=‎2‎,将x=‎2‎代入x2+y2=3,‎ 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(‎2‎,1).‎ ‎②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,‎ 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-‎2‎,‎ 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ 解得x1,2=‎-8km±4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎2(4k‎2‎+1)‎,‎ 所以|x1-x2|=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎,‎ 因为AB=‎(x‎1‎-x‎2‎‎)‎‎2‎+(kx‎1‎-kx‎2‎‎)‎‎2‎=|x1-x2|k‎2‎‎+1‎=‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎,‎ O到l的距离d=‎|m|‎k‎2‎‎+1‎=‎3‎,‎ 所以S△OAB=‎1‎‎2‎·‎4‎‎4k‎2‎+1-‎m‎2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎‎|m|‎k‎2‎‎+1‎ ‎=‎1‎‎2‎·‎4‎k‎2‎‎-2‎‎4k‎2‎+1‎·k‎2‎‎+1‎·‎3‎=‎2‎‎6‎‎7‎,‎ 解得k2=5,因为k<0,所以k=-‎5‎,则m=3‎2‎,‎ 即直线l的方程为y=-‎5‎x+3‎2‎.‎ ‎2.(2018北京,20,14分)已知椭圆M:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎6‎‎3‎,焦距为2‎2‎.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)若k=1,求|AB|的最大值;‎ ‎(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q‎-‎7‎‎4‎,‎‎1‎‎4‎共线,求k.‎ 答案　(1)由题意得a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎,‎ca‎=‎6‎‎3‎,‎‎2c=2‎2‎,‎ 解得a=‎3‎,b=1.‎ 所以椭圆M的方程为x‎2‎‎3‎+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=x+m,‎x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎ 得4x2+6mx+3m2-3=0.‎ 所以x1+x2=-‎3m‎2‎,x1x2=‎3m‎2‎-3‎‎4‎.‎ ‎|AB|=‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(y‎2‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎=‎‎2(x‎2‎-‎x‎1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎2[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎12-3‎m‎2‎‎2‎.‎ 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为‎6‎.‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由题意得x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎=3,x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎=3.‎ 直线PA的方程为y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2).‎ 由y=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(x+2),‎x‎2‎‎+3y‎2‎=3,‎ 得[(x1+2)2+3y‎1‎‎2‎]x2+12y‎1‎‎2‎x+12y‎1‎‎2‎-3(x1+2)2=0.‎ 设C(xC,yC).‎ 所以xC+x1=‎-12‎y‎1‎‎2‎‎(x‎1‎+2‎)‎‎2‎+3‎y‎1‎‎2‎=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 所以xC=‎4x‎1‎‎2‎-12‎‎4x‎1‎+7‎-x1=‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 所以yC=y‎1‎x‎1‎‎+2‎(xC+2)=y‎1‎‎4x‎1‎+7‎.‎ 设D(xD,yD).‎ 同理得xD=‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎,yD=y‎2‎‎4x‎2‎+7‎.‎ 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,‎ 则kCQ-kDQ=y‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎1‎‎4x‎1‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎-y‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎-‎‎1‎‎4‎‎-12-7‎x‎2‎‎4x‎2‎+7‎‎+‎‎7‎‎4‎=4(y1-y2-x1+x2).‎ 因为C,D,Q三点共线,‎ 所以kCQ-kDQ=0.‎ 故y1-y2=x1-x2.‎ 所以直线l的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=1.‎ C组　教师专用题组 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎1.