黑龙江省大庆实验中学2019届高三11月月考（期中）数学（理）试卷 9页

‎2019届黑龙江省大庆实验中学 高三11月月考（期中）数学（理）试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知复数z=x+yi ‎(x,y∈R)‎，若‎-3+3i=x+y-1‎i，则z‎=‎ ‎ A．‎2‎ B．‎2‎ C．‎5‎ D．5‎ ‎2．已知集合A=‎xx‎2‎‎-x-2<0‎,B=‎x‎-21‎” 是“‎1‎a‎<1‎” 的充分必要条件.‎ B．命题“ 若x‎2‎‎<1‎，则x<1‎” 的否命题是“ 若x≥1‎，则x‎2‎‎≥1‎” .‎ C．设x,y∈R，则“x≥2‎且y≥2‎”是“x‎2‎‎+y‎2‎≥4‎”的必要而不充分条件.‎ D．设a,b∈R，则“a≠0‎” 是“ab≠0‎” 的必要不充分条件.‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中b=‎‎2‎,‎∠B=‎π‎6‎,‎∠C=‎π‎4‎,则a=‎ A．‎3‎‎-1‎ B．‎3‎‎+1‎ C．‎3‎ D．‎‎3‎ ‎8．若正实数a,b满足‎1‎a‎+‎2‎b=‎ab，则ab的最小值为 A．‎2‎ B．‎2‎ C．‎2‎‎2‎ D．‎‎4‎ ‎9．定积分‎0‎‎2πsinxdx的值是 A．‎0‎ B．‎2‎ C．‎4‎ D．‎‎8‎ ‎10．在矩形ABCD中，AB=‎‎2‎,BC=2‎，点E为BC的中点，点F在CD上，若AB‎⋅AF=‎‎2‎，则AE‎⋅‎BF的值是 A．‎2‎ B．‎2‎‎2‎ C．‎3‎ D．‎ ‎11．已知函数f(x)=sinωx+‎π‎3‎-‎3‎cosωx+‎π‎3‎ ω>0‎在区间‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎上单调，且在区间‎0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是 A．‎0,‎‎2‎‎3‎ B．‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ C．‎0,‎‎3‎‎4‎ D．‎‎1‎‎4‎‎,‎‎3‎‎4‎ ‎12．已知函数f(x)=x-1‎ex-kx‎3‎-‎1‎‎2‎x‎2‎+2‎，若对任意的x‎1‎‎,x‎2‎∈‎0,+∞‎,‎且x‎1‎‎≠‎x‎2‎，都有x‎1‎f(x‎1‎)+x‎2‎f(x‎2‎)>x‎2‎f(x‎1‎)+x‎1‎f(x‎2‎)‎，则实数k的取值范围是 A．‎-∞,‎e‎3‎ B．‎-∞,‎e‎3‎ C．‎-∞,‎‎1‎‎3‎ D．‎‎-∞,‎‎1‎‎3‎ 二、填空题 ‎13．已知实数x、y满足x-y+5≥0‎x≤3‎x+y≥0‎，则目标函数z=x+2y的最小值为_____________．‎ ‎14．已知函数f(x)=‎a⋅‎2‎x+a-2‎‎2‎x‎+1‎是定义在R上的奇函数，则a=‎___________.‎ ‎15．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2‎，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为___________‎ ‎16．若数列an满足a‎1‎‎=1‎，‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎ n∈‎N‎*‎，数列bn的通项公式bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎ ，则数列bn的前10项和S‎10‎‎=‎___________‎ 三、解答题 ‎17．已知等比数列an中，a‎3‎‎,a‎4‎,‎a‎5‎依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a‎1‎‎=32‎，公比q≠1‎ ‎ ‎（1）求an； ‎ ‎（2）设bn‎=-‎log‎2‎an，求数列bn的前n项和Tn ‎18．已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边，向量m‎=‎sinA,sinB，n‎=‎cosB,cosA且m‎⋅n=sin2C.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若sinA+sinB=‎3‎sinC，且ΔABC面积为‎6‎‎3‎，求边c的长.‎ ‎19．在ΔABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ΔADE折起，使点A到达点P的位置，如图2. ‎ 如图1 如图2‎ ‎（1）证明：平面BCP⊥‎平面CEP；‎ ‎（2）若平面DEP⊥‎平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。‎ ‎20．在数列‎{   an  }‎中, 已知a‎1‎‎=1‎，且数列‎{   an  }‎的前n项和Sn满足‎4Sn+1‎-3Sn=4‎, n∈‎N‎*‎.‎ ‎（1）证明数列‎{   an  }‎是等比数列；‎ ‎（2）设数列‎{  nan  }‎的前n项和为Tn，若不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n⋅an-16<0‎对任意的n∈‎N‎*‎恒成立, 求实数a的取值范围.‎ ‎21．设函数f(x)=x‎2‎‎2‎-alnx-‎‎1‎‎2‎ ‎（1）当a=1‎时，求函数f(x)‎的极值.‎ ‎（2）若函数f(x)‎在区间‎1,e上有唯一的零点，求实数a的取值范围.‎ ‎22．