2020-2021高中必修五数学上期中第一次模拟试卷附答案(7) 17页

2020-2021 高中必修五数学上期中第一次模拟试卷附答案 (7) 一、选择题 1．已知等差数列 na 中， 1010 3a ， 2017 2017S ，则 2018S （ ） A． 2018 B． 2018 C． 4036 D． 4036 2．已知函数 2 2 ( )( ) ( ) n nf n n n 为奇数时 为偶数时 ，若 ( ) ( 1)na f n f n ，则 1 2 3 100a a a aL A． 0 B．100 C． 100 D．10200 3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之 和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 4．已知数列 { }na 满足 1 1a ， 1 2n n na a ，则 10a （ ） A．1024 B．2048 C．1023 D．2047 5．已知等差数列 { }na 的前 n 项和为 nS ， 1 9a ， 9 5 4 9 5 S S ，则 nS 取最大值时的 n 为 A．4 B．5 C．6 D．4 或 5 6．在等差数列 { }na 中， 3 5 102 4a a a ，则此数列的前 13 项的和等于（ ） A．16 B．26 C．8 D．13 7．已知 AB AC uuuv uuuv ， 1AB t uuuv ， AC t uuuv ，若 P 点是 ABCV 所在平面内一点，且 4AB ACAP AB AC uuuv uuuvuuuv uuuv uuuv ，则 ·PB PC uuuvuuuv 的最大值等于（ ） . A．13 B．15 C． 19 D． 21 8．中华人民共和国国歌有 84个字， 37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式， 旗杆正好处在坡度 15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆 顶部的仰角分别为 60 和 30°，第一排和最后一排的距离为 10 2 米（如图所示），旗杆底 部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速 度应为（米 /秒） A． 3 3 23 B． 5 3 23 C． 7 3 23 D． 8 3 23 9．若关于 x 的不等式 2 2 0x ax 在区间 1,5 上有解 , 则 a 的取值范围是（ ） A． 23, 5 B． 23 ,1 5 C． 1, D． 23, 5 10． 等比数列 na 中， 1 1 , 2 8 a q ，则 4a 与 8a 的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． 1 4 D． 1 4 11． 已知 x，y 满足条件 0 { 2 0 x y x x y k (k 为常数 )，若目标函数 z＝x＋3y 的最大值为 8， 则 k＝( ) A．－ 16 B．－ 6 C．- 8 3 D．6 12．如果等差数列 na 中， 3a + 4a + 5a =12，那么 1a + 2a +⋯+ 7a =（ ） A．14 B．21 C．28 D．35 二、填空题 13． 若数列 na 满足 1 1a ， 1 11 3 2 n n n na a *n N ，数列 nb 的通项公式 1 12 1 2 1 n n n n ab ，则数列 nb 的前 10 项和 10S ___________ 14． 已知数列 na 、 nb 均为等差数列，且前 n 项和分别为 nS 和 nT ，若 3 2 1 n n S n T n ， 则 4 4 a b _____． 15． 在 ABC 中， , ,a b c 分别为内角 , ,A B C 的对边，若 32sin sin sin ,cos 5 B A C B ，且 6ABCS ，则 b __________． 16． 在无穷等比数列 na 中， 1 23, 1a a ，则 1 3 2 1lim nn a a a ______． 17． 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6万元 / 次，一年的总存储费 用为 4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 __________． 18． 若两个正实数 ,x y 满足 1 4 1 x y ，且不等式 2 3 4 yx m m 有解，则实数 m 的取值 范围是 ____________ . 19． 在 ABC 中， 4a ， 5b ， 6c ，则 sin 2 sin A C __________． 20． 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为 “地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗 产 ”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 A ， B 两点间的 距离，现在珊瑚群岛上取两点 C ， D ，测得 80CD ， 135ADB ， 15BDC DCA ， 120ACB ，则 A ， B 两点的距离为 ________． 三、解答题 21． 已知 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , , ,2cos ( cos cos ) 0.a b c C a C c A b ， （1）求角 C 的大小；（ 2）若 2, 2 3,b c ，求 ABC的面积 . 