2018-2019学年广东省深圳市高级中学高二上学期期末考试 数学（文） Word版 11页

深圳高级中学（集团）2018-2019 学年高二年级第一学期期末考试 数学（文科） 命题人：辛彦瑶审题人：范铯 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ，设 ，则集合 的元素个 数为( ) A. 9 B. 8 C. 3 D. 2 2.设复数 ，则 =（） A． B. C. D. 2 3.下列全称命题中假命题的个数是(　 ) ① 是整数 ；②对所有的 ， ；③对任意一个 ， 为奇数． A．0 B．1 C．2 D．3 4、已知 ，则（ ） A. B. C. D. 5．某公司 2013—2018 年的年利润 x(单位：百万元)与年广告支出 y(单位：百万元) 的统计资料如表所示： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 利润 x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出 y 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，则 (　　) A．利润中位数是 16，x 与 y 有正相关关系 B．利润中位数是 17，x 与 y 有正相关关系 C．利润中位数是 17，x 与 y 有负相关关系 D．利润中位数是 18，x 与 y 有负相关关系 { } { }| 1 4 , 2, 1,4,8,9A x Z x B= ∈ − ≤ ≤ = − − C A B=  C 1 1z ii = ++ | |z 1 2 2 2 3 2 2 1x + ( )x∈R x∈R 3x > x∈Z 22 1x + 0.6 2 22 , log 3, log sin 5a b cπ π= = = c b a< < c a b< < b a c< < a c b< < 6.过点 引圆 的切线，则切线长是 ( ) A．3 B． C．4 D．5 7.已知非零向量 ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ） A． B. C. D. 8. 执行如下图的程序框图，那么输出 的值是( ) A. 2 B.1 C. D. -1 9.点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 . ① 的最小正周期是 ② 的值域为 ③ 的初相 为 ④ 在 上单调递增 以上说法正确的个数是（） （A） （B） （C） （D） 10.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为 m 和 n，则 m>n 的概率为 (　　) A． 7 10 B． 3 10 C．3 5 D．2 5 11.若两个正实数 满足 ，且存在这样的 使不等式 有解， 则实数 的取值范围是（） S (4,5)P 2 2 2 4 1 0x y x y+ − − + = 14 ( ,0)a t= ( 1, 3)b = − 4a b = −   2a b+  b 3 π 2 π 6 π 2 3 π 1 2 ( ,1)6P π− ( ) sin( ) ( 0, )2f x x mω ϕ ω ϕ= + + > < π P 4 π ( )f x π ( )f x [0,2] ( )f x ϕ 3 π ( )f x 5[ ,2 ]3 π π 1 2 3 4 ,x y 1 4 1x y + = ,x y 2 34 yx m m+ < + m 输出 S 开始 2019k < 否 1k k= + 是 结束 1 1S S = − 2, 0S k= = 8 题图 A． B. C. D. 12.已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和 双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（） A．3 B.2 C. D. 二.填空题：本大共 4 小题．每小题 5 分，满分 20 分． 13.已知双曲线 ： 的焦距为 ，点 在双曲线 的渐近线上，则双曲 线 的方程为____________________ . . 14．已知复数 满足 ，则 ________ 15.已知函数 ，若函数 的图象在 处的切线方程为 ，则实数 ． 16.已知数列 的前 项和为 ， ，且 ，则数列 的 通项公式为_____________. 三.解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分 10 分） 某银行对某市最近 5 年住房贷款发放情况(按每年 6 月份与前一年 6 月份为 1 年统 计)作了统计调查，得到如下数据： 年份 x 2014 2015 2016 2017 2018 贷款 y(亿元) 50 60 70 80 100 (1)将上表进行如下处理：t＝x－2 013，z＝(y－50)÷10，得到数据： C 2 2 2 2 1y x a b − = 10 5 ( )1,2P C C 2 2 1100 25 y x− = )(ln2 1)( 2 Raxaxxf ∈+= )(xf 2=x 0=+− byx =a ( )1,4− ( )4,1− ( ) ( ), 4 1,−∞ − +∞ ( ) ( ), 3 0,−∞ − +∞ 1 2,F F P 1 2 3F PF π∠ = 1 2,e e 1 2 1 e e 4 3 3 2 3 3 z (1 ) 1 3i z i+ = + z = 2 i− 2− }{ na n nS 1 21, 2a a= = 1 ( 2)2n n nS a n= + ≥ }{ na 1, 1 2( 1), 2n na n n ==  − ≥ (mg/100ml) 酒精含量 组距 频率 0.02 0.015 0.01 0.005 1009080706050403020 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 试求 z 与 t 的线性回归方程 z＝bt＋a，再写出 y 与 x 的线性回归方程 y＝b′x＋ a′. (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算 2019 年房贷发放数额. 