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- 2021-06-09 发布
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【课时训练】对数与对数函数
一、选择题
1．(2018天津模拟)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为( )
A．alog24＝2，b＝log5(log25)∈(0,1)，c＝－0.52＝20.52∈(1,2)，可得b0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
【答案】B
【解析】由已知得5a＝b,10c＝b，∴5a＝10c.∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc＝a.故选B.
3．(2018江西赣州模拟)已知函数f(x)＝
则f(－2 018)＝( )
A．0 B．1
C．log2 3 D．2
【答案】B
【解析】∵x≤0时，f(x)＝f(x＋4)，
∴x≤0时函数是周期为4的周期函数．
∵－2 018＝－504×4－2，∴f(－2 018)＝f(－2)．
又f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)＝log22＝1.故选B.
4．(2018长春模拟)函数y＝logax与直线y＝－x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
【答案】A
【解析】当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B，D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中过点(1,0)的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求．
5．(2018河南商丘模拟)已知函数f(x)＝ln|x－1|，设a＝f，b＝f(4)，c＝f
eq lc(
c)(avs4alco1(f(3,2)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．b>c>a D．c>b>a
【答案】C
【解析】易知函数f(x)＝ln|x－1|的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增．又1<<<4，∴ff(log38)的解集为( )
A．
B.
C．
D.
【答案】C
【解析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)为减函数，可知当x>0时，f(x)为增函数，所以不等式变为log(2x－5)>log38或log(2x－5)<－log38，即0<2x－5<或2x－5>8，解得.故选C.
7．(2018重庆第一中学月考)已知f(x)＝
的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－1,0)
C．[－1,0) D．[－1,0]
【答案】C
【解析】∵y＝ln x，x≥1，∴y≥0，∴y＝－2ax＋3a＋1在x∈(－∞，1)时，满足解得－1≤a<0.故选C.
8．(2018河北邢台模拟)已知函数f(x)＝a＋log2 (x2－2x＋a)的最小值为8，则( )
A．a∈(4,5) B．a∈(5,6)
C．a∈(6,7) D．a∈(7,8)
【答案】B
【解析】因为y＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝a＋log2(a－1)．设g(x)＝x＋log2(x－1)，易知此函数为增函数，且g(5)＝7<8，g(6)＝6＋log25>8.所以a∈(5,6)．故选B.
二、填空题
9．(2018山西太原模拟)已知f(log2 x)＝x＋270，那么f(0)＋f(1)＋…＋f(6)＝________.
【答案】2 017
【解析】∵f(log2x)＝x＋270＝＋270，
∴f(x)＝2x＋270，由此得f(0)＋f(1)＋…＋f(6)＝20＋21＋…＋26＋270×7＝2 017.
10．(2018广东佛山一模)函数f(x)＝log2 ·log2x的最小值为________．
【答案】－
【解析】依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
11．(2018河南中原名校质检)若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
【答案】(0，＋∞)
【解析】令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，因为 f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数．又M＝2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
12．(2018江西抚州七校联考)设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图．若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.
【答案】12
【解析】由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4 ，所以m＝，所以m·2n＝×4 ＝12.
三、解答题
13．(2018湖南衡阳八中月考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
【解】(1)要使函数f(x)有意义，则需解得－11时， f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，所以f(x)>0⇔>1，解得00的x的解集是(0,1)．
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