22． 等差数列 { }na 的各项均为正数， 1 1a , 前 n 项和为 nS ．等比数列 { }nb 中， 1 1b ， 且 2 2 6b S , 2 3 8b S ． （1）求数列 { }na 与 { }nb 的通项公式； （2）求 1 2 1 1 1 nS S S ． 23． 已知数列 { }na 满足： 1 2 1n na a n ， 1 3a . （1）设数列 { }nb 满足： n nb a n ，求证 : 数列 { }nb 是等比数列； （2）求出数列 { }na 的通项公式和前 n 项和 nS . 24． 已知 {an} 是等差数列， { bn} 是各项均为正数的等比数列，且 b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2 ＋b3＝a3＋ a4. (1)求数列 { an}，{ bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，求数列 { cn} 的前 n 项和 Tn. 25． 在等比数列 na 中 , * 1 0a n N ,且 3 2 8a a ,又 1 5,a a 的等比中项为 16. （1）求数列 na 的通项公式 : （2）设 4logn nb a ,数列 nb 的前 n 项和为 nS ,是否存在正整数 k ,使得 1 2 3 1 1 1 1 n k S S S S L 对任意 *n N 恒成立 .若存在 ,求出正整数 k 的最小值 ;若不存在 , 请说明理由 . 26． 已知在等比数列 {a n} 中， 2a ＝ 2，， 4 5a a ＝128，数列 {b n} 满足 b1＝1， b2＝ 2，且 { 1 2n nb a } 为等差数列． （1）求数列 {a n} 和 {b n} 的通项公式； （2）求数列 {b n} 的前 n 项和 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．D 解析： D 【解析】 分析：由题意首先求得 1009 1a ，然后结合等差数列前 n 项和公式求解前 n 项和即可求得 最终结果 . 详解：由等差数列前 n 项和公式结合等差数列的性质可得： 1 2017 1009 2017 1009 22017 2017 2017 2017 2 2 a a aS a ， 则 1009 1a ，据此可得： 1 2018 2017 1009 10102018 1009 1009 4 4036 2 a aS a a . 本题选择 D 选项 . 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前 n 项和公式等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力 . 2．B 解析： B 【解析】 试题分析：由题意可得，当 n 为奇数时， 22( ) ( 1) 1 2 1;na f n f n n n n 当 n 为偶数时， 22( ) ( 1) 1 2 1;na f n f n n n n 所以 1 2 3 100 1 3 99a a a a a a aL L 2 4 100 2 1 3 5 99 99 2 2 4 6 100 99 100a a aL L L ， 故选 B. 考点：数列的递推公式与数列求和 . 【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与 运算能力，属于中档题 .本题解答的关键是根据给出的函数 2 2 ( ){ ( ) n nf n n n 当 为奇数时 当 为偶数时 及 ( ) ( 1)na f n f n 分别写出 n 为奇数和偶数时数列 na 的通项公式，然后再通过分 组求和的方法得到数列 na 前 100项的和 . 3．B 解析： B 【解析】 【分析】 从冬至日起各节气日影长设为 na ，可得 na 为等差数列，根据已知结合前 n 项和公式和 等差中项关系，求出通项公式，即可求解 . 【详解】 由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na ， nS 是其前 n 项和，则 1 9 9 5 9 9 85.5 2 a a S a 尺， 所以 5 9.5a 尺，由题知 1 4 7 43 31.5a a a a ， 所以 4 10.5a ，所以公差 5 4 1d a a ， 所以 12 5 7 2.5a a d 尺。 故选 : B. 【点睛】 本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前 n 项和与通项公式的基本量运算，属于中 档题 . 4．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果 . 【详解】 因为 1 2n n na a ，所以 1 2n n na a ， 因此 10 9 8 10 10 9 2 1 19 8 1 22 2 2 1 1023 1 2 a a a a a a a aL L ，选 C. 【点睛】 本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题 . 5．B 解析： B 【解析】 由 { }na 为等差数列，所以 9 5 5 3 2 4 9 5 S S a a d ，即 2d ， 由 1 9a ，所以 2 11na n ， 令 2 11 0na n ，即 11 2 n ， 所以 nS 取最大值时的 n 为 5， 故选 B． 