专题1-5 高考预测卷（一）理科数学 -2017年全国高考数学考前复习大串讲 16页

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得C正确 点睛：考察集合间的关系，根据备选答案检验即可得出结论 ‎2. 已知是的共轭复数，且，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. 4 D. -4‎ ‎【答案】C 点睛：考察复数的分类和运算 ‎3. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇偶性判定得为偶函数，所以排除B、C，又当，故选A 点睛：考察函数图像，首先根据奇偶性排除某些答案，然后根据某些特殊点再逐一进行排除即可.‎ ‎4. 若满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A. -4 B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据线性约束条件可得变量满足的区域，对于目标函数z，在点（2,0）处取得最小值，所以最小值是2‎ 点睛：要注意画图，切记不可直接求交点坐标往目标函数代入求解 ‎5. 已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当， ，所以后不能推前，又，所以前推后成立，‎ ‎6. 已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，一条渐近线平行于，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：考察直线与双曲线得综合问题，先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程 ‎7. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）‎ A. 54 B. 72 C. 78 D. 96‎ ‎【答案】C 点睛：考察排列组合，优先排受限制元素，然后根据元素分析法即可得出答案 ‎8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图可得该几何体由一个圆柱和一个半球组成，故该几何体表面积为：‎ 点睛：将三视图还原为立体图形便可很容易解决，要注意面积公式的准确性 ‎9. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数.三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？后来，南宋数学家里秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的分别20，17，则输出的（ ）‎ A. 1 B. 6 C. 7 D. 11‎ ‎【答案】C 点睛：考察程序框图，细心逐步去计算即可 ‎10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，点与在的两侧，且，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于点，则与的外接圆半径之比为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得如图，，‎ ‎，，有正弦定理可得，得外接圆半径之比为,故选B 点睛：考察正弦定理和外接圆，做此类型得题多化草图分析理解题意 ‎11. 已知函数，若，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎【答案】B ‎12. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 只有有限个正整数使得 B. 只有有限个正整数使得 C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列 ‎【答案】D 点睛：考察数列的创新题，本题困难，根据数列的性质一一分析答案即可 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13. 设向量，且的夹角为，则实数__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】由题得：得 点睛：考察向量的数量公式，熟记公式即可 ‎14. 用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设正三棱柱的底边长为，高为y,则，由基本不等式可得故三棱柱的侧面积最大值为6‎ 点睛：对于小题的最值问题首先要想到基本不等式，然后写出表达式求解即可 ‎15. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则曲线在处的切线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以函数关于点（1,1）对称，时，取点，关于（1,1）对称点是代入时，，可得，，，令所以切线方程为 点睛：考察导数的几何意义切线方程的应用 ‎16. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：画出草图分析几何关系即可得出结论 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知数列的前项和.是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是的等比中项.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为，①‎ 所以当时，，解得，‎ 当时，，②‎ ‎-②，得，即，所以，‎ 由数列的前三项和为3，得，所以，‎ 设数列的公差为，则，‎ 又因为，所以，‎ 解得或（舍去），所以；‎ ‎（2）由（1），可知，，从而，‎ 令，‎ 即，③‎ ‎×2，得，④‎ ‎-④，得 ‎，‎ ‎ 即，‎ 故题设不等式可化为，（*）‎ 点睛：考察数列求通项的方及等差数列的性质，要多总结数列的求通项的题型，同时数列求和在考试中主要以裂项相消和错位相减两种方法为主，要熟练掌握 ‎18. 如图，有一码头和三个岛屿，，，.‎ ‎（1）求两个岛屿间的距离；‎ ‎（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）在中，，‎ 由正弦定理得，，即，‎ 解得，‎ 又因为在中，，所以，‎ 所以，从而，‎ 即两个岛屿间的距离为；‎ 点睛：考察正余弦定理的实际运用 ‎19. 如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点.‎ ‎（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.‎ ‎（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.‎ ‎∵为的中点，∴点的坐标为，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，‎ 令，得，所以平面的一个法向量为.‎ 点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性. ‎ ‎20. 已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点.‎ ‎（1）求的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）‎ 因为内切于于，所以，解得，‎ 所以的方程为：，‎ 因为直线分别切于，‎ 所以，‎ 连结， 在与中，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），‎ 所以的轨迹的方程为.‎ 点睛：考察椭圆得定义，求轨迹方程先要熟悉三大曲线的定义，根据定义去研究几何关系从而确定轨迹写出轨迹方程，在直线与椭圆得综合题型中要注意一般解法：联立韦达定理先写出来 ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若不存在极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）的定义域为，且，‎ 设，则.‎ ‎①当，即时，，所以在上单调递增；‎ 又，，即，‎ 所以在上恰有一个零点，‎ 且当时，；当时，；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，不合题意.‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 要证明，只需证明，‎ 当时，因为，‎ 所以成立；‎ 当时，设，‎ 则，‎ 设，则，‎ 因为，所以，‎ 点睛：考察导数的综合运用，注意分类讨论思想和不等式证明的分离参数法和转化为恒成立问题求最值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2） ‎【解析】（1）因为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）‎ 不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.‎ 把代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 把，代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 所以.‎ 点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中t的几何意义，借助t的意义来表示线段长会很方便. ‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎（2）证明： .‎ 所以不等式得证.点睛：考察绝对值不等式的解法和三角绝对值不等式求最值.‎