数学卷·2018届甘肃省庆阳市宁县静甘沟中学高二上学期期中数学试卷（解析版） 16页

‎2016-2017学年甘肃省庆阳市宁县静甘沟中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知数列，则是这个数列的（　　）‎ A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项 ‎2．不等式的解集是（　　）‎ A．{x|x＞1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞1或x＜0} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎3．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎4．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎5．已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．‎ ‎6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6=3，S11=18，则a9等于（　　）‎ A．3 B．5 C．8 D．15‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（　　）‎ A．0个 B．两个 C．一个 D．至多一个 ‎8．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎9．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，n=1，2，3，…，那么数列{an}（　　）‎ A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 ‎11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（　　）‎ A． B．3 C．或3 D．3或 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ‎13．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则=　　．‎ ‎14．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　　．‎ ‎15．不等式1＜|x+1|＜3的解集为　　．‎ ‎16．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为　　km．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知数列{an}的通项公式为an=﹣n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列；‎ ‎（2）求此数列的前二十项和S20．‎ ‎18．（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0．‎ ‎（2）解不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ ‎20．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；‎ ‎（2）边AB的长．‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足bn=．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎22．在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a=2csinA．‎ ‎（1）确定∠C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省庆阳市宁县静甘沟中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知数列，则是这个数列的（　　）‎ A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项 ‎【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即an2﹣an﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7‎ ‎【解答】解：数列，‎ 各项的平方为：2，5，8，11，…‎ ‎∵5﹣2=11﹣8=3，‎ 即an2﹣an﹣12=3，‎ ‎∴an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，‎ 令3n﹣1=20，则n=7．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．不等式的解集是（　　）‎ A．{x|x＞1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞1或x＜0} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由分式和不等式的性质可化原不等式为x（x﹣1）＞0，解此一元二次不等式可得．‎ ‎【解答】解：不等式可化为﹣1＜0‎ 可化为＜0即 等价于x（x﹣1）＞0，‎ 解得x＞1或x＜0，‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据余弦定理得cosB===‎ B∈（0，180°）‎ ‎∴B=60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）‎ A．4 B． C．4 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，‎ 由正弦定理知=，‎ ‎∴b===4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知a＞b＞0，c＜0，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a﹣c＜b﹣c B．ac＞bc C． D．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a＞b＞0，c＜0，‎ ‎∴a﹣c＞b﹣c，故A不成立，‎ ac＜bc，故B不成立，‎ ‎，故C不成立，‎ ‎，进而，故D成立，‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6=3，S11=18，则a9等于（　　）‎ A．3 B．5 C．8 D．15‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的求和公式化简已知的两等式，得到a1和a6的值，利用等差数列的性质得到公差d的值，由首项a1和公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a9的值．‎ ‎【解答】解：由S6==3，得到a1+a6=1，‎ 又S11==11a6=18，∴a6=，‎ ‎∴a1=1﹣a6=﹣，‎ ‎∴5d=a1﹣a6=，即d=，‎ 则a9=a1+8d=﹣+8×=3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（　　）‎ A．0个 B．两个 C．一个 D．至多一个 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用三角形边角关系及正弦函数的性质判断即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，a=18，b=24，A=45°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB===＞，‎ ‎∵a＜b，∴A＜B，‎ ‎∴B的度数有两解，‎ 则这样的三角形有两个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（　　）‎ A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，知a＜0，且△=b2﹣4ac＜0．‎ ‎【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，‎ ‎∴a＜0，‎ 且△=b2﹣4ac＜0，‎ 综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（　　）‎ A．99 B．49 C．102 D．101‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，由此能求出a51．‎ ‎【解答】解：∵在数列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，‎ ‎∴数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∴a51=2×51﹣1=101．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，n=1，2，3，…，那么数列{an}（　　）‎ A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，上式也成立．可得an，即可判断出．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，‎ ‎∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，‎ 当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，上式也成立．‎ ‎∴‎ 可得an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，但是不是等差数列．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的求和公式和等差数列的性质可得=，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由题意和等差数列的求和公式和等差数列的性质可得：‎ ‎======‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（　　）‎ A． B．