6．D 解析： D 【解析】 【详解】 试题分析：∵ 3 5 102 4a a a ，∴ 4 102 2 4a a ，∴ 4 10 2a a ， ∴ 1 13 4 10 13 13( ) 13( ) 13 2 2 a a a aS ，故选 D. 考点：等差数列的通项公式、前 n 项和公式 . 7．A 解析： A 【解析】 以 A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 1( ,0)B t ， (0, )C t ， 1 0) 4(0,1) (1,4)AP uuur （ ， ，即 1 4)P（ ， ，所以 1 1 4)PB t uuur （ ， ， 1 4)PC t uuur （ ， ，因 此 PB PC uuur uuur 11 4 16t t 117 ( 4 )t t ，因为 1 14 2 4 4t t t t ，所以 PB PC uuur uuur 的最大值等于 13，当 1 4t t ，即 1 2 t 时取等号． 考点： 1、平面向量数量积； 2、基本不等式． 8．B 解析： B 【解析】 【分析】 如解析中图形，可在 HAB 中，利用正弦定理求出 HB ，然后在 Rt HBO 中求出直角边 HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】 如图，由题意 45 , 105HAB HBA ，∴ 30AHB ， 在 HAB 中， sin sin HB AB HAB AHB ，即 10 2 sin 45 sin 30 HB ， 20HB ． ∴ sin 20sin 60 10 3OH HB HBO ， 10 3 5 3 46 23 v （米 /秒）． 故选 B． 【点睛】 本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用 恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件． 9．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用分离常数法得出不等式 2a x x 在 15x ， 上成立，根据函数 2f x x x 在 15x ， 上的单调性，求出 a 的取值范围 【详解】 关于 x 的不等式 2 2 0x ax 在区间 1,5 上有解 22ax x 在 15x ， 上有解 即 2a x x 在 15x ， 上成立， 设函数数 2f x x x ， 15x ， 2 2 1 0f x x 恒成立 f x 在 15x ， 上是单调减函数 且 f x 的值域为 23 1 5 ， 要 2a x x 在 15x ， 上有解，则 23 5 a 即 a 的取值范围是 23 , 5 故选 A 【点睛】 本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离 含参量，然后求出结果，属于基础题． 10．A 解析： A 【解析】 【分析】 利用等比数列 na 的性质可得 2 6 4 8a a a＝ ，即可得出． 【详解】 设 4a 与 8a 的等比中项是 x ． 由等比数列 na 的性质可得 2 6 4 8a a a＝ ， 6x a ． ∴ 4a 与 8a 的等比中项 5 6 1 2 4 8 x a ． 故选 A ． 【点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 11．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 由 z＝x＋3y 得 y＝－ 1 3 x＋ 3 z ，先作出 0 { x y x 的图象，如图所示， 因为目标函数 z＝x＋3y 的最大值为 8，所以 x＋3y＝8 与直线 y＝x 的交点为 C，解得 C(2,2)，代入直线 2x＋ y＋k＝0，得 k＝－ 6. 12．C 解析： C 【解析】 试题分析：等差数列 na 中， 3 4 5 4 412 3 12 4a a a a a ，则 1 7 4 1 2 7 4 7 7 2 7 28 2 2 a a a a a a aL 考点：等差数列的前 n 项和 二、填空题 13．【解析】【分析】对于当 n=1 代入得 -4 依次得发现规律利用求出【详解】 由当 n=1 代入得 -4 依次得发现规律利用得 b=-求出故答案为【点睛】本题考查 的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析： 2046 2047 【解析】 【分析】 对于 1 11 3 2 n n n na a ，当 n=1，代入得 2a = -4,依次得 3 4 5a =10 a =-22 a =46...， ， 发现规律， 利用 1 12 1 2 1 n n n n ab ，求出 10S . 【详解】 由 1 11 3 2 n n n na a ，当 n=1，代入得 2a = -4,依次得 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7a =3 2 -2 a =-3 2 +2 a =3 2 -2 a =-3 2 +2 a =3 2 -2...， ， ， ， 发现规律， 利 用 1 12 1 2 1 n n n n ab ，得 b 1 =- 4 3 ， 2 3 4 5 10 22 46 94b = b =- b = b =- ... 3 7 7 15 15 31 31 63 ， ， ， ，求出 10 2046 2047 S . 