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- 2021-06-09 发布
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必修一 3.1.1方程的根与函数的零点
一、选择题
1、设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的
解的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2、已知函数y=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则实数b的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,+∞)
3、函数f(x)=零点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4、函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
5、若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )
A.0,- B.0,
C.0,2 D.2,-
6、若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
7、二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无法确定
二、填空题
8、根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为________.
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
9、函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为________.
10、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.
三、解答题
11、若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
12、关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
13、证明:方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.
以下是答案
一、选择题
1、C [由已知得
∴f(x)=
当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,
即x2+3x+2=0,
∴x=-1或x=-2;
当x>0时,方程为x=2,
∴方程f(x)=x有3个解.]
2、A [设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则由f(0)=0可得d=0,f(x)=x(ax2+bx+c)=ax(x-1)(x-2)⇒b=-3a,又由x∈(0,1)时f(x)>0,可得a>0,∴b<0.]
3、C [x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3.
x>0时,f(x)=ln x-2在(0,+∞)上递增,
f(1)=-2<0,f(e3)=1>0,∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
总之,f(x)在R上有2个零点.]
4、C [∵f(x)=ex+x-2,
f(0)=e0-2=-1<0,
f(1)=e1+1-2=e-1>0,
∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.]
5、A [∵a≠0,2a+b=0,
∴b≠0,=-.
令bx2-ax=0,得x=0或x==-.]
6、C [对于选项A,可能存在根;
对于选项B,必存在但不一定唯一;
选项D显然不成立.]
7、C [方程ax2+bx+c=0中,∵ac<0,∴a≠0,
∴Δ=b2-4ac>0,
即方程ax2+bx+c=0有2个不同实数根,
则对应函数的零点个数为2个.]
二、填空题
8、1
解析 设f(x)=e2-(x+2),由题意知f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,所以方程的一个实根在区间
(1,2)内,即k=1.
9、2
解析 该函数零点的个数就是函数y=ln x与y=x-2图象的交点个数.在同一坐标系中作出y=ln x与y=x-2的图象如下图:
由图象可知,两个函数图象有2个交点,即函数f(x)=ln x-x+2有2个零点.
10、3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由f(2)=-f(-2)=0.因此在(0,+∞)上只有一个零点,综上f(x)在R上共有3个零点,其和为-2+0+2=0.
三、解答题
11、解 设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.
∵方程f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,
∴,即
∴0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0.
所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解.
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.