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- 2021-06-09 发布
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2019年上期高二年级实验班结业考试试卷
文科数学(试题卷)
注意事项:
1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷,分两卷。其中共23题,满分150分,考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题(每题5分,共60分)
本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。
1.设集合, ,则( )
A. {-1} B.{0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
2.已知复数(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
3.等差数列的前项和为,,且,则的公差( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.要想得到函数的图象,只需将的图像( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
5.若正方形的边长为1,则在正方形内任取一点,该点到点的距离小于1的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知,,,则( )
A. B. C. D.
14
7.若双曲线x2﹣=1(b>0)的一条渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.[2,+∞) C.(1,] D.[,+∞)
8.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为 “刍甍”的五面体,如图所示,四边形是矩形,棱,,,和都是边长为2的等边三角形,则这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
9.函数的部分图象大致为( )
10.公元263年左右,我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法,所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图,若输出的值为24,则判断框中填入的条件可以为( )
(参考数据:)
14
A. B. C. D.
11.若存在(x,y)满足,且使得等式3x+a(2y-4ex)(lny-lnx)=0成立,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围是( )
A. (-∞,0)∪[,+∞) B. [,+∞) C. (-∞,0) D. (0,]
12.已知函数f(x)=aln(x+1)﹣x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[15,+∞) B. C.[1,+∞) D.[6,+∞)
第II卷 非选择题(共90分)
二.填空题(每题5分,共20分)
13.已知向量,.若,则 .
14.在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆(a>b>0)的左焦点,点P在椭圆上,直线PF与以OF为直径的圆相交于点M(异于点F),若点M为PF的中点,且直线PF的斜率为,则椭圆的离心率为 .
15.长方体的8个顶点都在球的表面上,为的中点,,
14
,且四边形为正方形,则球的直径为 .
16.若函数,且在实数上有三个不同的零点,则实数__________.
三.解答题(共6题,共70分)
17.(本题满分12分)
已知数列的首项为,且 .
(Ⅰ)证明:数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.(本题满分12分)
如图,正三棱柱中,为的中点.
(1)求证:;
(2)若点为四边形内部及其边界上的点,且三棱锥的体积为三棱柱体积的,试在图中画出点的轨迹,并说明理由.
14
19.(本题满分12分)
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
⑵估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
⑶估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
20.(本题满分12分)
在直角坐标系中,椭圆的离心率为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率存在,纵截距为的直线与椭圆相交于两点,若直线的斜率均存在,求证:直线的斜率依次成等差数列.
14
21.(本题满分12分)
已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值;
(2)讨论函数的单调性;若存在极值点,求实数的取值范围.
选考题 请考生从22、23题中任选一题作答,共10分
22.(选修4-4.坐标系与参数方程)
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数, ).在以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线 : .
(1)当 时,求 与 的交点的极坐标;
(2)直线 与曲线 交于 , 两点,且两点对应的参数 , 互为相反数,求 的值.
14
23.(选修4-5.不等式选讲)
已知函数,其中为实数.
(1)当时,解不等式;
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.
14
2019年上期高二年级实验班结业考试文科数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
A
A
A
C
D
C
B
A
13.2
14.﹣1
15.4或
16.
17.
.(Ⅰ)
∵(2分)
则数列是以3为首项,以2为公比的等比数列,(4分)
,即.(6分)
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知,,.(7分)
,(8分)
,(9分)
,(11分)
则.(12分)
18.
解法一:(1)证明:取的中点,连接,
∵平面,平面,
14
∴所以.
∵为正三角形,为的中点,
∴,
又∵平面,,
∴平面,
又∵平面,所以
正方形中,∵,∴,
又∵,
∴,故,
又∵,平面,
∴平面,
又∵平面,∴.(6分)
(Ⅱ)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹.(8分)
理由如下
:
∵,平面,平面,
∴平面,
∴到平面的距离为.
所以.(12分)
解法二:(Ⅰ)证明:取的中点,连接,
14
正三棱柱中,平面平面,
平面平面,平面,
因为为正三角形,为的中点,
所以,从而平面,所以.
正方形中,因为,所以,
又因为,
所以,故,
又因为,平面,所以平面,
又因为平面,所以.(6分)
(2)取中点,连接,则线段为点的运动轨迹.(8分)
理由如下.
设三棱锥的高为,
依题意
故.
因为分别为中点,故,又因为平面,平面,
所以平面,所以到平面的距离为.(12分)
14
19.
(1)
(3分)
(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(6分)
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
.(8分)
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
.(10分)
估计使用节水龙头后,一年可节省水.(12分)
20.
(1)由知 …………………4分
(2)设,代入知
设,则, ………………7分
14
∴直线的斜率依次成等差数列。 ………………12分
21.
(Ⅰ)依题意,,所以,
因为与直线:垂直,得,解得.(5分)
(Ⅱ)因为.
当时,在上恒成立,所以的单调递增区间为,无递减区间;(7分)
当时,由,,解得;(8分)
由,,解得;
由,,解得;
此时的单调递增区间为,的单调递减区间为.
综上所述,当时,的单调递增区间为,无递减区间;
当时,的单调递增区间为,的单调递减区间为.(9分)
若存在极值点,由函数的单调性知,且;
由,解得.(11分)
14
所以所求实数的取值范围为.(12分)
22.
解法一:(Ⅰ)由,可得,
所以,即,
当时,直线的参数方程(为参数),化为直角坐标方程为,
联立解得交点为或,
化为极坐标为,(5分)
(2)由已知直线恒过定点,又,由参数方程的几何意义知是线段的中
点,曲线是以为圆心,半径的圆,且,
由垂径定理知:.(10分)
解法二:(1)依题意可知,直线的极坐标方程为,
当时,联立 解得交点,
当时,经检验满足两方程,
当时,无交点;
综上,曲线与直线的点极坐标为,.(5分)
(2)把直线的参数方程代入曲线,得,
可知,,
所以.(10分)
23.
14
(1)时,,
故,即不等式的解集是;(5分)
(2)时,,
当时,,显然满足条件,此时为任意值;
当时,;
当时,可得或,求得;
综上,.(10分)
14