故答案为 2046 2047 【点睛】 本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求 出题中要求的前 10 项和，属于中档题 . 14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列 的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】 本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析： 23 8 【解析】 【分析】 根据等差数列中等差中项的性质，将所求的 1 74 4 1 7 a aa b b b ，再由等差数列的求和公式，转 化为 7 7 S T ，从而得到答案 . 【详解】 因为数列 na 、 nb 均为等差数列 所以 74 74 14 142 2 a a b b a a b b 1 7 7 1 7 7 7 2 7 2 a a S b b T 3 7 2 23 7 1 8 【点睛】 本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题 . 15．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得 故答案为 解析： 4 【解析】 已知等式 2sin sinB A sinC ，利用正弦定理化简得： 2b a c ， 3cos , 5 BQ 可 得 2 4sin 1 cos 5 B B ， 1 1 4sin 6 2 2 5ABCS ac B ac ，可解得 15ac ， 余 弦定理可得， 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 1 cosa c ac B 2 34 2 15 1 5 b ， 可解得 4b ，故答案为 4 . 16．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根 据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为： 【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属 解析： 3 3 2 【解析】 【分析】 利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】 解：根据等比数列的性质，数列 1 3 2 1, , , na a a 是首项为 1a ，公比为 2q 的等比数列。 又因为公比 2 1 1 3 aq a ，所以 2 1 3 q ． 22 11 1 1 3 2 1 2 2 2 lim 11 3 3 3lim lim 11 1 21 3 1 1 nn n nn n a qa q aa a a q q q ． 故答案为： 3 3 2 ． 【点睛】 本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为 30 点睛 : 在利 用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正 ( 即条 件要求中字母为正数 ) 定 ( 不等式的另一边必须为定值 ) 等( 等号取得 解析： 30 【解析】 【详解】 总费用为 600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x x x x ，当且仅当 900x x ，即 30x 时 等号成立．故答案为 30. 点睛 :在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等 式中“正” (即条件要求中字母为正数 )、“定” (不等式的另一边必须为定值 )、“等” ( 等 号取得的条件 )的条件才能应用，否则会出现错误． 18．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是 成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方 法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析： , 1 4, 【解析】 试题分析：因为不等式 2 3 4 yx m m 有解，所以 2 min( ) 3 4 yx m m ，因为 0, 0x y ，且 1 4 1 x y ，所以 1 4 4 4( )( ) 2 2 2 4 4 4 4 4 y y x y x yx x x y y x y x ，当且仅当 4 4 x y y x ，即 2, 8x y 时，等号是成立的，所以 min( ) 4 4 yx ，所以 2 3 4m m ，即 ( 1)( 4) 0m m ，解得 1m 或 4m . 考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值 . 【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基 本不等式求解最值时，呀注意 “一正、二定、三相等 ”的判断，运用基本不等式解题的关键 是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解 问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题 . 19．