• 1.29 MB
  • 2021-06-09 发布

【数学】北京市大兴区2020届高三第一次综合练习考试试题

  • 16页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
北京市大兴区2020届高三第一次综合练习考试试题 本试卷共6页,满分150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎(1)在复平面内,对应的点位于 ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎ ‎(C)第三象限 (D)第四象限 ‎(2)已知集合,,则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)已知等差数列的前n项和为,,,则等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)下列函数中,在区间上单调递增且存在零点的是 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(5)在的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含项的系数等于 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2,则M到其顶点O的距离等于 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(7)已知数列是等比数列,它的前项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)某四棱锥的三视图如图所示,如果方格纸上小正方形的边长为,那么该几何体的最长棱的棱长为 ‎(A)3 ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)‎ ‎(9)已知函数.若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根,则的最大整数值为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(10)如图,假定两点,以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动,;点沿线段(长度为单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离().令与同时分别从,出发,那么,定义为的纳皮尔对数,用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是,其中e为自然对数的底.当点从线段的三等分点移动到中点时,经过的时间为 ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎(11)已知向量,, 若,则 ; ‎ ‎(12)若函数在区间上单调减区间,则m的一个值可以是 ;‎ ‎(13)若对任意,关于x的不等式恒成立,则实数的范围是 ;‎ ‎(14)已知为函数图象上两点,其中.已知直线AB的斜率等于2,且,则 ; ;‎ ‎(15)在直角坐标系中,双曲线()的离心率,其渐近线与圆 交轴上方于两点,有下列三个结论:‎ ‎① ;‎ ‎②存在最大值;‎ ‎③ . ‎ 则正确结论的序号为 ‎ 三、解答题共6题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎(16)(本小题14分)‎ 在中,,,且的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)若D为BC上一点,且 ,求的值.‎ 从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了 名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如下频率分布直方图.根据规定,测试成绩低于60分为体质不达标。已知本次测试中不达标学生共有20人.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)现从校全体同学中随机抽取2人,以频率作为概率,记表示成绩不低于90分的人数,求的分布列及数学期望;‎ ‎(Ⅲ)另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了100名学生,经测试有20名学生成绩低于60分.计算两家机构测试成绩的不达标率,你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由。‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 如图,在三棱柱中,,,,是的中点,E是棱上一动点.‎ ‎(Ⅰ)若E是棱的中点,证明:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值; ‎ ‎(Ⅲ)是否存在点E,使得,若存在,‎ 求出E的坐标,若不存在,说明理由。 ‎ ‎(19)(本小题14分)‎ ‎  已知椭圆的离心率为,且经过点,一条直线与椭圆C交于,两点,以为直径的圆经过坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:为定值.‎ ‎(20)(本小题15分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:函数有且只有一个零点.‎ ‎(21)(本小题14分)‎ 已知数列满足:对任意的,若,则,且,设集合,集合中元素最小值记为,集合中元素最大值记为.‎ ‎(Ⅰ)对于数列:,写出集合及;‎ ‎(Ⅱ)求证:不可能为18;‎ ‎(Ⅲ)求的最大值以及的最小值.‎ 参考答案 一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B C A B ‎ C D B D 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎(11) ‎ ‎(12)答案不唯一,只要 ‎ ‎(13)(或 ‎ ‎(14);(第一个空3分,第二个空2分)‎ ‎(15)①③ (不选或有错选得0分,只选对1个得3分,全部选对得5分.)