2018-2019学年福建省泉州市泉港区第一中学高二上学期期中考试 数学（理） Word版 10页

泉港一中2018-2019学年高二上学期数学（理）期中考试卷 ‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1. 椭圆与有相同的 ‎ A．长轴长 B．离心率 C．焦点 D．焦距 ‎2. 从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与 ‎ A．是互斥且对立事件 B．是互斥且不对立事件 C．不是互斥事件 D．不是对立事件 ‎ ‎3.某校共有24个班，学校为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方 法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎4.若椭圆的两个焦点，，是椭圆上一点，且，则是 A.钝角三角形  B.直角三角形  C.锐角三角形  D.等边三角形 ‎5．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如右表.以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是 ‎ A．15 B．16 C．17 D．18 ‎ ‎6.若双曲线经过点 且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是 ‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎7．右边程序框图的功能是求出的值，则框图中①、②两处应分别填写的是 A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数，给出下列两个命题：命题：若，则； ‎ 命题： ， .则下列叙述正确的是 ‎ A. 的否命题是：若，则 B. 是假命题 ‎ C. 为： ， D. 是假命题 ‎ ‎9.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且线段的中点在轴上，那么是的 A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 ‎ ‎11．已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，若总存在以线段为直径的圆与椭圆相交，则椭圆的离心率的取值范围为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 将一颗骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为，设直线与平行的概率为，相交的概率为，则圆上到直线的距离为的点有 ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 ．）‎ ‎13．已知双曲线的离心率为，焦点是， ，则双曲线方程为 ．‎ ‎14.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．‎ ‎15. 椭圆：，直线交椭圆于，两点，直线过点 且弦恰好被点平分，则直线方程为__________________．‎ ‎16. 如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，‎ 表示估计结果，则图中空白框内应填入 ． ‎ 三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分)‎ ‎17．某服装店对过去100天的销售量（单位：件）进行了统计，制成频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）由上方频率分布直方图，求该服装店销售量的众数和中位数的估计值；‎ ‎（Ⅱ）若将上述频率视为概率，已知该服装店每售出一件服装可获利50元，但服装店一天的运营成本为1700元，求该服装店一天利润不低于800元的概率．‎ ‎18.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于、两点，求的值．‎ ‎19. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；‎ 命题：实数满足，其中．‎ ‎（Ⅰ）当且为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若是（Ⅰ）中轨迹上的动点，求线段的中点的轨迹方程. ‎ ‎21．AQI指数为空气质量指数，空气质量按照空气质量指数大小分为六级，指数越大，级别越高．今年9月某市雾霾天气严重，该市环保局根据9月1日至9月30日的AQI指数制作了以下两份表格．‎ 表1　AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况 AQI指数M ‎900‎ ‎700‎ ‎300‎ ‎100‎ 空气水平可见度y(km)‎ ‎0.5‎ ‎3.5‎ ‎6.5‎ ‎9.5‎ 表2　该市9月1日至9月30日AQI指数频数分布表 AQI指数M ‎[0，200)‎ ‎[200，400)‎ ‎[400，600)‎ ‎[600，800)‎ ‎[800，1000]‎ 频数 ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎（1）设，根据表1的数据，求出关于的线性回归方程．‎ ‎ (2)小王在该市开了一家洗车店，经小王统计：当AQI指数低于200时，洗车店平均每天亏损约200元；当AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；当AQI指数不低于400时，洗车店平均每天收入约700元．①估计小王的洗车店在2018年9月份平均每天的收入；‎ ‎②从AQI指数在[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天，求这2天的收入之和不低于500元的概率．‎ 参考公式： ‎ ‎22.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．