数学文卷·2018届北京师大附中高三下学期第二次模拟考试（2018 19页

师大附中2018届高三第二次模拟考试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·江西联考]设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）‎ ‎ ‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎3．[2018·菏泽联考]设，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．9 C．12 D．15‎ ‎4．[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．[2018·济宁期末]已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．9 C．5 D．4‎ ‎6．[2018·濮阳一模]函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．[2018·武邑中学]将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2018·厦门期末]‎ 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前项和的程序框图．执行该程序框图，输入，则输出的（ ）‎ ‎ ‎ A．44 B．68 C．100 D．140‎ ‎9．[2018·闽侯八中]正项等比数列中的，是函数的极值点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·玉林联考]若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”．例如：32是“开心数”．因不产生进位现象；23不是“开心数”，因产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎11．[2018·乌鲁木齐一诊]设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎12．[2018·通州期末]如图，各棱长均为的正三棱柱，，‎ 分别为线段，上的动点，若点，所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．‎ ‎14．[2018·临川一中]已知圆过点，，，则圆的圆心到直线：的距离为__________．‎ ‎15．[2018·嘉兴期末]在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的取值范围是________．‎ ‎16．[2018·晋城一模]已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·辽师附中]已知，，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·临川一中]海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：‎ 时间点 ‎8点 ‎10点 ‎12点 ‎14点 ‎16点 ‎18点 甲游乐场 ‎10‎ ‎3‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎20‎ 乙游乐场 ‎13‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；‎ ‎（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为，（），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·云师附中]在三棱柱中，，侧棱平面ABC，且分别是棱的中点，点F在棱AB上，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·沧州质检]对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆 相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·陕西一模]已知函数，其中，为自然对数底数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·广元一模]选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·会宁一中]选修4—5:不等式选讲 已知，．‎ ‎（1）求的最小值 ‎（2）证明：．‎ ‎ ‎ 文科数学答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】由题意得，∴．选A．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：，结合题意可知：甲组的中位数为33，即，则甲组数据的平均数为：．本题选择B选项．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】所以，过时，取得最大值为12．故选C．‎ ‎ ‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：．故答案为：B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】∵，，成等差数列，∴．‎ ‎∴，当且仅当且 ‎，即，时等号成立．选A．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A、D，当时，，排除B，故选C．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由题意，‎ ‎，，时，，故选B．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】第1次运行，，，，不符合，继续运行；‎ 第2次运行，，不符合，继续运行；‎ 第3次运行，，不符合，继续运行；‎ 第4次运行，，不符合，继续运行；‎ 第5次运行，，不符合，继续运行；‎ 第6次运行，，不符合，继续运行；‎ 第7次运行，，不符合，继续运行；‎ 第8次运行，，符合，退出运行，输出；‎ 故选C．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】令，故，，故．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵，即，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：，∴，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】原问题等价于，令，则，而，由可得：，由可得：，据此可知，函数在区间上的最小值为，综上可得：实数的最小值为．本题选择D选项．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】由题意，‎ ‎ ‎ 点，所在直线与平面不相交，则平面，过作 交于，过作，连结，得，，，则平面平面，则∥平面，因为为线段上的动点，所以这样的有无数条，其中中点的轨迹的长度等于底面正的高，故选B．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】，所以复数的实部为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由题知，圆心坐标为，则．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，，，因为锐角，所以，，，，，．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的定义及题意可得，解得．‎ 又，所以，整理得，‎ ‎∵，∴，∴．又，∴，故．‎ ‎∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是．答案：．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1），·····3分 令，则，，‎ 所以函数单调递增区间为，．·······6分 ‎（2）由可知（当且仅当时取等号），·······8分 所以，，，‎ 综上的取值范围为．·······12分 ‎18．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，总共有6个时间点，所以所求概率为；·······6分 ‎（2）依题意，有4个时间点，记为，，，；有2个时间点，记为，；‎ 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15种，······9分 其中满足条件的为，，，，，，，共8种， ·······11分 故所求概率．·······12分 ‎19．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取AB的中点O，连接，‎ ‎，‎ 为AO的中点，又E为的中点，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎·······2分 四边形为平行四边形，·······3分 ‎，·······4分 ‎，又平面，平面，‎ 平面．·······6分 平面，平面，‎ ‎，‎ 为的中点，‎ ‎，‎ 又平面，平面，，‎ 平面，·······8分 ‎，，分别为，的中点，‎ ‎．‎ ‎．·······12分 ‎20．【答案】（1）（2）直线必经过一定点 ‎【解析】（1）∵椭圆在点处的切线方程为，‎ 其斜率为，‎ ‎∴．·······1分 又点在椭圆上，‎ ‎∴．·······2分 解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为；·······4分 ‎（2）设，，，‎ 则切线，切线．·······6分 ‎∵都经过点，‎ ‎∴，．‎ 即直线的方程为．·······7分 又，·······8分 ‎∴，‎ 即．·······10分 令得 ‎∴直线必经过一定点．·······12分 ‎21．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，因为，由得，·······1分 所以当时，，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．····4分 ‎（2）因为，由函数对任意都成立，得，‎ 因为，所以．·······6分 所以，‎ 设，‎ 所以，·······8分 由，令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．·······10分 所以，即的最大值为，此时，．·······12分 ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，·······12分 将，代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为：．·······5分 ‎（2）设两点的极坐标方程分别为，，‎ 由消去得，·······7分 根据题意可得，是方程的两根，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．·······10分 ‎23．【答案】（1）3； （2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，，‎ 所以,即，‎ 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．·······5分 ‎（2）‎ ‎．·······10分 ‎ ‎