2019届二轮复习第八章第7节　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直学案（全国通用） 18页

第7节　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 最新考纲　1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线的方向向量和平面的法向量 ‎(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.‎ ‎(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.‎ ‎2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2‎ l1∥l2‎ n1∥n2⇔n1＝λn2‎ l1⊥l2‎ n1⊥n2⇔n1·n2＝0‎ 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0‎ l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.‎ ‎2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线的方向向量是唯一确定的.(　　)‎ ‎(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　)‎ ‎(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(　　)‎ ‎(4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.(　　)‎ 解析　(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；‎ ‎(2)a⊥α；(3)两平面平行或重合；(4)a∥α或a⊂α.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　　)‎ A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对 解析　∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.‎ 答案　C ‎3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)‎ A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 解析　∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，‎ ‎∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.‎ 答案　B ‎4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)‎ A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)‎ C. D. 解析　设n＝(x，y， )为平面ABC的法向量，‎ 则化简得∴x＝y＝ .‎ 答案　C ‎5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是 .‎ 解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y， 轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N.·＝·＝0，∴ON与AM垂直.‎ 答案　垂直 考点一　利用空间向量证明平行问题 ‎【例1】 (一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.‎ 证明：PQ∥平面BCD.‎ 证明　法一　如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，‎ ‎ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xy .‎ 由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).‎ 设点C的坐标为(x0，y0，0).‎ 因为＝3，‎ 所以Q.‎ 因为M为AD的中点，故M(0，，1).‎ 又P为BM的中点，故P，‎ 所以＝.‎ 又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0.‎ 又PQ⊄平面BCD，‎ 所以PQ∥平面BCD.‎ 法二　在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).‎ ‎∵＝，设点F坐标为(x，y，0)，则 ‎(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，‎ ‎∴∴＝ 又由法一知＝，‎ ‎∴＝，∴PQ∥OF.‎ 又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，‎ ‎∴PQ∥平面BCD.‎ 规律方法　1.恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.‎ ‎2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.‎ ‎【训练1】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.‎ 证明　建立如图所示的空间直角坐标系D－xy ，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).‎ 得E，F，G，‎ ＝，＝.‎ 设n1＝(x1，y1， 1)为平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2， 2)为平面B1CD1的一个法向量.‎ 则即 令x1＝1，可得y1＝－1， 1＝－1，‎ 同理可得x2＝1，y2＝－1， 2＝－1.‎ 则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).‎ 由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.‎ 考点二　利用空间向量证明垂直问题 ‎【例2】 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：‎ ‎(1)PA⊥BD；‎ ‎(2)平面PAD⊥平面PAB.‎ 证明　(1)取BC的中点O，连接PO，‎ ‎∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD.‎ 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.‎ ‎∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，).‎ ‎∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－).‎ ‎∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴PA⊥BD.‎ ‎(2)取PA的中点M，连接DM，则M.‎ ‎∵＝，＝(1，0，－)，‎ ‎∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，‎ ‎∴⊥，即DM⊥PB.‎ ‎∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，‎ ‎∴⊥，即DM⊥PA.‎ 又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，‎ ‎∴DM⊥平面PAB.‎ ‎∵DM⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PAB.‎ 规律方法　1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.‎ ‎2.用向量证明垂直的方法 ‎(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.‎ ‎(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.‎ ‎(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.‎ ‎【训练2】 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O 为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D.‎ 证明　由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为AB＝AA1＝，所以OA＝OB＝OA1＝1，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，‎ C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1).‎ 由＝，易得B1(－1，1，1).‎ 因为＝(－1，0，－1)，＝(0，－2，0)，＝(－1，0，1)，‎ 所以·＝0，·＝0，‎ 所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.‎ 又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，‎ 所以A1C⊥平面BB1D1D.‎ 考点三　用空间向量解决探索性问题(多维探究)‎ 命题角度1　与平行有关的探索性问题 ‎【例3－1】 (2016·北京卷改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.‎ ‎(1)求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在 ‎，说明理由.‎ ‎(1)证明　因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，‎ 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.‎ 又因为PA⊥PD且AB∩PA＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.‎ ‎(2)解　取AD的中点O，连接PO，CO.‎ 因为PA＝PD，所以PO⊥AD.‎ 又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ 因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.‎ 因为AC＝CD，所以CO⊥AD.‎ 如图，建立空间直角坐标系O－xy .由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，‎ D(0，－1，0)，P(0，0，1).‎ 设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]，使得＝λ.‎ 因此M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).‎ 因为BM⊄平面PCD，所以BM∥平面PCD，‎ 当且仅当·n＝0，‎ 即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝.‎ 所以在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，‎ 此时＝.‎ 命题角度2　与垂直有关的探索性问题 ‎【例3－2】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.‎ ‎(1)求证：AC⊥BF；‎ ‎(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，‎ AF⊂平面ADEF，‎ ‎∴AF⊥平面ABCD.‎ 又AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.‎ 过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝，CH＝3，‎ ‎∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，‎ ‎∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，‎ ‎∴AC⊥平面FAB，‎ ‎∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.