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- 2021-06-09 发布
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课时跟踪检测(五十二) 圆的方程
一、选择题
1．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，则实数 m 的取值
范围是( )
A．(－1,1) B．(－ 3， 3)
C．(－ 2， 2) D． － 2
2
， 2
2
2．圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0 的最大距离与最小距离的和是
( )
A．30 B．18
C．10 2 D．5 2
3．设圆的方程是 x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若 00)．若
圆 C 上存在点 P，使得 ∠APB＝90°，则 m 的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
二、填空题
7．已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 1∶2，则圆 C 的
方程为 __________________________________________________________________.
8．(2015·绍兴模拟)点 P(1,2)和圆 C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0 上的点的距离的最小值是
________．
9．若圆 C：x2－2mx＋y2－2 my＋2＝0 与 x 轴有公共点，则 m 的取值范围是________．
10．已知两点 A(－2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2＋y2－2x＝0 上任意一点，则△ABC 面积
的最小值是________．
三、解答题
11．已知圆的方程是 x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中 a≠1，且 a∈R.
(1)求证：a 取不为 1 的实数时，上述圆过定点；
(2)求圆心的轨迹方程．
12. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于
点 C 和 D，且|CD|＝4 10.
(1)求直线 CD 的方程；
(2)求圆 P 的方程．
答案
1．选 C ∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4 的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－
20，即 0＋a2＋0＋12> 2a，所以原点在圆外．
4．选 A 圆 C1，C2 的图象如图所示．
设 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则
|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2，－3)，连接 C1′C2，
与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为
5 2－4，故选 A.
5．选 A 设 M(x0，y0)为圆 x2＋y2＝4 上任一点，PM 中点为 Q(x，y)，
则
x＝x0＋4
2
，
y＝y0－2
2
，
∴ x0＝2x－4，
y0＝2y＋2.
代入圆的方程得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
6.选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐
标为(3,4)，半径 r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接 OP，
易知|OP|＝1
2|AB|＝m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原
点 O 的最大距离．因为|OC|＝ 32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r
＝6，即 m 的最大值为 6.
7．解析：由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为2π
3
，设圆心(0，a), 半
径为 r，则 rsinπ
3
＝1，rcosπ
3
＝|a|，解得 r＝ 2
3
，即 r2＝4
3
，|a|＝ 3
3
，
即 a＝± 3
3
，故圆 C 的方程为 x2＋ y± 3
3 2＝4
3.
答案：x2＋ y± 3
3 2＝4
3
8．解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心 C(－k，－1)，半径 r＝1.
易知点 P(1,2)在圆外．
∴点 P 到圆心 C 的距离为：
|PC|＝ k＋12＋32＝ k＋12＋9≥3.
∴|PC|min＝3.
∴点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.
答案：2
9 ． 解 析 ： 圆 C 的 标 准 方 程 为 (x － m)2 ＋ (y － m )2 ＝ m2 ＋ m － 2 ， 依 题 意 有
m2＋m－2>0，
m≤ m2＋m－2，
m≥0.
得 m≥ 2.
答案：[ 2，＋∞)
10．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到 l 的距离 d＝ 3
2
，
则 AB 边上的高的最小值为 3
2
－1.
故△ABC 面积的最小值是1
2
×2 2×
3
2
－1 ＝3－ 2.
答案：3－ 2
11．解：(1)证明：将方程 x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0 整理得 x2＋y2－4y＋2－a(2x－
2y)＝0(a≠1，且 a∈R)，
令 x2＋y2－4y＋2＝0，
2x－2y＝0，
解得 x＝1，
y＝1.
所以 a 取不为 1 的实数时，上述圆过定点(1,1)．
(2)由题意知圆心坐标为(a,2－a)，且 a≠1，
又设圆心坐标为(x，y)，则有 x＝a，
y＝2－a，
消去参数 a，得 x＋y－2＝0(x≠1)，即为所
求圆心的轨迹方程．
12．解：(1)∵直线 AB 的斜率 k＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．
∴直线 CD 的方程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
(2)设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0. ①
又∵直径|CD|＝4 10，∴|PA|＝2 10.
∴(a＋1)2＋b2＝40. ②
由①②解得 a＝－3，
b＝6，
或 a＝5，
b＝－2.
∴圆心 P(－3,6)或 P(5，－2)．
∴圆 P 的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
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