参考公式： 18(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 中 ， 点 在 边 上 ， ， ， ， ． （1）求 的面积； （2）求线段 的长． 19（本小题满分 12 分） 按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在 (不含 )之间，属酒后驾车；在 (含 )以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查 了 辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员 人，右图是对这 人血液中酒精含 量进行检查所得结果的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求：此次抽查的 人中，醉酒驾车的人数； (2)从血液酒精浓度在 范围内的驾驶员中任取 人，求恰有 人属于醉酒驾车的概 率． 20（本小题满分 12 分） ABC∆ D BC AD AC⊥ 6cos 3B = 3 2AB = 3BD = ABD∆ DC 20 80mg /100ml 80 80mg /100ml 80 250 20 20 250 [ )70,90 2 1 A B CD 已知等差数列 的前项和为 ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的公差不为 0，数列 满足 ，求数列 的前项和 . 21（本小题满分 12 分）已知动圆过定点 A(0，2)，且在 x 轴上截得的弦长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)点 P 为轨迹 C 上任意一点，直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线，直线 l 交直线：y＝－1 于 点 R，过点 P 作 PQ⊥l 交轨迹 C 于点 Q，求△PQR 的面积的最小值． 22．(本小题满分 l2 分)已知函数 (1)求函数 的单调区间； (2)是否存在实数 a，使得函数 的极值大于 0?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说 明理由. 21 2f ( x ) ln x ax x,a R.= − + ∈ f ( x ) f ( x ) { }na nS 3 1 3 79, , ,S a a a= { }na { }na { }nb 2 n n n ab = { }nb nT 深圳高级中学（集团）2018-2019 学年高二年级第一学期期末考试 数学（文科）答案 命题人：辛彦瑶审题人：范铯 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. D 2. B 3. C 4、A 5． B 6.B 7.A 8. A 【解析】当 ， 时，执行第一次循环体： ， ； 执行第二次循环体： ， ； 执行第三次循环体： ， ； 执行第四次循环体： ， ；……， 观察可知：其周期为 ，且 ， 所以输出的 ，故选 A 9. D 10.A 11. C 12.D 13. 14． 15. 16. 三.解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本题满分 10 分） [解]　(1)计算得＝3，＝2.2，Error!Error!t2i＝55，Error!Error!tizi＝45，所以 b＝＝1.2，a＝2.2－1.2×3＝－1.4， 所以 z＝1.2t－1.4. 注意到 t＝x－2 013，z＝(y－50)÷10， 代入 z＝1.2t－1.4，整理得 y＝12x－24120. 2=S 0=k 121 1 −=−=S 1=k 2 1 )1(1 1 =−−=S 2=k 2 2 11 1 = − =S 3=k 121 1 −=−=S 4=k 3 2019 673 3= × 2=S 2 2 1100 25 y x− = 2 i− 2− 1, 1 2( 1), 2n na n n ==  − ≥ (mg/100ml) 酒精含量 组距 频率 0.02 0.015 0.01 0.005 1009080706050403020 (2)当 x＝2 019 时，y＝108，即 2017 年房贷发放的实际值约为 108 亿元． 18(本小题满分 12 分) 解：（1）在 中， , （2）在 中，由余弦定理得 由正弦定理得， ， . + = , , , 19（本小题满分 12 分） 解: (1)由频率分布直方图可知： 血液酒精浓度在 内范围内有： 人……………2 分 血液酒精浓度在 内范围内有： 人……………4 分 所以醉酒驾车的人数为 人……………6 分 (2)因为血液酒精浓度在 内范围内有 人，记为 范围内有 人， 记为 则从中任取 2 人的所有情况为 ， ， ， 共 10 种………………………………………………………8 分 恰有一人的血液酒精浓度在 范围内的情况有 ABD∆  3 3sin,3 6cos =∴= BB ∴ 2 23 3 33232 1sin2 1 =⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ BBDABS ABD ABC∆ BBCABBDABAD cos2222 ⋅⋅−+= 3 63232318 ×××−+= 9= 3=∴ AD B AD ADB AD sinsin =∠ 3 6sin =∠∴ ADB ADB∠ ADC∠ 180 3 6sin =∠∴ ADC 3 3cos =∠∴ ADC ADCDC AD ∠= cos 33=∴DC [ )80,90 0.01 20 10 2× × = [ )90,100 0.005 20 10 1× × = 2 1 3+ = [ )70,80 3 , , ,a b c [ )80,90 2 , ,d e ( , ),( , ),( , ),( , )a b a c a d a e ( , ),( , )b c b d ( , )b e ( , ),( , ),( , )c d c e d e [ )80,90 , ，共 6 种…………………………………10 分 设“恰有 人属于醉酒驾车”为事件 ，则 ……………12 分 20（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题得， ，设等差数列 的公差为 ，则 ， 化简，得 或 . 