广深珠三校2020届高三第1次联考数学（理）试卷 19页

理科数学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．‎ ‎1．已知集合A＝{x｜}，B＝{}，则A∩B＝.‎ A. {x｜0＜x＜2}　　 B. {x｜0≤x＜2} ‎ C. {x｜2＜x＜3}　 　 D. {x｜2＜x≤3}‎ ‎2．若复数的共轭复数满足,则.‎ A. B. C. D.‎ ‎3．下列有关命题的说法错误的是.‎ A. 若“”为假命题，则、均为假命题； ‎ B. 若是两个不同平面，,，则 ； C. “”的必要不充分条件是“”；‎ D. 若命题p：，则命题：；‎ ‎4．已知某离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 则X的数学期望.‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎5．已知向量、均为非零向量，则、的夹角为.‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若，则的值为.‎ A. B. C. D. ‎7．若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为.‎ A. 4 B. ‎12 ‎C. 16 D. 6‎ ‎8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=.‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎9．已知定义在R上的偶函数对任意 都有，当取最小值时，的值为.‎ A.1 B. C. D.‎ ‎10．在如图直二面角ABDC中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是.‎ A．BC与平面A1BE内某直线平行 ‎ B．CD∥平面A1BE C．BC与平面A1BE内某直线垂直 ‎ D．BC⊥A1B ‎11．定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列 ‎ 的前项的“均倒数”为，又，则.‎ A. B. C. D. ‎12．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是.‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13．设满足约束条件，则的最大值为 ；‎ ‎14．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为 ；‎ ‎15．已知点P在双曲线上，轴(其中为双曲线的右焦点)，点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为 ；‎ ‎16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，， ‎ ‎ ∠BAC=120。，若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ；‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，在中，角所对的边分别为，；‎ ‎（1）证明：为等腰三角形；‎ ‎（2）若为边上的点，，且∠ADB =2∠ACD，‎ ‎，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且经过点 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）函数在区间上有零点，求的值；‎ ‎（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数 ‎（万人）与年份的数据：‎ 第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 旅游人数（万人）‎ ‎300‎ ‎283‎ ‎321‎ ‎345‎ ‎372‎ ‎435‎ ‎486‎ ‎527‎ ‎622‎ ‎800‎ 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： ‎ 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程 ‎；‎ 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．‎ ‎（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．‎ ‎（精确到个位，精确到0．01）．‎ ‎（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．‎ 回归方程 ‎①‎ ‎②‎ ‎30407‎ ‎14607‎ 参考公式、参考数据及说明：‎ ‎①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．‎ ‎②刻画回归效果的相关指数 ‎③参考数据：，．‎ ‎5．5‎ ‎449 ‎ ‎6．05‎ ‎83‎ ‎4195 ‎ ‎9．00‎ 表中．‎ 请考生从第（22）、（23）两 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲](10分）‎ 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值． ‎ 理科数学参考答案 一、‎ 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C B B A D D A D C D ‎12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 当时，方程不成立，即，‎ 则， 设（且），‎ 则，‎ ‎∵且，∴由得，‎ 当时，，函数为增函数，‎ 当且时，，函数为减函数，‎ 则当时函数取得极小值，极小值为，‎ 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：‎ 故：要使有两个不同的根，则即可，‎ 即实数的取值范围是.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13． 19 ； 14． 15 ； 15．； 16．；‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 如图，在中，角所对的边分别为，；‎ ‎（1）证明：为等腰三角形；‎ ‎（2）若为边上的点，，且，，求的值．‎ ‎【详解】（1），由正弦定理得： ………..2分 由余弦定理得：； ………..4分 化简得：,‎ 所以即， ………..5分 故为等腰三角形． ………..6分 ‎（2）如图， ‎ 由已知得，，‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎………..8分 又，‎ ‎， ………..10分 即，‎ 得，由（1）可知，得． ………..12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）设的中点为，连接，‎ 为的中点，所以为的中位线，‎ 则可得，且； ………..2分 在梯形中，，且，‎ ‎，‎ 所以四边形是平行四边形， ………..4分 ‎，又平面，平面，‎ 平面 ‎． ………..6分 法二：设为的中点，连接，‎ 为的中点，‎ 所以是的中位线，所以，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ………..2分 又在梯形中，，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ………..4分 又，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 平面． ………..6分 ‎（2）设的中点为，又．