‎ ‎(2)解　存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xy ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2).‎ 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，‎ 设＝λ，则λ>0，P.‎ 设平面PAC的法向量为m＝(x，y， ).‎ 由＝，＝(0，2，0)，‎ 得 即令x＝1，则 ＝，‎ 所以m＝为平面PAC的一个法向量.‎ 同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量.‎ 当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，‎ 故存在满足题意的点P，此时＝.‎ 规律方法　解决立体几何中探索性问题的基本方法 ‎(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.‎ ‎(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y， )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如 轴上的点为(0，0， )；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.‎ 提醒　解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.‎ ‎【训练3】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.‎ ‎(1)求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ 证明　(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，‎ 所以AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知AA1⊥AB，AA1⊥AC.‎ 由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xy .‎ 则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4).‎ 设D(x，y， )是直线BC1上的一点，且＝λ1，‎ 所以(x，y－3， )＝λ(4，－3，4)，‎ 解得x＝4λ，y＝3－3λ， ＝4λ，‎ 所以＝(4λ，3－3λ，4λ).‎ 由·＝0，＝(0，3，－4)，‎ 则9－25λ＝0，解得λ＝.‎ 因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时，＝λ＝.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)‎ A.2 B.－4 C.4 D.－2‎ 解析　∵α∥β，∴两平面的法向量平行，‎ ‎∴＝＝，∴k＝4.‎ 答案　C ‎2.若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)‎ A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析　∵＝λ＋μ，∴，，共面.‎ 则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.‎ 答案　D ‎3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)‎ A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)‎ C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)‎ 解析　逐一验证法，对于选项A，＝(1，4，1)，‎ ‎∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，‎ ‎∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.‎ 答案　A ‎4.(2018·郑州月考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)‎ A.B1E＝EB B.B1E＝2EB C.B1E＝EB D.E与B重合 解析　分别以DA，DC，DD1为x，y， 轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2， )，＝(0，1，－2)，＝(2，2， )，∵·＝0×2＋1×2－2 ＝0，∴ ＝1，∴B1E＝EB.‎ 答案　A ‎5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)‎ A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由于A1M＝AN＝，‎ 则M，N，‎ ＝.‎ 又C1D1⊥平面BB1C1C，‎ 所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量.‎ 因为·＝0，‎ 所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C，‎ 所以MN∥平面BB1C1C.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.(2018·武汉调研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是 .‎ 解析　设平面α的法向量为m＝(x，y， )，‎ 由m·＝0，得x·0＋y－ ＝0⇒y＝ ，‎ 由m·＝0，得x－ ＝0⇒x＝ ，取x＝1，‎ ‎∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.‎ 答案　α∥β ‎7.(2018·西安调研)已知＝(1，5，－2)，＝(3，1， )，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝ .‎ 解析　由条件得 解得x＝，y＝－， ＝4，‎ ‎∴x＋y＝－＝.‎ 答案　 ‎8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)， ‎＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的序号是 .‎ 解析　∵·＝0，·＝0，‎ ‎∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又与不平行，‎ ‎∴是平面ABCD的法向量，则③正确.‎ 由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，‎ ‎∴与不平行，故④错误.‎ 答案　①②③‎ 三、解答题 ‎9.(一题多解)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.‎ 证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，‎ ‎∴AB，AP，AD两两垂直.‎ 以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axy ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).‎ 法一　∴＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，‎ 设平面EFG的法向量为n＝(x，y， )，‎ 则即 令 ＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，‎ ‎∵＝(2，0，－2)，∴·n＝0，∴n⊥，‎ ‎∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.‎ 法二　＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，‎ ＝(1，1，－1).设＝s＋t，‎ 即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，‎ ‎∴解得s＝t＝2.∴＝2＋2，‎ 又∵与不共线，∴，与共面.‎ ‎∵PB⊄平面EFG，‎ ‎∴PB∥平面EFG.‎ ‎10.如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证：AE∥平面BCF；‎ ‎(2)求证：CF⊥平面AEF.‎ 证明　取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，‎ 又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，‎ 故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0).‎ ＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2，).‎ ‎(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y， )，‎ 则取 ＝1，得n＝(－，，1).‎ 又四边形BDEF为平行四边形，‎ ‎∴＝＝(－1，－2，)，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，‎ ‎∴·n＝3－4＋＝0，∴⊥n，‎ 又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.‎ ‎(2)＝(－3，0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，∴⊥，⊥，‎ 又AE∩AF＝A，‎ AE，AF⊂平面AEF，‎ ‎∴CF⊥平面AEF.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)‎ A.(1，1，1) 　　 B. C. 　　 D. 解析　设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，‎ 又O是正方形ABCD对角线交点，‎ ‎∴M为线段EF的中点.‎ 在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1).‎ 由中点坐标公式，知点M的坐标.‎ 答案　C ‎12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为 .‎ 解析　以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y， 轴建立空间直角坐标系，‎ 设CE＝x，DF＝y，‎ 则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)，‎ ‎∴＝(x－1，0，1)，∴＝(1，1，y)，‎ 由于B1E⊥平面ABF，‎ 所以·＝(1，1，y)·(x－1，0，1)＝0⇒x＋y＝1.‎ 答案　1‎ ‎13.如图，正△ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.‎ ‎(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.‎ 解　(1)AB∥平面DEF，理由如下：‎ 在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB.‎ 又因为AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，‎ 所以AB∥平面DEF.‎ ‎(2)以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴， 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，故＝(0，，1).‎ 假设存在点P(x，y，0)满足条件，‎ 则＝(x，y，－2)，·＝y－2＝0，‎ 所以y＝.‎ 又＝(x－2，y，0)，＝(－x，2－y，0)，∥，‎ 所以(x－2)(2－y)＝－xy，所以x＋y＝2.‎ 把y＝代入上式得x＝，所以＝，‎ 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE，此时＝.‎