高考文科数学复习备课课件：第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 23页

文数 课标版 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的① 　端点     从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类   (3)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S ={ β | β = α + k · 教材研读 360 ° , k ∈Z}. 角 α 的弧度数公式 | α |=   ( l 表示弧长, r 表示半径长) 角度与弧度的换算 1 ° =   rad;1 rad=⑦       °      弧长公式 l =⑧ 　| α | r      扇形面积公式 S =⑨        lr      =⑩        | α | r 2      2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于⑥ 　半径长     的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧 度记作rad. (2)公式 3.任意角的三角函数   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)第一象限角必是锐角.   ( × ) (2)不相等的角终边一定不相同.   ( × ) (3)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种 度量单位.   (√) (4) α 为第一象限角,则sin α +cos α >1.   (√)   1.与角   的终边相同的角可表示为   (　　) A.2 k π+45 ° ( k ∈Z)　    B. k ·360 ° +   π( k ∈Z) C. k ·360 ° -315 ° ( k ∈Z)　    D. k π+   ( k ∈Z) 答案     C       π=   × 180 ° =360 ° +45 ° =720 ° -315 ° , ∴与角   π的终边相同的角可表示为 k ·360 ° -315 ° , k ∈Z.弧度制与角度制 不能混用,故A、B不对. 2.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无 关; ④若sin α =sin β ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若cos θ <0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案      A 　由于第一象限角 370 ° 不小于第二象限角 100 ° , 故①错 ; 当三角 形的内角为 90 ° 时 , 其既不是第一象限角 , 也不是第二象限角 , 故②错 ;③ 正确;由于sin   =sin   ,但   与   的终边不相同,故④错;当cos θ =-1,即 θ = π时, θ 既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正 确. 3.已知角 α 的终边过点 P (-1,2),则sin α =   (　　) A.   　    B.   　    C.-   　    D.-   答案     B　| OP |=   =   ( O 为坐标原点),所以sin α =   =   . 4.若角 θ 同时满足sin θ <0且tan θ <0,则角 θ 的终边一定落在   (　　) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限 答案     D　由sin θ <0,可知 θ 的终边可能位于第三象限或第四象限,也可 能与 y 轴的非正半轴重合.由tan θ <0,可知 θ 的终边可能位于第二象限或 第四象限,故 θ 的终边只能位于第四象限. 5.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为      　　     弧度. 答案        解析 　∵弦长等于半径长, ∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形. 故该弦所对的圆心角的大小为   . 考点一　角的集合表示及象限角的判断 典例1 　(1)设集合 M =   ,N=   ,那么   (　　) A. M = N 　    B. M ⊆ N C. N ⊆ M 　    D. M ∩ N = ⌀ (2)终边在直线 y =   x 上的角的集合是      . (3)如果 α 是第三象限角,那么角2 α 的终边落在 　　　　　　　　　　     　　     . 答案 　(1)B　(2)   (3)第一象限或第二象限或 y 轴的非负半轴上 考点突破 解析 　(1) M =   ={ … ,-45 ° ,45 ° ,135 ° ,225 ° , … }, N =   ={ … ,-45 ° ,0 ° ,45 ° ,90 ° ,135 ° ,180 ° ,225 ° , … },显 然有M ⫋ N.故选B. (2)∵在(0,π)内终边在直线 y =   x 上的角是   , ∴终边在直线 y =   x 上的角的集合为   . (3)由 α 是第三象限角,得π+2 k π< α <   +2 k π( k ∈Z), ∴2π+4 k π<2 α <3π+4 k π( k ∈Z). ∴角2 α 的终边落在第一象限或第二象限或 y 轴的非负半轴上. 方法技巧 (1)给出一个角,判断该角的终边所在象限的方法:先将此角化为 k ·360 ° + α (0 ° ≤ α <360 ° , k ∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角 α (0 ° ≤ α <360 ° ), 再由角 α 终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (2)已知 θ 的终边所在的象限,求   或 nθ ( n ∈N * )的终边所在的象限的方法: 将 θ 的范围用不等式(含有 k ( k ∈Z))表示,然后两边同除以 n 或乘以 n ,再对 k 进行讨论,得到   或 nθ ( n ∈N * )的终边所在的象限. 1-1 　若角 α 是第二象限角,则   是   (　　) A.第一象限角　     B.第二象限角 C.第一或第三象限角　    D.第二或第四象限角 答案     C　∵ α 是第二象限角,∴   +2 k π< α <π+2 k π, k ∈Z,∴   + k π<   <   + k π, k ∈Z. 当 k 为偶数时,   是第一象限角; 当 k 为奇数时,   是第三象限角. 1-2 　在与2 010 ° 角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为       . 答案 　-   解析 　2 010 ° =   π=12π-   , ∴与2 010 ° 角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为-   . 考点二　扇形的弧长与面积公式 典例2 　(1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 　     　     . (2)如图,已知扇形的圆心角 α =120 ° ,弦 AB 长12 cm,则该扇形的弧长 l =      　　     cm.   答案 　(1)   　(2)   π 解析 　(1)设圆心角是 θ ,半径是 r , 则   ⇒   或   (舍), 故扇形的圆心角的大小为   . (2)设扇形的半径为 r cm,如图.   由sin 60 ° =   ,得 r =4   , ∴ l =| α |· r =   × 4   =   π cm. 方法技巧 解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项 (1)解决有关扇形的弧长和面积问题时,要注意角的单位,一般将角度化 为弧度. (2)求解扇形面积的最值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配 方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三 角形. 变式2-1 　在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和 圆心角取何值时,可使其面积最大? 解析 　设圆心角是 θ ,半径是 r ,则2 r + rθ =10. 所以扇形的面积 S =   θ · r 2 =   r (10-2 r )= r (5- r ) =-   +   ≤   , 当且仅当 r =   时,扇形面积 S 最大,且 S max =   ,此时 θ =2. 所以当 r =   , θ =2时,扇形面积最大. 2-2 　已知圆中一段弧的长度等于该圆内接正方形的边长,求这段弧所 对的圆心角是多少. 解析 　设圆的半径为 r ,则圆内接正方形的对角线长为2 r , ∴正方形的边长为   r , ∴所求圆心角的弧度数是   =   . 考点三　三角函数的定义 典例3 　已知角 α 的终边上一点 P (-   , m )( m ≠ 0),且sin α =   ,求cos α ,tan α 的值. 解析 　由题设知 x =-   , y = m , ∴ r 2 =| OP | 2 =(-   ) 2 + m 2 ( O 为原点), r =   . ∵sin α =   =   =   , ∴ r =   =2   , 即3+ m 2 =8,解得 m = ±   . 当 m =   时, r =2   , x =-   , y =   , ∴cos α =   =-   ,tan α =-   ; 当 m =-   时, r =2   , x =-   , y =-   , ∴cos α =   =-   ,tan α =   . 易错警示 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边 上任意一个异于原点的点的横坐标 x ,纵坐标 y ,该点到原点的距离 r .若题 目中已知角的终边在一条直线(非坐标轴)上,则要注意在终边上任取一 点有两种情况(点所在象限不同). 3-1　 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2 x 上,则cos 2 θ =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案     B　设 P ( t ,2 t )( t ≠ 0)为角 θ 终边上异于原点的任意一点,则cos θ =   . 当 t >0时,cos θ =   ; 当 t <0时,cos θ =-   . 因此cos 2 θ =2cos 2 θ -1=   -1=-   .