‎ 因平面平面，交线为，平面，‎ 平面，‎ 又由，，‎ ‎．‎ 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．‎ ‎ ………..7分 已知点， ……..8分 设平面的法向量为：．‎ 则有 ，可得平面的一个法向量为，‎ ‎， ………..10分 可得：， ………..11分 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎． ………..12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，且经过点 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可得，，又a2﹣b2＝c2， ………..2分 解得a2＝4，b2＝1，．‎ 所以，椭圆的方程为． ………..4分 ‎（Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，‎ 设直线l的方程为x+my﹣＝0，与椭圆联立可得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），假设在x轴上存在定点Q（t，0）．‎ y1+ y 2＝，y 1 y 2＝． ………..6分 ‎∵PN与QN关于x轴对称，∴kAQ+kQB＝0， ………..7分 即⇒y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒，‎ ‎⇒⇒t＝． ………..9分 ‎∴在x轴上存在定点Q（，0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ………..10分 特别地，当直线l是x轴时，点Q（，0）．也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． …..11分 综上，在x轴上存在定点Q（，0）．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称． ………..12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）函数在区间上有零点，求的值；‎ ‎（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．‎ ‎【详解】（1），所以切线斜率为，‎ 又，切点为，所以切线方程为． -------------2分 ‎（2）令，得，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以的极小值为，又，‎ 所以在区间上存在一个零点，此时；‎ 因为，，‎ 所以在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3． -------------6分 ‎（3）当时，不等式为．显然恒成立，此时；‎ 当时，不等式可化为， ------------7‎ 分 令，则，‎ 由（2）可知，函数在上单调递减，且存在一个零点，‎ 此时，即 所以当时，，即，函数单调递增；‎ 当时，，即，函数单调递减．‎ 所以有极大值即最大值，于是． ------------9分 当时，不等式可化为，‎ 由（2）可知，函数在上单调递增，且存在一个零点，同理可得．‎ 综上可知．‎ 又因为，所以正整数的取值集合为． ------------12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：‎ 第年 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 旅游人数（万人）‎ ‎300‎ ‎283‎ ‎321‎ ‎345‎ ‎372‎ ‎435‎ ‎486‎ ‎527‎ ‎622‎ ‎800‎ 该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型： ‎ 模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；‎ 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．‎ ‎（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．‎ ‎（精确到个位，精确到0．01）．‎ ‎（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．‎ 回归方程 ‎①‎ ‎②‎ ‎30407‎ ‎14607‎ 参考公式、参考数据及说明：‎ ‎①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．‎ ‎②刻画回归效果的相关指数 ．‎ ‎③参考数据：，．‎ ‎5．5‎ ‎449 ‎ ‎6．05‎ ‎83‎ ‎4195 ‎ ‎9．00‎ 表中．‎ 解：（1）对取对数，得， ……1分 设，，先建立关于的线性回归方程。‎ ‎， ……3分 ‎ ……5分……6分 模型②的回归方程为 ‎。 ……7分 ‎（2）由表格中的数据，有30407>14607，即， ……9分 即， ……10分 模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好。 ……11分 ‎2021年时，，预测旅游人数为（万人） ……12分 请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值. ‎ ‎【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，‎ 所以 ……3分 整理得.即， ‎ 化为极坐标方程为. ……5分 ‎（2）设直线：的极坐标方程为.设，，‎ 因为，所以，即. ……6分 联立整理得. ……7分 则解得. ……9分 所以，则. ……10分 ‎23．[选修4-5：不等式选讲](10分）‎ 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值． ‎ ‎【详解】（1）当时，，即， ……3分 解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，‎ ‎ ……4分 所以，的解集的解集为． ……5分 解法2：原不等式等价于 或 或， ……3分 解得：或无解或， ‎ 所以，的解集为． ……5分 ‎（2）． ……6分 则 ……7分 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值，． ……8分 因为对，恒成立，‎ 所以． ……9分 又因，‎ 所以，解得 （不合题意）．‎ 所以的最小值为1． ……10分