2018-2019学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题（解析版） 11页

‎2018-2019学年江苏省沭阳县高二下学期期中调研测试数学试题 一、填空题 ‎1．已知集合，若，则实数a的值为______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由并集概念求出实数a．‎ ‎【详解】‎ 解：∵集合A＝{2}，B＝{1，a}，A∪B＝{0，1，2}，‎ ‎∴a＝0，解得实数a＝0．‎ ‎【点睛】‎ 考查并集定义，是基础题．‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则的模为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：∵∴z＝1+i，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．已知幂函数的图象过点，则实数的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得m的值．‎ ‎【详解】‎ 解：幂函数的图象过点，‎ 则2m，m．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的图象的应用问题，是基础题．‎ ‎4．已知集合，若，则实数a的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由数轴知：实数a的取值范围是.‎ ‎5．已知函数那么______．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】按照分段函数中自变量的范围代入相应的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由已知得f（-3）＝2﹣（-3）＝5，从而f（f（-3））＝f（5）＝52＝25．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎6．为虚数单位，______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】直接利用虚数单位i的性质运算．‎ ‎【详解】‎ 解：由i2＝﹣1可知，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的基本概念及运算，是基础题．‎ ‎7．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：f（x）＝x2﹣2mx-1的对称轴为x，‎ 函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，‎ ‎∴函数f（x）＝x2﹣mx+2在区间（﹣∞，2）上是单调减函数，‎ 则对称轴．即m的取值范围是[2，+∞）．‎ 故答案为：[2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．‎ ‎8．已知，则______．‎ ‎【答案】47‎ ‎【解析】根据完全平方式进行变形即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 考查完全平方式的应用，基础题.‎ ‎9．设，集合，则的值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】　显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.‎ ‎10．有下面四个不等式：① ；②；③；④．其中恒成立的有______个．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】①使用作差法证明．②利用二次函数的性质．③使用基本不等式证明．④ab＜0时，即可判断出正误.‎ ‎【详解】‎ 解：①因为2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正确．‎ ‎②因为，所以②正确．‎ ‎③当a，b同号时有，当a，b异号时，，所以③错误．‎ ‎④ab＜0时，不成立.‎ 其中恒成立的个数是2个．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的性质、不等式的性质及证明，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎11．若函数是上的奇函数，当时，，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用奇函数的性质，求出f（﹣2）‎ ‎【详解】‎ 解：因为f（x）是奇函数，所以 所以所以 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的概念与性质，基础题.‎ ‎12．已知的三边长为，内切圆半径为，则的面积．类比这一结论有：若三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，则三棱锥的体积______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．‎ ‎【详解】‎ 解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积VA﹣BCDR（S1+S2+S3+S4）．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．‎ ‎【点睛】‎ 类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明．‎ ‎13．已知函数，若函数有三个零点，则实数 的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出|f（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|＝a无解，不符合题意；‎ ‎（2）若a＝0，则|f（x）|＝0的解为x＝1，不符合题意；‎ ‎（3）若a＞0，作出y＝|f（x）|的哈数图象如图所示：‎ ‎∵|f（x）|＝a有三个解，∴a＞3，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．‎ ‎14．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数记为，比如，，．若，则______．‎ ‎【答案】65‎ ‎【解析】奇数数列bn＝2n﹣1＝2019，从而2019为第1010个奇数．每行的项数记为cm，则cm＝m，其前i项和为个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，从而2019位于第45行，从右到左第20个，由此能求出i+j．‎ ‎【详解】‎ 解：∵将正奇数按如图所示的规律排列，在数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，ai，j＝2019，∴奇数数列bn＝2n﹣1＝2019，解得n＝1010，即2019为第1010个奇数．‎ 每行的项数记为cm，则cm＝m，其前i项和为：1+2+3+…+i个奇数，‎ 则第1行到第44行末共有990个奇数，‎ 第1行到第45行末共有1035个奇数，‎ 则2019位于第45行，而第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，‎ ‎∴2019位于第45行，从左到右第20个，‎ ‎∴i＝45，j＝20，∴i+j＝45+20＝65．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两数和的求法，考查简单的归纳推等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是中档题．‎ 二、解答题 ‎15．设全集，集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时确定集合，根据交集的定义求解.‎ ‎（2）由得，画数轴得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，.‎ 由 ‎ 所以.‎ ‎（2）由得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集、交集的求法，指数不等式的解法,是基础题．‎ ‎16．已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-2；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用纯虚数的定义，由，，解出即可得出．‎ ‎（2）利用复数的几何意义，由题意得，解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)．‎ 因为为纯虚数，所以，所以．‎ ‎(2)，‎ 由已知，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎17．（1）已知，求证：．‎ ‎（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）利用不等式的性质，即可证明结论．‎ ‎（2）本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列 成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：‎ 因为，所以 从而，即．所以．‎ ‎（2）证明：假设成等差数列，则．‎ 又成等差数列，所以．‎ 则，即．‎ 故，即有：，所以．‎ 从而．这与公差矛盾．‎ 从而假设不成立，所以不可能成等差数列．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的证明，考查综合法，反证法。反证法是一种间接证法，一般地由证明转向证明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论．‎ ‎18．据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？‎ ‎【答案】用作模拟函数较好．‎ ‎【解析】分别确定函数解析式，利用f（x）、g（x）对1994年CO2浓度作估算，比较大小，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：若以作模拟函数，‎ 则依题意得：⇒，∴.‎ 若以作模拟函数，‎ 则⇒，∴.‎ 利用，对2018年CO2浓度作估算，‎ 则其数值分别为：单位，单位，‎ ‎∵||>||，‎ 故作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用作模拟函数较好．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的选择，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19．函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）若，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在实数使得的最小值为．‎ ‎【解析】（1）利用真数大于0，结合指数函数的单调性可求；‎ ‎（2）求出g（x）的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，通过讨论对称轴与区间的关系，判断最小值是否满足条件即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意：，∴，则，‎ 所以函数的定义域为．‎ ‎（2）‎ 令,因为，所以．‎ 则．‎ 对称轴为，‎ ‎①若时，在上为增函数，此时当时，最小，‎ 即，解得成立；‎ ‎②若时，在上为减函数，此时当时，最小，‎ 即，解得不合，舍去；‎ ‎③若时，，即此时不满足条件；‎ 综上，存在实数使得的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的定义域，以及利用换元法转化为一元二次函数，结合一元二次函数单调性的性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎20．已知函数，．‎ ‎（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围； （3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数为奇函数．‎ 当时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数为奇函数；‎ ‎（2），‎ 当时，的对称轴为：；‎ 当时，的对称轴为：；‎ ‎∴当时，在上是增函数，‎ 即时，函数在上是增函数；‎ ‎（3）方程的解即为方程的解．‎ ‎①当时，函数在上是增函数，‎ ‎∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；‎ ‎②当时，即，‎ ‎∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即，‎ ‎∵，∴．‎ 设，‎ ‎∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，‎ ‎∴，又可证在上单调增．‎ ‎∴，∴；‎ ‎③当时，即，‎ ‎∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，‎ ‎∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；‎ 即，∵∴，‎ 设 ‎∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，‎ ‎∴，又可证在上单调减，∴‎ ‎∴；‎ 综上：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．‎