2015年数学理高考课件2-12 导数的综合应用 44页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数一般不超过三次 ) ．　 2. 会利用导数解决某些实际问题． 第十二节　导数的综合应用 函数的最值与导数 求函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内的 ． (2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 极值 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 1 ．函数 f ( x ) ＝ 12 x － x 3 在区间 [ － 3,3] 上的最小值是 ( 　　 ) A ．－ 9 　　　　 B ．－ 16 　　　　 C ．－ 12 　　　　 D ．－ 11 解析： 由 f ′ ( x ) ＝ 12 － 3 x 2 ＝ 0 ，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2. 又 f ( － 3) ＝－ 9 ， f ( － 2) ＝－ 16 ， f (2) ＝ 16 ， f (3) ＝ 9 ， ∴ 函数 f ( x ) 在 [ － 3,3] 上的最小值为－ 16. 答案： B 解析 ： ∵ y ′ ＝ 3 x 2 － 3 a ，令 y ′ ＝ 0 ，可得： a ＝ x 2 . 又 ∵ x ∈ (0,1) ， ∴ 0< a <1. 答案： B 生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 实际问题的最值问题 有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大 ( 小 ) 值点． 解析： y ′ ＝－ x 2 ＋ 81 ，令 y ′ ＝ 0 ，解得 x ＝ 9( － 9 舍去 ) ． 当 0< x <9 时， y ′ >0 ； 当 x >9 时， y ′ <0 ，则当 x ＝ 9 时， y 取得最大值． 答案： C 4 ．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8π r 2 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm. 则瓶子半径为 ________ 时，每瓶饮料的利润最大，瓶子半径为 ________ 时，每瓶饮料的利润最小． 答案： 6 　 2 函数的最值与导数 反思总结 求给定区间上的函数的最值关键是判断函数在此区间上的单调性，但要注意极值点不一定是最值点，还要与端点值比较，对于含参数的函数最值，要注意分类讨论． 生活中的优化问题 反思总结 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1) 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 y ＝ f ( x ) ，根据实际意义确定定义域； (2) 求函数 y ＝ f ( x ) 的导数 f ′ ( x ) ，解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 得出定义域内的实根，确定极值点； (3) 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大 ( 小 ) 值； (4) 还原到原实际问题中作答． 变式训练 2 ．某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为 20 元，加工费为 t 元 ( t 为常数，且 2 ≤ t ≤ 5) ，出厂价为 x 元 (25 ≤ x ≤ 40) ．根据市场调查知，日销售量 q ( 单位：个 ) 与 e x 成反比，且当每个玩具的出厂价为 30 元时，日销售量为 100 个． (1) 求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式； (2) 若 t ＝ 5 ，则每个玩具的出厂价 x 为多少元时，该工厂的日利润 y 最大？并求最大值． 不等式的证明问题 反思总结 1 ．要证明 f ( x )< g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果 F ′( x )<0 ，则 F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是减函数，同时若 F ( a )≤0 ，由减函数的定义，可知对任意的 x ∈ ( a ， b ) ，有 F ( x )<0 ，即证明了 f ( x )< g ( x ) ． 2 ．对于和形式的不等式的证明，一般地根据条件先构造一恒成立的不等式，将和式拆解，再利用同向不等式的可加性，进行转化放缩以证明结论． —— 由不等式成立求参数范围问题 由不等式成立求参数范围是高考命题的热点、难点，综合性强，能力高，一般有两个角度： (1) 不等式恒成立求参数范围． (2) 不等式存在成立求参数范围． 由不等式恒成立求参数范围 由题悟道 利用不等式恒成立求参数范围的方法 (1) 根据不等式分离参数． (2) 利用分离参数后的不等式构造新函数 F ( x ) ． (3) 判断 F ( x ) 的单调性及求其最值． (4) 根据参数 m ≥ F ( x ) max 或 m ≥ F ( x ) min 求参数范围． 由不等式存在成立求参数范围 由题悟道 1 ． 对于任意 x 1 ∈ D 1 存在 x 2 ∈ D 2 使得 g ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) 成立其解决方法是： (1) 求出 g ( x ) 在 D 1 的最大值． (2) 求出 f ( x ) 在 D 2 的最小值． (3) 转化 g ( x ) 大 ≥ f ( x ) 小 ，求出参数范围． 2 ．若存在成立的不等式中参数可得 如 M ≥ F ( x ) ，则只需求出 F ( x ) 的最小值可解决问题． 本小节结束 请按 ESC 键返回