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析： 1 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 2 2 2sin 2 2sin cos 2 cos 4 4cos 1 sin sin 3 3 2 A A A a A b c aA C C c bc 考点：正余弦定理解三角形 20．【解析】【分析】△ ACD中求出 AC△ABD中求出 BC△ABC中利用余弦定理 可得结果【详解】解：由已知△ ACD中∠ ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠ DAC=15° 由正弦定理得△ BCD中∠ BDC＝ 15 解析： 80 5 【解析】 【分析】 △ACD 中求出 AC，△ABD 中求出 BC，△ ABC 中利用余弦定理可得结果 . 【详解】 解：由已知，△ ACD 中，∠ ACD ＝15°，∠ ADC ＝150°， ∴∠ DAC=15 °由正弦定理得 80sin150 40 40 6 2 sin15 6 2 4 AC o o ， △BCD 中，∠ BDC ＝15°，∠ BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理， CD BC sin CBD sin BDC ， 所以 BC 80 sin15 160 15 40 6 21 2 CD sin BDC sin sin CBD ； △ABC 中，由余弦定理， AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝ 0 8 11600 8 4 3 160 2 1600 6 2 24 3 6 2 1600 16 1600 4 1600 20 解得： AB 80 5 ， 则两目标 A，B 间的距离为 80 5 ． 故答案为 80 5 ． 【点睛】 本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化 思想，是中档题． 三、解答题 21． (1) 120.C o （2） 3. 【解析】 试题分析：（ 1）由 2cos cos cos 0C a C c A b 根据正弦定理，两角和的正弦函数公 式，三角形内角和定理，诱导公式可得 2cos sin sin 0C B B ，可得 1cos 2 C ，即可 得解 C 的值；（ 2）由已知及余弦定理得解得 a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结 果 . 试题解析： (1) 2cos cos cos 0C a C c A bQ ，由正弦定理可得 2 0 2 0, 2 0 cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB即 又 10 180 , sin 0, cos , 120. 2 B B C Co o o即 （2）由余弦定理可得 2 2 2 22 3 2 2 2 cos120 2 4a a a ao 又 10, 2, sin 3, 2ABCa a S ab C ABC 的面积为 3. 22． （1） na n ， 12n nb ；（ 2） 2 1 n n 【解析】 【分析】 （1）由题意 , 要求数列 { }na 与 { }nb 的通项公式 , 只需求公差，公比 , 因此可将公差 , 公比分 别设为 d，q,然后根据等差数列的前项和公式 , 代入 2 2 6b S , 2 3 8b S , 求出 d，q 即可写 出数列 { }na 与 { }nb 的通项公式． （2）由（ 1）可得 11 2 1 2nS n n n ,即 1 2 1ns n n ,而要求 1 2 1 1 1 nS S S ,故结合 1 ns 的特征可变形为 1 1 12 1ns n n ,代入化简即可． 【详解】 （1）设等差数列 { }na 的公差为 d，d＞0， { }nb 的等比为 q 则 1 ( 1)na n d , 1n nb q , 依题意有 2 6 3 3 8 q d q d ，解得 1 2 d q 或 4 3 9 d q （舍去） 故 1, 2n n na n b , （2）由（ 1）可得 11 2 1 2nS n n n ∴ 1 1 12 1ns n n ∴ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 1nS S S n n = 1 22 1 1 1 n n n ． 【点睛】 本题第一问主要考查了求数列的通项公式 , 较简单 , 只要能写出 nS 的表达式 , 然后代入题中 的条件正确计算即可得解 , 但要注意 d＞0．第二问考查了求数列的前 n 项和，关键是要分 析数列通项的特征 , 将 1 2 1ns n n 等价变形为 1 1 12 1ns n n ,然后代入计算，这也是 求数列前 n 项和的一种常用方法 --裂项相消法！ 23． ⑴见证明；⑵ 1 1 2 2 2 n n n 【解析】 【分析】 （1）由递推公式计算可得 1 2n n b b ，且 1 1 1 2b a ，据此可得数列 nb 是等比数列 . （2）由（ 1）可得 2n nb ，则 2n na n ，分组求和可得 1 1 2 2 2 n n n n S . 【详解】 （1） 11 1 2 1 1 2 2n n nn n n n n a n a n n a nb b a n a n a n ， 又 1 1 1 3 1 2b a nb 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， （2）由（ 1）得 2n nb ， 2n na n ， 1 2 1 22 1 2 2 ... 