(2015广东,8,5分)已知椭圆x‎2‎‎25‎+y‎2‎m‎2‎=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为‎3‎‎3‎,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4‎3‎,则C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎3‎+y2=1‎ C.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎8‎=1 D.x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)设不过原点O且斜率为‎1‎‎2‎的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.‎ 答案　(1)由已知,a=2b.‎ 又椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)过点P‎3‎‎,‎‎1‎‎2‎,‎ 故‎3‎‎4‎b‎2‎+‎1‎‎4‎b‎2‎=1,解得b2=1.‎ 所以椭圆E的方程是x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为y=‎1‎‎2‎x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+m,‎得x2+2mx+2m2-2=0,①‎ 方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-‎2‎b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求直线BF的斜率;‎ ‎(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.‎ ‎(i)求λ的值;‎ ‎(ii)若|PM|sin∠BQP=‎7‎‎5‎‎9‎,求椭圆的方程.‎ 答案　(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=‎5‎‎5‎及a2=b2+c2,可得a=‎5‎c,b=2c.‎ 又因为B(0,b),F(-c,0),‎ 故直线BF的斜率k=b-0‎‎0-(-c)‎=‎2cc=2.‎ ‎(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).‎ ‎(i)由(1)可得椭圆的方程为x‎2‎‎5‎c‎2‎+y‎2‎‎4‎c‎2‎=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-‎5c‎3‎.‎ 因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-‎1‎‎2‎x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=‎40c‎21‎.‎ 又因为λ=‎|PM|‎‎|MQ|‎,及xM=0,可得λ=‎|xM-xP|‎‎|xQ-xM|‎=‎|xP|‎‎|xQ|‎=‎7‎‎8‎.‎ ‎(ii)由(i)有‎|PM|‎‎|MQ|‎=‎7‎‎8‎,所以‎|PM|‎‎|PM|+|MQ|‎=‎7‎‎7+8‎=‎7‎‎15‎,‎ 即|PQ|=‎15‎‎7‎|PM|.‎ 又因为|PM|sin∠BQP=‎7‎‎5‎‎9‎,‎ 所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=‎15‎‎7‎|PM|sin∠BQP=‎5‎‎5‎‎3‎.‎ 又因为yP=2xP+2c=-‎4‎‎3‎c,‎ 所以|BP|=‎0+‎‎5c‎3‎‎2‎‎+‎‎2c+‎‎4c‎3‎‎2‎=‎5‎‎5‎‎3‎c,‎ 因此‎5‎‎5‎‎3‎c=‎5‎‎5‎‎3‎,得c=1.‎ 所以,椭圆方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(1)若|PF1|=2+‎2‎,|PF2|=2-‎2‎,求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若|PQ|=λ|PF1|,且‎3‎‎4‎≤λ<‎4‎‎3‎,试确定椭圆离心率e的取值范围.‎ 答案　(1)由椭圆的定义得,2a=|PF1|+|PF2|=(2+‎2‎)+(2-‎2‎)=4,故a=2.‎ 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 ‎2c=|F1F2|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎=‎(2+‎2‎‎)‎‎2‎+(2-‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎3‎,即c=‎3‎,从而b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=1.‎ 故所求椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 ‎|QF1|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PQ‎|‎‎2‎=‎1+‎λ‎2‎|PF1|.‎ 由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 ‎|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.‎ 于是(1+λ+‎1+‎λ‎2‎)|PF1|=4a,‎ 解得|PF1|=‎4a‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎,‎ 故|PF2|=2a-|PF1|=‎2a(λ+‎1+‎λ‎2‎-1)‎‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎.‎ 由勾股定理得 ‎|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,‎ 从而‎4a‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎2‎+‎2a(λ+‎1+‎λ‎2‎-1)‎‎1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎2‎=4c2,‎ 两边除以4a2,得 ‎4‎‎(1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎)‎‎2‎‎+‎(λ+‎1+‎λ‎2‎-1‎‎)‎‎2‎‎(1+λ+‎‎1+‎λ‎2‎‎)‎‎2‎=e2.‎ 若记t=1+λ+‎1+‎λ‎2‎,则上式变成 e2=‎4+(t-2‎‎)‎‎2‎t‎2‎=8‎1‎t‎-‎‎1‎‎4‎‎2‎+‎1‎‎2‎.‎ 由‎3‎‎4‎≤λ<‎4‎‎3‎,并注意到t=1+λ+‎1+‎λ‎2‎关于λ的单调性,得3≤t<4,即‎1‎‎4‎<‎1‎t≤‎1‎‎3‎.‎ 进而‎1‎‎2‎b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于‎4‎‎5‎,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎3‎‎2‎ B.‎0,‎‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎‎,1‎ D.‎‎3‎‎4‎‎,1‎ 答案　A　‎ ‎3.(2013课标Ⅱ,5,5分)设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=‎3a‎2‎上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎5.(2011课标,4,5分)椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎8‎=1的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎6.(2010全国Ⅰ,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ ‎7.(2017天津,20,14分)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=‎3‎‎2‎c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎(i)求直线FP的斜率;‎ ‎(ii)求椭圆的方程.‎ 答案　(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得‎1‎‎2‎(c+a)c=b‎2‎‎2‎.‎ 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.‎ 又因为00),则直线FP的斜率为‎1‎m.‎ 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x‎2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=‎(2m-2)cm+2‎,y=‎3cm+2‎,即点Q的坐标为‎(2m-2)cm+2‎‎,‎‎3cm+2‎.由已知|FQ|=‎3‎‎2‎c,有‎(2m-2)cm+2‎‎+c‎2‎+‎3cm+2‎‎2‎=‎3c‎2‎‎2‎,整理得3m2-4m=0,所以m=‎4‎‎3‎,即直线FP的斜率为‎3‎‎4‎.‎ ‎(ii)由a=2c,可得b=‎3‎c,故椭圆方程可以表示为x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1.‎ 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得‎3x-4y+3c=0,‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎消去y,‎ 整理得7x2+6cx-13c2=0,‎ 解得x=-‎13c‎7‎(舍去),或x=c.因此可得点Pc,‎‎3c‎2‎,进而可得|FP|=‎(c+c‎)‎‎2‎+‎‎3c‎2‎‎2‎=‎5c‎2‎,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=‎5c‎2‎-‎3c‎2‎=c.‎ 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=‎3c‎2‎×‎3‎‎4‎=‎9c‎8‎,所以△FQN的面积为‎1‎‎2‎|FQ||QN|=‎27‎c‎2‎‎32‎,同理△FPM的面积等于‎75‎c‎2‎‎32‎,由四边形PQNM的面积为3c,得‎75‎c‎2‎‎32‎-‎27‎c‎2‎‎32‎=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎8.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为‎5‎‎10‎.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.‎ 答案　(1)由题设条件知,点M的坐标为‎2‎‎3‎a,‎1‎‎3‎b,‎ 又kOM=‎5‎‎10‎,从而b‎2a=‎5‎‎10‎.‎ 进而a=‎5‎b,c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=2b.‎ 故e=ca=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为a‎2‎‎,-‎b‎2‎,可得NM=a‎6‎‎,‎‎5b‎6‎.‎ 又AB=(-a,b),从而有AB·NM=-‎1‎‎6‎a2+‎5‎‎6‎b2=‎1‎‎6‎(5b2-a2).‎ 由(1)的计算结果可知a2=5b2,‎ 所以AB·NM=0,故MN⊥AB.‎ ‎9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为‎3‎‎4‎,求C的离心率;‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.‎ 答案　(1)根据c=a‎2‎‎-‎b‎2‎及题设知Mc,‎b‎2‎a,2b2=3ac.‎ 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=‎1‎‎2‎或ca=-2(舍去).