已知函数f(x)=ax-cosx的定义域为‎0,π ‎（1）当a=-‎‎3‎‎2‎时，求函数f(x)‎的单调递减区间.‎ ‎（2）若f(x)<1-π‎2‎-sinx恒成立，求a的取值范围.‎ ‎2019届黑龙江省大庆实验中学 高三11月月考（期中）数学（理）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数相等的条件列式求得x，y的值，代入复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎‎-3+3i=x+y-1‎i ‎∴‎-3=x‎3=y-1‎，即x=-3，y=4．‎ 又z=x+yi，‎ ‎∴|z|=‎（-3‎）‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎‎=5‎ ．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复数相等的条件求复数的模长，属于基础题．‎ ‎2．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得集合A，根据集合的运算和包含关系判断即可．‎ ‎【详解】‎ 集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，‎B=‎x‎-20‎可得[﹣π‎2ω，π‎2ω]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣π‎2ω，π‎2ω]⊇[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎]，可解得0＜ω≤‎2‎‎3‎，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得‎1‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎≤2π，得ω≥‎‎1‎‎4‎ ，进而得解．‎ ‎【详解】‎ f(x)=sinωx+‎π‎3‎-‎3‎cosωx+‎π‎3‎‎=2sinωxω>0‎，‎ ‎∴[﹣π‎2ω，π‎2ω]是函数含原点的递增区间．‎ 又∵函数在[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎]上递增，‎ ‎∴[﹣π‎2ω，π‎2ω]⊇[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎]，‎ ‎∴得不等式组：﹣π‎2ω≤‎-‎‎3π‎4‎，且π‎2‎≤π‎2ω，‎ 又∵ω＞0，‎ ‎∴0＜ω≤‎2‎‎3‎ ，‎ 又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，‎ 根据正弦函数的性质可知‎1‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎≤2π且‎5‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎‎>2π 可得ω∈[‎1‎‎4‎，‎5‎‎4‎‎)‎．综上：ω∈‎‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．‎ ‎12．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形得[f（x1）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，进而分析函数f（x）在‎0,+∞‎为增函数或常数函数,据此可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，将x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）变形可得[f（x1）﹣f（x2）]‎ ‎（x1﹣x2）≥0，所以函数f（x）在‎0,+∞‎为增函数或常数函数.‎ 当f（x）在‎0,+∞‎为增函数时，则f‎’‎（x）=xex-3kx‎2‎-x‎≥0‎ 在‎0,+∞‎恒成立，‎ 所以3k‎≤（‎ex‎-1‎x‎）‎min ，h（x）= ex‎-1‎x ，‎ h‎'‎（x）=ex‎(x-1)+1‎x‎2‎>0,‎∴‎ h(x)在‎0,+∞‎为增函数, ‎ x‎→0‎ , h(x)‎→‎ 1 ‎∴‎ 3k‎≤1‎ ， k‎≤‎‎1‎‎3‎ .‎ 因为f（x）在‎0,+∞‎不可能为常数函数，（舍） 所以k‎≤‎‎1‎‎3‎ .‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判定与应用，关键是依据x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1），判断出函数f（x）在‎0,+∞‎为增函数或常数函数，利用导数求出k的范围，属于中档题.‎ ‎13．‎‎-3‎ ‎【解析】‎ 满足条件的点‎(x,y)‎的可行域如下：‎ 由图可知，目标函数z=x+2y在点‎(3,-3)‎处取到最小值-3‎ ‎14．1‎ ‎【解析】‎ 依题意可得，f(0)=0‎，则‎2a-2‎‎2‎‎=0‎，解得a=1‎ 当a=1‎时，f(x)=‎‎2‎x‎-1‎‎2‎x‎+1‎，则f(-x)=‎2‎‎-x‎-1‎‎2‎‎-x‎+1‎=‎1-‎‎2‎x‎1+‎‎2‎x=-f(x)‎ 所以f(x)‎为奇函数，满足条件，故a=1‎ ‎15．