‎ ‎ （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点．若与轴垂直，是曲线上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 泉港一中2018-2019学年高二上学期数学（理）期中 参考答案 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题只有一个答案是正确的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B B C B C D B A C C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13. 　 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：（本题共6个小题，共70‎ 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 解: （1）由图可得该服装店销售量的众数为 ……2分 因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于的直方图面积为 ‎， ‎ 销售量低于的直方图面积为 ‎ ‎ 所以该服装店销售量的中位数的估计值为（件） ……5分 ‎（2）由题意，设该门市一天售出件，则获利为 ……2分 设该门市一天获利不低于800元为事件，则 ‎.‎ 故该门市一天获利不低于800元的概率为0.38. ……10分 ‎18.（本题满分12分）‎ 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，‎ 由已知得：，，……3分 ‎，，‎ ‎　椭圆的标准方程为　…6分 ‎（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1， 与椭圆方程联立，可得7x2+8x-8=0， …………8分 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=-，x1x2=-， …………9分 ∴|AB|=|x1-x2|=•=．…………12分 ‎19．（本题满分12分）‎ 解：解：（Ⅰ）方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，‎ 则，得，得＜m＜2， …………2分 若a=1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3， …………4分 ‎ 若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2． …………6分 ‎（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．‎ 得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a， …………7分 ‎￢q：x≥3a或0＜x≤a， …………8分 ‎∵p是￢q的充分不必要条件，‎ ‎∴3a≤或a≥2，即a≤或a≥2， …………11分 ‎∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2 …………12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设动点，由已知可得 ‎， …………3分 ‎ 即，化简得. ‎ 即所求动点的轨迹的方程为. …………6分 ‎（Ⅱ）设线段的中点为 ,点的坐标是，‎ 由，得， …………9分 由点在椭圆上,得, ‎ ‎∴线段中点的轨迹方程是. …………12分 ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1)因为＝＝5，＝＝5, ‎ ‎＝92＋72＋32＋12＝140，‎ 所以＝＝－， …………3分 故＝5－×5＝，‎ 所以y关于x的线性回归方程是＝－x＋． …………5分 ‎(2)①根据表3可知，在9月份30天中有3天洗车店每天亏损约200元，有6天每天收入约400元，有21天每天收入约700元，‎ 故9月份平均每天的收入约为×(－200×3＋400×6＋700×21)＝550(元)．……8分 ‎②记AQI指数在[0，200)内的3天为A1，A2，A3，AQI指数在[800，1000]内的3天为B1，B2，B3，则从[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天的所有情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种，‎ 其中满足这2天的收入之和低于500元的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，‎ 故由古典概型的概率计算公式可得，这2天的收入之和低于500元的概率为＝．‎ 由对立事件的概率计算公式得，‎ 这2天的收入之和不低于500元的概率为1－＝． ……12分 ‎22.（本题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，‎ 可得圆心E（﹣1，0），半径r=4，‎ 由QF∥EM，可得∠M=∠QFN，‎ 由EM=EN，可得∠N=∠M，‎ 即为∠N=∠QFM，即有QF=QN，‎ 则|QE|+|QF|=|EM|+|EN|=|AD|=4， ……3分 故Q的轨迹为以M，N为焦点的椭圆，‎ 且有2a=4，即a=2，c=1，b==， ……4分 ‎ 则点Q的轨迹方程为+=1（y≠0）；……5分 （Ⅱ）（II）当，则， ……6分 设直线的斜率为，则直线的斜率为， ‎ 不妨设点在轴上方， ， 设，，‎ 则的直线方程为，代入中整理得 ‎，‎ ‎； ‎ 同理． ……………8分 所以，， ……………10分 则 ，‎ 因此直线的斜率是定值． ……………………12分 解法二：（I）同 解法一．‎ ‎（II）依题意知直线的斜率存在，所以设方程：代入中 整理得，设 ，，‎ 所以， ， ………………6分 当，则， ………………8分 不妨设点在轴上方， ，‎ 所以，整理得， ‎ 所以，‎ 整理得， ………………9分 即，所以或．……………10分 当时，直线过定点， 不合题意；‎ 当时，，符合题意，‎ 所以直线的斜率是定值． ……………………12分