‎ 故C的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b‎2‎a=4,即b2=4a,①‎ 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.‎ 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 ‎2(-c-x‎1‎)=c,‎‎-2y‎1‎=2,‎即x‎1‎‎=-‎3‎‎2‎c,‎y‎1‎‎=-1.‎ 代入C的方程,得‎9‎c‎2‎‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1.②‎ 将①及c=a‎2‎‎-‎b‎2‎代入②得‎9(a‎2‎-4a)‎‎4‎a‎2‎+‎1‎‎4a=1.‎ 解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=2‎7‎.‎ 考点三　直线与椭圆的位置关系 ‎1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ 答案　(1)设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0).‎ 由题意得a=2,‎ca‎=‎3‎‎2‎,‎解得c=‎3‎.‎ 所以b2=a2-c2=1.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).‎ 由题设知m≠±2,且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM=nm+2‎,故直线DE的斜率kDE=-m+2‎n.‎ 所以直线DE的方程为y=-m+2‎n(x-m).‎ 直线BN的方程为y=n‎2-m(x-2).‎ 联立y=-m+2‎n(x-m),‎y=n‎2-m(x-2),‎解得点E的纵坐标yE=-n(4-m‎2‎)‎‎4-m‎2‎+‎n‎2‎.‎ 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.‎ 所以yE=-‎4‎‎5‎n.‎ 又S△BDE=‎1‎‎2‎|BD|·|yE|=‎2‎‎5‎|BD|·|n|,‎ S△BDN=‎1‎‎2‎|BD|·|n|,‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎2.(2016天津,19,14分)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎3‎=1(a>‎3‎)的右焦点为F,右顶点为A.已知‎1‎‎|OF|‎+‎1‎‎|OA|‎=‎3e‎|FA|‎,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.‎ 答案　(1)设F(c,0),由‎1‎‎|OF|‎+‎1‎‎|OA|‎=‎3e‎|FA|‎,即‎1‎c+‎1‎a=‎3ca(a-c)‎,可得a2-c2=3c2,‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-2).‎ 设B(xB,yB),由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=k(x-2)‎消去y,‎ 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 解得x=2,或x=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,由题意得xB=‎8k‎2‎-6‎‎4k‎2‎+3‎,从而yB=‎-12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=‎9-4‎k‎2‎‎4k‎2‎+3‎‎,‎‎12k‎4k‎2‎+3‎.‎ 由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以‎4k‎2‎-9‎‎4k‎2‎+3‎+‎12kyH‎4k‎2‎+3‎=0,解得yH=‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 因此直线MH的方程为y=-‎1‎kx+‎9-4‎k‎2‎‎12k.‎ 设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),‎y=-‎1‎kx+‎‎9-4‎k‎2‎‎12k消去y,‎ 解得xM=‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎.‎ 在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM‎2‎=xM‎2‎+yM‎2‎,化简得xM=1,即‎20k‎2‎+9‎‎12(k‎2‎+1)‎=1,解得k=-‎6‎‎4‎,或k=‎6‎‎4‎.‎ 所以,直线l的斜率为-‎6‎‎4‎或‎6‎‎4‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:80分钟　分值:100分 一、选择题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2020届豫南九校第三次联考,4)若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+y‎2‎m=1的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎5‎ C.‎3‎‎2‎或‎5‎‎2‎ D.‎3‎‎2‎或‎5‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为‎1‎‎2‎,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若△F1AB的周长为8,则椭圆方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1 B.x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1‎ C.x‎2‎‎2‎+y2=1 D.