‎3‎‎6‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出平行四边形，将要求的角转化为角GFD或其补角为所求角，在三角形FDG中应用余弦定理得到夹角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 取PD的中点记为F点，BC的中点记为 点，连接FG，GD，因为EF//BC，且EF=‎1‎‎2‎BC，BG=‎1‎‎2‎BC，故得到四边形EFGB为平行四边形，故角GFD或其补角为所求角，根据题干得到，三角形PAB为等边三角形，BF为其高线，长度为‎3‎，FG=‎3‎，DG=CD‎2‎+CG‎2‎‎=‎‎5‎，‎ FD=1，根据余弦定理得到cos∠GFD=‎3+1-5‎‎2‎‎3‎=-‎‎3‎‎6‎，因为异面直线夹角为直角或锐角，故取正值，为：‎3‎‎6‎.‎ 故答案为：‎3‎‎6‎.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.‎ ‎16．‎‎-‎‎2046‎‎2047‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎，当n=1，代入得a‎2‎‎=‎-4,依次得a‎3‎‎=10，a‎4‎=-22，a‎5‎=46...‎发现规律， 利用bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎，求出S‎10‎.‎ ‎【详解】‎ 由‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎，当n=1，代入得a‎2‎‎=‎-4,依次得a‎3‎‎=3×‎2‎‎2‎-2，a‎4‎=-3×‎2‎‎3‎+2，a‎5‎=3×‎2‎‎4‎-2，a‎6‎=-3×‎2‎‎5‎+2，a‎7‎=3×‎2‎‎6‎-2...‎发现规律， 利用bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎，得b‎1‎=-‎4‎‎3‎ ，b‎2‎‎=‎10‎‎3×7‎，b‎3‎=-‎22‎‎7×15‎，b‎4‎=‎46‎‎15×31‎，b‎5‎=-‎94‎‎31×63‎...‎ ，求出S‎10=‎‎-‎‎2046‎‎2047‎.‎ 故答案为：‎‎-‎‎2046‎‎2047‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.‎ ‎17．（1）an‎=‎‎2‎‎6-n;（2）Sn‎=‎n‎2‎‎-11n‎2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设某等差数列{cn}的公差为d，等比数列{an}的公比为q，依题意可求得q=‎1‎‎2‎，从而可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an‎=‎‎2‎‎6-n，于是可求得bn=n-6，继而可得数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设某等差数列{cn}的公差为d，等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a3，a4，a‎5‎ 分别是某等差数列{cn}的第5项、第3项和第2项，且a1=32，‎ ‎∴a3=c5，a4=c3，a‎5‎= c‎2‎ ‎ ‎∴c5=c3+2d=c2+3d，即a3=a4+2d=a5+3d，d=a‎3‎‎-a‎4‎‎2‎‎=a‎4‎‎-a‎5‎ ，‎ ‎∴a‎3‎‎=3a‎4‎-2‎a‎5‎，解得q=或q=1，又q≠1，∴q=，‎ ‎∴an=32×=‎2‎‎6-n．‎ ‎（Ⅱ）bn=‎-‎log‎2‎an=-log‎2‎‎2‎‎6-n‎=n-6‎，所以数列bn是以-5为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎∴Tn=n（-5+n-6）‎‎2‎‎=‎n（n-11）‎‎2‎ n‎2‎‎-11n‎2‎ ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差，等比数列的通项公式和等差数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于中档题．‎ ‎18．(1)C=π‎3‎ (2)c=6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量的数量积、两角和的正弦公式及三角函数的倍角公式即可得出；（2）利用正弦定理化简已知等式，得到a+b=‎3‎c，再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinC以及已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab，cosC的值代入即可求出c的值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，‎ ‎∴2sinCcosC=sinC，‎ ‎∵0＜C＜π，∴sinC≠0，‎ ‎∴cosC=，∴C=．‎ ‎（2）由题意得sinA+sinB=‎3‎sinC，利用正弦定理化简得：a+b=‎3‎c，‎ ‎∵S△ABC=absinC=ab=6，即ab=24 ，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，即c2=‎3‎‎2‎ab=36，所以c=6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积公式的运用、正弦定理和余弦定理解三角形；熟练掌握向量的数量积运算、三角函数的有关公式及性质是解题的关键．‎ ‎19．(1)见解析；（2）直线DP与平面BCP所成角的正弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在题图1中，可证DE∥BC ，在题图2中，BC⊥‎平面CEP.