‎ 三、解答题(共6小题,共85分)‎ ‎(16)(共14分)‎ 解:(Ⅰ) 由于 ,, ‎ ‎, ……2分 所以. ……3分 由余弦定理 , ……5分 解得. ……6分 ‎(Ⅱ)①当时, ‎ 在中,由正弦定理, ……2分 ‎ 即,所以. ……4分 因为,所以. ……6分 所以, ……7分 即. ……8分 ‎②当时,‎ 在中,由余弦定理知,‎ ‎. ……3分 因为,所以, ……4分 所以, ……5分 所以 , ……7分 即. ……8分 ‎(17)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,, ……2分 解得. ……3分 ‎(Ⅱ)方法1:‎ 由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为 , ……1分 由已知,的所有可能取值为, ……2分 则,‎ ‎,‎ ‎. ……5分 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ ‎……6分 所以. ……7分 方法2:由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为, ……1分 由已知, ……2分 则,‎ ‎,‎ ‎. ……5分 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ ‎……6分 所以. ……7分 ‎(Ⅲ)机构M抽测的不达标率为 , ……1分 机构N抽测的不达标率为. ……2分 ‎(以下答案不唯一,只要写出理由即可)‎ ‎①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理。 ……3分 ‎ 理由:机构M选取样本时使用了分层抽样方法,样本量也大于机构N,样本更有代表性,所以,能较好反映了总体的分布。 ……4分 ‎②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理. ……3分 理由:尽管机构N的样本量比机构M少,但由于样本的随机性,不能排除样本较好的反映了总体的分布,所以,没有充足的理由否认机构N的成绩更合理。 ……4分 ‎(18)(共14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:取中点为,连结,‎ 在中,因为为的中点,‎ 所以且.……1分 又因为是的中点,,‎ 所以且,‎ 所以为平行四边形 所以. ……2分 又因为平面, .……3分 平面,‎ 所以平面. ……4分 ‎(Ⅱ)连结,‎ ‎ 因为是等边三角形,是的中点,‎ 所以,‎ 因为,,‎ 所以.‎ 因为,‎ ‎,‎ 平面,‎ 所以平面, ‎ ‎ 所以两两垂直.‎ 如图,建立空间直角坐标系, ……1分 则,,,‎ ‎, ‎ 设平面的法向量为,‎ 则, ……2分 即, ……3分 令,则,,‎ 所以. ……4分 平面ABC的法向量为,‎ ‎. ‎ 又因为二面角为锐二面角,‎ 所以二面角的余弦值为. ……6分 ‎(如果没有建立坐标系,利用二面角的定义,比照步骤给分。)‎ ‎(Ⅲ), ……1分 ‎,‎ ‎ 设,‎ 则, ‎ ‎ 所以, ……2分 所以, ‎ 假设,‎ 则 ‎ 解得, ……3分 这与已知矛盾。 ‎ 原命题得证. ……4分 ‎(19)(共14分)‎ ‎(Ⅰ)因为椭圆经过点,所以, ……1分 ‎   又因为,则,      ……2分 ‎   由,得,     ……3分 所以椭圆的标准方程为. ……4分 ‎(Ⅱ)方法一 因为以为直径的圆过坐标原点,所以. ……1分 ‎①若直线的斜率不存在,则为椭圆与轴交点,为椭圆与轴交点,‎ 因此,,‎ 则. ……2分 ‎②若直线的斜率存在且为0,则为椭圆与轴交点,为椭圆与轴交点,‎ 因此,,‎ 则. ……3分 ‎③若直线的斜率存在且不为0,‎ 可设直线方程为,‎ 则直线的方程为. ……4分 联立,得, ……5分 即,, ……6分 即, ……7分 同理,, ……8分 则. ……10分 方法二 ‎①若直线的斜率存在时,设,与椭圆方程联立得:‎ ‎,有, ……2分 由题意,,设,,‎ 所以,. ……3分 因为以为直径的圆过原点,‎ 由,得 , ……4分 即,整理得,‎ ‎, ……5分 而 ……6分 设h为到的距离,则 所以,‎ 而,‎ 所以. ……8分 ‎②若直线的斜率不存在,则有, ……9分 不妨设,设,有,‎ 代入椭圆方程得,,‎ ‎,‎ 即,‎ 综上. ……10分 ‎(20)(共15分)‎ ‎(Ⅰ)解;当时,函数, ……1分 ‎, ……2分 ‎, ……3分 ‎, ……4分 所以函数在点处的切线方程是.……5分 ‎(Ⅱ)解法1‎ 函数的定义域为,‎ ‎, ……1分 设(),‎ ‎①当或且≤0,即时,都有,‎ 所以,函数在是增函数, ……2分 又,, ……4分 若时, ,函数在有且只有一个零点,……5分 若时,由于,‎ 所以在存在唯一零点. ……6分 ‎②当时,方程的判别式,‎ 设方程的两根为,不妨设,‎ 由韦达定理可知,, ……7分 所以,‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 因为,所以,‎ 所以, ……8分 由上可知,,    ……9分 存在唯一的使得,‎ 所以函数在有且只有一个零点.‎ 综上所述,对任意的函数有且只有一个零点.……10分 解法2‎ 函数的定义域为,‎ 要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,‎ 即只需关于x的方程在上有且只有一个解.‎ 设函数, ……1分 则, ……2分 令, ‎ 则, ……3分 由,得. ……4分 x 单调递减 极小值 单调递增 由于, ……5分 所以, ‎ 所以在上单调递增, ……6分 又,, ……8分 ‎①当时, ,函数在有且只有一个零点,‎ ‎②当时,由于,所以存在唯一零点.‎ 综上所述,对任意的函数有且只有一个零点.……10分 ‎(21)(共14分)‎ ‎(Ⅰ),‎ ‎,. ……3分 ‎(Ⅱ)证明:假设, ……1分 设 则= ……2分 即,因为 所以 ……3分 同理,设 可以推出, ……4分 中有两个元素为1,与题设矛盾,‎ 故假设不成立,‎ 不可能为18. ……5分 ‎(Ⅲ)的最大值为17,的最小值为16. ‎ ‎①首先求,由(Ⅱ)知,而是可能的.‎ 当时, ……1分 设 则=‎ 即, ……2分 又 得,即. ‎ 同理可得:. ……3分 对于数列: ‎ 此时,,满足题意.‎ 所以的最大值为17; ……4分 ‎②现证明:的最小值为16.‎ 先证明为不可能的,假设. ……5分 设,‎ 可得,即,元素最大值为10,所以.‎ 又,‎ 同理可以推出,矛盾,假设不成立,所以. ‎ 数列为:时,‎ ‎,,中元素的最大值为16.‎ 所以的最小值为16. ……6分 ‎ ‎

相关文档