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎4‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为(　　)‎ A.20 B.10 C.2‎5‎ D.4‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎4.(2020届陕西百校联盟9月联考,10)已知椭圆C:x‎2‎‎8‎+y‎2‎‎2‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与椭圆C交于M,N两点,且MA=AN,若|OA|=|AF2|,则直线l的斜率为(　　)‎ A.±1 B.±‎1‎‎2‎ C.±‎1‎‎3‎ D.±‎‎1‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎5.(2020届黑龙江顶级名校11月联考,11)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率e=‎1‎‎2‎,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)(　　)‎ A.必在圆x2+y2=2外 B.必在圆x2+y2=2上 C.必在圆x2+y2=2内 D.以上三种情形都有可能 答案　C　‎ ‎6.(2019广西南宁二中、柳州高中联考,8)已知圆F1:(x+2)2+y2=36,定点F2(2,0),A是圆F1上的一动点,线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点,则P点的轨迹C的方程是(　　)‎ A.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1 B.x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1‎ C.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎9‎=1‎ 答案　B　‎ ‎7.(2020届西南地区名师联盟8月联考,11)如图所示,已知椭圆方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),A为椭圆的左顶点,B、C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=45°,则椭圆的离心率为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎6‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎8.(2020届河南百校联盟10月联考,11)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A是椭圆上一点,线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B,若AB=3F‎2‎B,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎6‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎9.(2020届安徽A10联盟摸底,11)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x-3y-1=0对称,且线段MN中点的纵坐标为‎2‎‎3‎,则椭圆C的离心率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎10.(2019贵州铜仁东部联盟诊断,11)已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈π‎12‎‎,‎‎5π‎12‎,则该椭圆的离心率e的取值范围是(　　)‎ A.‎2‎‎2‎‎,‎‎6‎‎3‎ B.‎‎3‎‎3‎‎,‎‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎‎,‎‎6‎‎3‎ 答案　A　‎ 二、解答题(共50分)‎ ‎11.(2020届河南、安徽部分重点中学10月联考,21)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,△AF1F2的面积为1,且椭圆C的离心率为‎2‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)点M在椭圆上且位于第二象限,过点F1作直线l1⊥MF1,过点F2作直线l2⊥MF2,若直线l1,l2的交点N恰好在椭圆C上,求点M的坐标.‎ 答案　(1)由题意可得ca‎=‎2‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎‎·2c·b=1,‎a‎2‎‎-b‎2‎=c‎2‎,‎ 结合a>b>0,解得a=‎2‎,‎b=1,‎c=1.‎(3分)‎ 所以椭圆C的标准方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.(4分)‎ ‎(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).(5分)‎ 设M(x0,y0),则x0<0,y0>0.‎ 当x0=-1时,l2与l1相交于点F2,不符合题意.(6分)‎ 当x0≠-1时,直线MF1的斜率为y‎0‎x‎0‎‎+1‎,直线MF2的斜率为y‎0‎x‎0‎‎-1‎.‎ 因为l1⊥MF1,l2⊥MF2,所以直线l1的斜率为-x‎0‎‎+1‎y‎0‎,直线l2的斜率为-x‎0‎‎-1‎y‎0‎.(8分)‎ 所以直线l1的方程为y=-x‎0‎‎+1‎y‎0‎(x+1),直线l2的方程为 y=-x‎0‎‎-1‎y‎0‎(x-1).‎ 联立l1和l2的方程,解得x=-x0,y=x‎0‎‎2‎‎-1‎y‎0‎,‎ 所以N‎-x‎0‎,‎x‎0‎‎2‎‎-1‎y‎0‎.(10分)‎ 因为点M,N在椭圆C上,由椭圆的对称性,可知x‎0‎‎2‎‎-1‎y‎0‎=±y0,所以x‎0‎‎2‎-y‎0‎‎2‎=1或x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=1.