进而得到BC⊥‎平面CEP.从而证得平面BCP⊥‎平面CEP；‎ ‎（2）可证得EP⊥‎平面BCED. EP⊥CE.则以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点.由平面几何知识，得‎∠ACB=90°‎. ‎ 又因为E为AC的中点，所以DE∥BC ‎ 在题图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，且CE∩PE=E，‎ 所以DE⊥‎平面CEP，‎ 所以BC⊥‎平面CEP. ‎ 又因为BC⊂‎平面BCP，‎ 所以平面BCP⊥‎平面CEP.‎ ‎（2）解：因为平面DEP⊥‎平面BCED，平面DEP∩‎平面BCED=DE，EP⊂‎平面DEP，EP⊥DE.‎ 所以EP⊥‎平面BCED. ‎ 又因为CE⊂‎平面BCED，‎ 所以EP⊥CE.‎ 以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中，设BC=2a，则AB=4a，AC=2‎3‎a，AE=CE=‎3‎a，DE=a.‎ 则P‎0,0,‎3‎a，Da,0,0‎，C‎0,‎3‎a,0‎，B‎2a,‎3‎a,0‎.‎ 所以DP‎=‎‎-a,0,‎3‎a，BC‎=‎‎-2a,0,0‎，CP‎=‎‎0,-‎3‎a,‎3‎a. ‎ 设n=‎x,y,z为平面BCP的法向量，‎ 则n⋅BC=0,‎n⋅CP=0,‎，即‎-2ax=0,‎‎-‎3‎ay+‎3‎az=0.‎ 令y=1‎，则z=1‎.所以n=‎‎0,1,1‎. ‎ 设DP与BCP平面所成的角为θ，‎ 则sinθ=sinn,‎DP=cosn,‎DP=n⋅‎DPnDP=‎3‎a‎2‎‎×2a=‎‎6‎‎4‎.‎ 所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.‎ ‎20．(1)见解析(2) ‎‎(-∞,      20)‎ ‎【解析】分析：（1）利用‎4Sn+1‎-3Sn=4‎推出an+1‎an‎=‎‎3‎‎4‎是常数，然后已知a‎2‎a‎1‎‎=‎‎3‎‎4‎，即可证明数列‎{   an  }‎是等比数列； （2）利用错位相减法求出数列‎{  nan  }‎的前n项和为Tnn，化简不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n⋅an-16<0‎，通过对任意的n∈‎N‎*‎恒成立，求实数a的取值范围．‎ 详解：‎ ‎(1) ‎∵‎已知‎4Sn+1‎-3Sn=4,       n∈‎N‎*‎,‎ ‎ ‎∴‎ n≥2‎时, ‎‎4Sn-3Sn-1‎=4.    ‎ 相减得‎4an+1‎-3an=0‎. 又易知an‎≠0,             ‎ ‎∴an+1‎an=‎‎3‎‎4‎‎. ‎ 又由‎4Sn+1‎-3Sn=4,       n∈‎N‎*‎得‎4(a‎1‎+a‎2‎)-3a‎1‎=4,       ‎ ‎ ‎∴a‎2‎=‎3‎‎4‎,                                      ∴a‎2‎a‎1‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 故数列‎{   an  }‎是等比数列. ‎ ‎(2)由(1)知an‎=1×‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎=‎‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎. ‎ ‎ ‎∴Tn=1×‎(‎3‎‎4‎)‎‎0‎+2×‎(‎3‎‎4‎)‎‎1‎+⋯+n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎,‎ ‎ ‎∴‎3‎‎4‎Tn=1×‎(‎3‎‎4‎)‎‎1‎+2×‎(‎3‎‎4‎)‎‎2‎+⋯+n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n.‎ 相减得‎1‎‎4‎Tn‎=1+‎3‎‎4‎+‎(‎3‎‎4‎)‎‎2‎+⋯+‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎-n×‎(‎3‎‎4‎)‎n=‎1-‎‎(‎3‎‎4‎)‎n‎1-‎‎3‎‎4‎-n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n,‎ ‎ ‎∴Tn=16-16×‎(‎3‎‎4‎)‎n-4n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n, ‎ ‎ ‎∴‎不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n×an-16<0‎为‎16-16×‎(‎3‎‎4‎)‎n-4n×‎(‎3‎‎4‎)‎n+‎(‎3‎‎4‎)‎n×an-16<0‎.‎ 化简得‎4n‎2‎+16n>a.‎ 设f(n)=4n‎2‎+16n, ‎ ‎∵n∈‎N‎*‎‎ ‎∴f‎(n)‎min=f(1)=20‎.‎ 故所求实数a的取值范围是‎(-∞,      20)‎.‎ 点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．‎ ‎21．（1）极小值为‎0‎，无极大值；（2）‎a|a≤1,a>‎e‎2‎‎-1‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由a=1，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）求导后按a‎≤1,或a≥e‎2‎，或1