2 2 2 ... 2 1 2 3 ...n n nS n n 12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 n nn n n n . 【点睛】 数列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 24． (1) 1, 2n n na n b ；(2) Tn＝ (n－1) ·2n＋1. 【解析】 试题分析： （1）设数列 na 的公差为 d ， nb 的公比为 q，运用等差数列和等比数列的通项公式， 可得 ,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式； （2）求得 12 n n n nc a b n ，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简 整理即可得到所求的和 . 试题解析： (1)设数列 {a n}的公差为 d，{b n} 的公比为 q， 依题意得 解得 d＝1， q＝2. 所以 an＝1＋ (n－1) ×1＝n，bn＝1×2n－ 1＝2n－ 1. (2)由 (1)知 cn＝ anbn＝ n·2n－ 1，则 Tn＝ 1·20＋ 2·21＋3·22＋⋯＋n·2n－ 1，① 2Tn＝2·20＋2·22＋⋯＋ (n－1) ·2n－1＋n·2n，② ①－②得：－ T n＝1＋21＋22＋⋯＋ 2n－1－n·2n ＝ － n·2n＝ (1－n) ·2n－1， 所以 T n＝(n－1) ·2n＋1. 25． （1） 12 n na （2）3. 【解析】 试题分析： （1）由题意可得 3 16a ，又 3 2 8a a ，故 2 8a ，由此可得等比数列的公比 2q ， 因此可得 12n na ．（ 2）由（ 1）得 1 2n nb ，所以 3 4n n n S ，从而 1 4 4 1 1 3 3 3nS n n n n ，求和可得 1 2 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 4 1 1 221 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 9nS S S S n n n L ， 所以可得 22 9 k ，故存在满足题意得 k ，且 k 的最小值为 3． 试题解析： （1）设等比数列 na 的公比为 q， ∵ 1 5a a， 的等比中项为 16． ∴ 3 16a ， 又 3 2 8a a ， 2 8a ， ∴ 3 2 2aq a ， ∴ 2 18 2 2n n na ． （2）由（ 1）得 1 4 1log 2 2 n n nb ， ∴数列 nb 为等差数列，且 1 1b ． ∴ 11 32 2 4n nn n n S ， ∴ 1 4 4 1 1 3 3 3nS n n n n ， ∴ 1 2 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 5 3 6 3nS S S S n n L L 4 1 1 1 1 11 3 2 3 1 2 3n n n 4 1 1 221 3 2 3 9 ， ∴ 22 9 k ， ∴存在满足题意得 k ，且 k 的最小值为 3． 点睛：用裂项法求和的原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几 项，消项后的剩余部分具有对称性． 26． （1） 1 232 ; 2 , 12 2 n n n na b n n（ ＝， ， ）；（ 2） 2 13 3 12 4 4 2 n nT n n . 【解析】 【分析】 (1)根据等比数列的性质得到 7a ＝64， 2a ＝2，进而求出公比，得到数列 {a n} 的通项，再由 等差数列的公式得到结果；（ 2）根据第一问得到通项，分组求和即可 . 【详解】 （1）设等比数列 {a n} 的公比为 q． 由等比数列的性质得 a4a5＝ 2 7a a ＝ 128，又 2a ＝2，所以 7a ＝ 64． 所以公比 7 55 2 64 2 2 aq a ． 所以数列 {a n} 的通项公式为 an＝a2qn－2＝2×2n－ 2＝ 2n－1． 设等差数列 { 1 2n nb a } 的公差为 d． 由题意得，公差 2 2 1 1 1 1 1 1 32 2 1 1 2 2 2 2 2 d b a b a ， 所以等差数列 { 1 2n nb a } 的通项公式为 1 1 1 1 3 3 31 1 2 2 2 2 2n nb a b a n d n n ． 所以数列 {b n} 的通项公式为 1 23 1 3 1 32 2 2 2 2 2 2 n n n nb n a n n （n＝1，2，⋯）． （2）设数列 {b n} 的前 n 项和为 Tn． 由（ 1）知， 23 2 2 n nb n （n＝1，2，⋯ ）． 记数列 { 3 2 n } 的前 n 项和为 A，数列 {2 n－2} 的前 n 项和为 B，则 3 3 32 2 1 2 4 n n A n n ， 1 1 1 2 12 2 1 2 2 n nB ． 所以数列 {b n} 的前 n 项和为 1 2 13 1 3 3 11 2 2 4 2 4 4 2 n n nT A B n n n n ． 【点睛】 这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法 有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等 .