‎ 由x‎0‎‎2‎‎-y‎0‎‎2‎=1,‎x‎0‎‎2‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎结合x0<0,y0>0,解得x‎0‎‎=-‎2‎‎3‎‎3‎,‎y‎0‎‎=‎3‎‎3‎.‎而x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1,‎x‎0‎‎2‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎无解,‎ 所以点M的坐标为‎-‎2‎‎3‎‎3‎,‎‎3‎‎3‎.(12分)‎ ‎12.(2020届皖北协作体第二次联考,20)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎9‎=1的上焦点,C上一点A在第一象限,且|OA|=‎5‎.‎ ‎(1)求直线AF的方程;‎ ‎(2)若斜率为-‎1‎‎2‎的直线l交椭圆C于不同的两点M、N,求△OMN面积的最大值.‎ 答案　(1)设A(x0,y0)(x0>0,y0>0),因为|OA|=‎5‎,所以x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=‎5‎,‎ 又因为点A在椭圆上,所以x‎0‎‎2‎‎4‎+y‎0‎‎2‎‎9‎=1,‎ 联立x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎=‎5‎,‎x‎0‎‎2‎‎4‎‎+y‎0‎‎2‎‎9‎=1,‎结合x0>0,y0>0,解得x‎0‎‎=‎4‎‎5‎‎5‎,‎y‎0‎‎=‎3‎‎5‎‎5‎,‎ 故A的坐标为‎4‎‎5‎‎5‎‎,‎‎3‎‎5‎‎5‎.‎ 又知F的坐标为(0,‎5‎),‎ 所以直线AF的方程为y=-‎1‎‎2‎x+‎5‎.‎ ‎(2)设直线l:y=-‎1‎‎2‎x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎9‎=1,‎y=-‎1‎‎2‎x+m得5x2-2mx+2m2-18=0,‎ 由Δ>0,得-‎10‎0,m>0)与椭圆C交于P,Q两点,且直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,则当△OPQ的面积为‎7‎‎4‎时,求直线PQ的方程.‎ 答案　(1)设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),‎ 由题意可得c=‎3‎,由已知及|MF1|+|MF2|=2a,得a=2,‎ 故b2=a2-c2=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ ‎(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 联立y=kx+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,‎ ‎∴Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1①,‎ 由根与系数的关系得x1+x2=-‎8km‎1+4‎k‎2‎,x1x2=‎4m‎2‎-4‎‎1+4‎k‎2‎.‎ ‎∵直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,∴k2=y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎,‎ ‎∴(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2,化简得mk(x1+x2)+m2=0,‎ ‎∴‎-8‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎+1=0,∴4k2=1,又k>0,∴k=‎1‎‎2‎,‎ 将k=‎1‎‎2‎代入①得m2<2.‎ ‎∵|PQ|=‎1+‎k‎2‎·‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎4‎‎(1+k‎2‎)(2-m‎2‎)‎‎1+4‎k‎2‎,‎ 原点O到直线PQ的距离d=‎|m|‎‎1+‎k‎2‎,‎ ‎∴S△OPQ=‎1‎‎2‎|PQ|d=‎2|m|‎‎2-‎m‎2‎‎1+4‎k‎2‎=|m|‎2-‎m‎2‎=‎7‎‎4‎,‎ 解得m=‎1‎‎2‎或m=‎7‎‎2‎m=-‎1‎‎2‎,m=-‎7‎‎2‎均舍去.‎ ‎∴直线PQ的方程为y=‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎或y=‎1‎‎2‎x+‎7‎‎2‎.‎ ‎14.(命题标准样题,20)地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆,太阳位于该椭圆的一个焦点,每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同.我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气,将一年(地球围绕太阳公转一周)划分为24个节气,规则是:任意两个相邻节气地球与太阳的连线成15°角.地球在小寒前约三四天到达近日点,在小暑前约三四天到达远日点.‎ ‎(1)从冬至到小寒与从夏至到小暑,哪一段时间更长?‎ ‎(2)以立春为始,排在偶数位的十二个节气又称为中气.农历规定没有中气的那个月为闰月.经统计,1931年至2050年间,闰月最多的三个月份是:闰四月7次,闰五月9次,闰六月8次,闰月最少的三个月份是:闰十一月1次,闰十二月0次,闰一月0次.为什么会出现这种现象?请说明理由.‎ 答案　本题是一道集数学、地理、物理内容于一体的综合题.试题以地球绕太阳公转的地理知识为背景,从中国古代流传下来的二十四节气入手,引入问题,涉及物理学的开普勒定律,利用数学中椭圆扇形的面积进行定量化的说明.试题考查了椭圆的性质,体现了理性思维、数学应用、数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力和直观想象能力,落实了综合性、应用性和创新性的考查要求.‎ ‎(1)如图所示,太阳位于地球公转椭圆轨道的右焦点F,A,B,C,D分别为冬至,小寒(最接近近日点),夏至,小暑(最接近远日点)四个节气时地球所在的位置,则FB