当 时， ，得 ， ∴ ， 即 ； 当 时，由 ，得 ，即 ； （2）由（1）知 ， 所以 ……① ……② 由① ②可得 ( , ),( , )a d a e ( , ),( , ),( , ),( , )b d b e c d c e 1 A 3( ) 5P A = 1 2n n nb += ( )1 2 31 1 1 12 3 4 12 2 2 2 n nT n       = × + × + × + + + ×               ( )2 3 4 11 1 1 1 12 3 4 12 2 2 2 2 n nT n +       = × + × + × + + + ×               − 1 2 3 11 1 1 1 1 12 ( 1)2 2 2 2 2 2 n n nT n +         = × + + + + − + ×                   13 1 1( 1)2 2 2 n n n +   = − − + ×       13 ( 3) 2 n nT n  ∴ = − + ×   21（本小题满分 12 分）已知动圆过定点 A(0，2)，且在 x 轴上截得的弦长为 4. 解：(1)设 C(x，y)，|CA|2－y2＝4，即 x2＝4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2＝4y.……………5 分 (2)C 的方程为 x2＝4y，即 y＝x2，故 y′＝x.设 P(t≠0)， PR 所在的直线方程为 y－＝(x－t)，即 y＝x－， 则点 R 的横坐标 xR＝， |PR|＝|xR－t|＝. ……………7 分 PQ 所在的直线方程为 y－＝－(x－t)，即 y＝－x＋2＋，由消去 y 得＋x－2－＝ 0， 由 xP＋xQ＝－得点 Q 的横坐标为 xQ＝－－t， ……………9 分 又|PQ|＝|xP－xQ|＝＝. ……………10 分 ∴S△PQR＝|PQ||PR|＝.不妨设 t>0，记 f(t)＝(t>0)， 则当 t＝2 时，f(t)min＝4.由 S△PQR＝[f(t)]3，得△PQR 的面积的最小值为 16. ……………12 分 22．(本小题满分 l2 分)已知函数 (1)解：函数 f(x)的定义域为 . . ……1 分 ①当 a=0 时， ， ∴函数 f(x)单调递增区间为 . ……2 分 ②当 时，令 f'(x)=0 得 ， . . 21 2f ( x ) ln x ax x,a R.= − + ∈ ),0( +∞ x xaxaxxxf 111)(' 2 −−−=+−= x xxf += 1)(' 0)(',0 >∴> xfx ),0( +∞ 0=/a 012 =−−− x xax 01,0 2 =−−∴> xaxx a41+=∆∴ (i)当 ，即 时，得 ，故 ， ∴函数 f(x)的单调递增区间为 . ……3 分 (ii)当 ，即 时，方程 的两个实根分别为 . ……4 分 若 ，则 ，此时，当 时， . ∴函数 f(x)的单调递增区间为 ，……………5 分 若 a>0，则 ， 此时，当 时， ，当 时， ， ∴函数 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 综上所述，当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ： 当 时，函数 f(x)的单调递增区间为 ，无单调递减区间．……………6 分 (2)解：由(1)得当 时，函数 f(x)在(0，+∞)上单调递增，故函数 f(x)无极值；………7 分 当 a>0 时 ， 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ， 单 调 递 减 区 间 为 ； 则 f(x) 有 极 大 值 ， 其 值 为 ， 其 中 …10 分 而 ，即 ，……8 分 0≤∆ 4 1−≤a 012 ≤−− xax 0)(' ≥xf )0( ∞+， 0>∆ 4 1−>a 012 =−− xax a axa ax 2 411,2 411 21 ++=+−= 04 1 <<− a 0,0 21 << xx ),0( +∞∈x 0)(' >xf ),0( +∞ 0,0 21 >< xx ),0( 2xx∈ 0)(' >xf ),( 2 +∞∈ xx 0)(' 0 等价于 x>1． 等价于 . ………10 分 即在 a>0 时，方程 的大根大于 1， 设 ，由于 的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴 ，则只需 ，即 a-1-1<0 解得 a<2，而 a>0， 故实数 a 的取值范围为(0，2)．………12 分 说明：若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分． 1．由于 在 是减函数， 而 时，a=2，故 的解集为（0，2）， 从而实数 a 的取值范围为(0，2)． 2．解不等式 ，而 a>0，通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为(0，2). 2 1ln)( 2 22 −+=∴ xxxf )0(2 1ln)( >−+= xxxxh 02 11)(' >+= xxh 2 1ln)( −+= xxxh ),0( +∞ 02 1ln)( 2 22 >−+=∴ xxxf 12 >x 012 =−− xax 1)( 2 −−= xaxxφ )(xφ 02 1 >= ax 0)1( <φ aa a 2 1 2 411 =++ aa a 2 141 2 1 2 =++ aa 41 2 1 2 ++ ),0( +∞ 12 411 =++ a a 12 411 >++ a a 12 411 >++ a a