3 C．或3 D．3或 ‎【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．‎ ‎【解答】解：∵A+B=π﹣C，‎ ‎∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ 又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，‎ ‎∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，‎ 化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0‎ 解之得cosB=0或sinA=3sinB．‎ ‎①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，‎ ‎∵，∴A==，‎ 因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==； ‎ ‎②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．‎ 综上所述，的值为或3．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ‎13．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，b，以及已知面积相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，‎ ‎∴bcsinA=，即c•=，‎ 解得：c=4，‎ 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，即a=，‎ 则由正弦定理==得： ===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为　an=2n﹣3　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），‎ 解得：a=0．‎ ‎∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．‎ 则a1=﹣1，d=2．‎ ‎∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．‎ 故答案为：an=2n﹣3．‎ ‎　‎ ‎15．不等式1＜|x+1|＜3的解集为　（﹣4，﹣2）∪（0，2）　．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】去掉绝对值号得到关于x的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵1＜|x+1|＜3，‎ ‎∴，‎ 解得：﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜2，‎ 故答案为：（﹣4，﹣2）∪（0，2）．‎ ‎　‎ ‎16．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为　30　km．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B=75°﹣30°=45°，‎ 在△ABC中，根据正弦定理得： =，即=，‎ ‎∴BC=30km，‎ 则这时船与灯塔的距离为30km．‎ 故答案为：30‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知数列{an}的通项公式为an=﹣n．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等差数列；‎ ‎（2）求此数列的前二十项和S20．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；‎ ‎（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}的通项公式为an=﹣n，‎ ‎∴当n≥2时，an﹣an﹣1=﹣n﹣[﹣（n﹣1）]=1，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，首项为，公差为1．‎ ‎（2）∵==．‎ ‎∴S20==﹣120．‎ ‎　‎ ‎18．（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0．‎ ‎（2）解不等式|x﹣8|﹣|x﹣4|＞2．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）利用一元二次不等式的解法即可求出；（2）通过对x 分x≥8、4≤x＜8、x＜4讨论去掉绝对值符号即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵﹣x2+4x+5＜0，‎ ‎∴x2﹣4x﹣5＞0，‎ ‎∴（x﹣5）（x+1）＞0，‎ ‎∴x＜﹣1，或x＞5，‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}．‎ ‎（2）当x≥8时，不等式化为（x﹣8）﹣（x﹣4）＞2，化为6＜0，‎ 此时不等式的解集为空集∅；‎ 当4≤x＜8时，不等式化为（8﹣x）﹣（x﹣4）＞2，化为x＜5，‎ 此时不等式的解集{x|4≤x＜5}；‎ 当x＜4时，不等式化为（8﹣x）﹣（4﹣x）＞2，化为2＞0，‎ 此时不等式的解集{x|x＜4}．‎ 综上可知：原不等式的解集为{x|x＜5}．‎ 故答案为{x|x＜5}．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；‎ ‎（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，‎ 当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=﹣=n，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=n．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n+（﹣1）nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）‎ ‎=+n=22n+1+n﹣2．‎ ‎∴数列{bn}的前2n项和为22n+1+n﹣2．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：‎ ‎（1）角C的度数；‎ ‎（2）边AB的长．‎ ‎【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．‎ ‎（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎∴C=120°‎ ‎（2）由题设：‎ ‎∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°‎ ‎=‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足a1=3，an+1﹣3an=3n（n∈N*），数列{bn}满足bn=．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用条件，结合等差数列的定义，即可证明数列{bn}是等差数列，从而求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】（I）证明：∵，，，‎ ‎∴bn+1﹣bn=，…‎ ‎∴数列{bn}是等差数列，…‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴数列{an}的通项公式；…‎ ‎（II）解：∵，‎ ‎∴，‎ 当n≥2时，相减得：‎ ‎∴，…‎ 整理得，‎ 当n=1时，，…‎ 综上，数列{an}的前n项和．…‎ ‎　‎ ‎22．在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a=2csinA．‎ ‎（1）确定∠C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎【考点】正弦定理；正弦函数的定义域和值域．‎ ‎【分析】（1）把已知的等式变形为： =，并利用正弦定理化简，根据sinA不为0，可得出sinC的值，由三角形为锐角三角形，得出C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；‎ ‎（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出关系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周长，将表示出a，b及c的值代入，由C的度数，求出A+B的度数，用A表示出B，把B也代入表示出的周长，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值整理后，提取2再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A为锐角，得到A的范围，进而确定出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出周长的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由a=2csinA变形得： =，‎ 又正弦定理得： =，‎ ‎∴=，‎ ‎∵sinA≠0，∴sinC=，‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴∠C=；‎ ‎（2）∵c=，sinC=，‎ ‎∴由正弦定理得： ====2，‎ 即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π﹣C=，即B=﹣A，‎ ‎∴a+b+c=2（sinA+sinB）+‎ ‎=2[sinA+sin（﹣A）]+‎ ‎=2（sinA+sincosA﹣cossinA）+‎ ‎=3sinA+cosA+‎ ‎=2（sinAcos+cosAsin）+‎ ‎=2sin（A+）+，‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴＜∠A＜，‎ ‎∴＜sin（A+）≤1，‎ 则△ABC周长的取值范围是（3+，3]．‎ ‎　‎