【推荐】专题06 数列（第02期）-2016-2017学年高三数学（理）期末优质试卷 40页

www.ks5u.com 第六章 数列 一．基础题组 ‎1. 【山东潍坊2017届高三上学期期中，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎【答案】C 考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.‎ ‎2. .【江西抚州七校2017届高三上学期联考，5】在正项等差数列中，，且，则（ ）‎ A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列公差为,由得：，又各项均为正数，所以，再由，可得：，从而易得：，故，易知成等比数列，所以选B.‎ 考点：等差数列、等比数列运算.‎ ‎3. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，5】在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减.初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）‎ A．尺 B．尺 C.尺 D．尺 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得该数列为等差数列，，，则，故选C.‎ 考点：数列的实际应用.‎ ‎4. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，3】等比数列中，已知对任意正整数，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵等比数列中，对任意正整数，，∴，，，∴，，，∴，，∴，，，∴是首项为，公比为的等比数列，∴．故选：A．‎ 考点：等比数列的前项和.‎ ‎5. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，4】已知等比数列的前项和为 ，且依次等差数列，若，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可得,即,也即,故.应选B.‎ 考点：等差数列、等比数列的通项公式及综合运用.‎ ‎6. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，3】已知等比数列共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ）‎ A． B． C．2 D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：奇数项之积为，偶数项之积为，得，，则，则，故选C.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎7. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，5】已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则=（ ）‎ A．1 B．2 C. 4 D．8‎ ‎【答案】D 考点：等差数列等比数列的通项公式及性质的综合运用.‎ ‎8. 【四川自贡普高2017届一诊，4】如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：排除C；又因，，故选B.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎9. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，4】已知为数列的前项和，若且，则等于（ ）‎ A．6 B．12 C.16 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由得， ，故选B.‎ 考点：数列的递推求通项.‎ ‎10. 【河北武邑中学2017届高三上学四调，3】已知公差不为的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前和，则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A 考点：等差数列的性质；等比数列的性质.‎ ‎11. 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，4】已知为等差数列 的前项和，若，则等于（ ）‎ A．30 B．45 C.60 D．120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C.‎ 考点：等差数的前项和.‎ ‎12. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，4】已知等差数列的公差为5，前项和为，且成等比数列，则（ ）‎ A．80 B．85 C. 90 D．95‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，解得，所以＝，故选C．‎ 考点：1、等差数列的通项公式与前项和公式；2、等比数列的性质．‎ ‎13. 【山西运城2017届上学期期中，14】设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 ‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：当时，；当时， 考点：数列的通项公式 ‎14.【山西运城2017届上学期期中，15】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角相等，则 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：∵向量，，（）， 又．，与的夹角等于与的夹角相等 即 考点：向量的运算，向量的夹角 ‎15. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，14】在各项均为正数的等比数列中，有，则__________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析:由等比数列的通项的性质可得,故.故应填答案.‎ 考点：等比数列的通项的性质及运用．‎ ‎16. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，14】《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 考点：等比数列.‎ ‎17. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，14】设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，当时，，所以通项公式为.‎ 考点：数列已知求.‎ ‎【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．‎ 二．能力题组 ‎1. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，9】已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和为（ ）‎ A．9 B．27 C．54 D．72‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据等比数列的基本性质有，所以，所以.‎ 考点：等差数列与等比数列.‎ ‎2. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列满足 ，且，则数列的第100项为（ ）‎ A．2 B．3 C． D． ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由可得：，记，有，由累加法得：，数列的第项为，故选B.‎ 考点：递推数列及数列求和.‎ ‎3. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，8】若等比数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A． B． C. D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，即，得，即或，当时，得，故；当，得，得，故选D.‎ 考点：等比数列的前项和.‎ ‎4. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，8】已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B 考点：数列的单调性．‎ ‎5. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，6】在等比数列中，，且数列的前项和，则此数列的项数等于（ ）．‎ A．4 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：在等比数列中，，又，所以或，当时，，解得，再由得，解得；同理可得当时，故选D.‎ 考点：等比数列的性质与求和.‎ ‎6. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，5】已知正项数列中，，，（），，记数列的前项和为，则的值是（ ）‎ A. B. C. D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：（）， ∴数列为等差数列，首项为1，公差为， ，故数列的前项和为 则.故选D．‎ 考点：等差数列的定义，通项公式，裂项求和法 ‎7. 【山西运城2017届上学期期中，9】已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和为（ ）‎ A．9 B．27 C．54 D．72‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵数列是等比数列，，又，解得 ．∵数列是等差数列， ∴数列的前9项和故选B．‎ 考点：等差数列，等比数列的性质 ‎8. .【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，15】已知数列的前项和为，数列为，若，则 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：因为，＝‎ ，所以数列，，，…，是首项为公差为的等差数列，所以数列的前和．令＝，解得，所以．‎ 考点：等差数列的前和公式．‎ ‎【规律点睛】一般地，等差数列的通项公式是关于的一次函数，除非公差为0；公差不为0的等差数列的前项和公式是关于的二次函数且常数项为0，若某数列的前项和公式是关于的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ ‎9. 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列的前项和为，，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴ ，当且仅当时取“”.‎ 考点：1、数列前项和；2、等比数列；3、基本不等式. ‎ ‎【方法点晴】本题主要考查数列前项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.‎ ‎10. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，15】已知数列中，，则数列的前20项和为____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公差为的等差数列，故数列的前20项和为.‎ 考点：等差数列、等比数列的性质及求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质及求和，属中档题；数列求和是高考的高频考点之一，本题中的数列奇数项构成的数列与偶数项构成的数列是两种类型的数列，在求和时可分别求奇数项的和与偶数项的和分别求之，再求总和.‎ ‎11. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，16】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是_____________ .‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：∵，，∴，即，即，故，由知，∴，，；若对任意恒成立，只需使，即，解得，故答案为.‎ 考点：数列递推式.‎ ‎12. 【福建厦门一中2017届上学期期中，15】为数列的前项和，已知．则的通项公式_____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 考点：数列递推式.‎ ‎13. 【重庆八中2017届高三上学期二调，15】已知数列为等比数列，是它的前项和，设，若，且与的等差中项为，则 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由及得，由题意得，得，，则，，，，，故答案为.‎ 考点：（1）等比数列的性质；（2）数列的和.‎ ‎14. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，16】设为数列的前项和，且满足，则 ； ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由，当时，有，得．当时，‎ ，即，若为偶数，则．（为正奇数）；‎ .‎ 考点：数列的奇偶性，数列求和.‎ ‎15. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，16】 在数列及中，．设，则数列的前项和为_____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：,同理易得：，两式相加得：，故为常数列，所以，所以数列的前项和为.‎ 考点：递推数列及前项和.‎ ‎【方法点晴】本题考查了递推数列及数列求和知识,属于中等题.本题充分体现了凑形的思想，由的形式，对已知两个递推关系取倒数，二者相加即可得到相邻两项的关系，前后项相等，故新数列为常数列，从而明确了新数列的通项公式，新数列为等比数列，然后利用等比数列前项和公式就可以得到答案.‎ 三、拔高题组 ‎1. 【山西省运城市2017届高三上学期期中，18】已知各项均为正数的数列，满足，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于，所以是等差数列，即，开方得；（2）由于是一个等差数列除以一个等比数列，所以利用错位相减法求得前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，（），所以，‎ 因为，所以（）．‎ ‎（2）由（1）知，，所以，‎ 所以，①‎ 则，②‎ ‎①②，得，‎ 所以．‎ 考点：递推数列求通项，错位相减法.‎ ‎2. 【江西抚州七校2017届高三上学期联考，20】已知数列的前项和，且是等比数列的前两项，记与之间包含的数列的项数为，如与之间包含中的项为，则.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（2），因为数列是由连续的奇数组成的数列，而和都是奇数，所以与之间包含的奇数个数为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ．设的前项和为，‎ ，①‎ ，②‎ ‎①---②，得，则，．．．．．．．．．11分 所以数列的前项和为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：递推数列及前项和.‎ ‎【思路点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”‎ 的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解.‎ ‎3. 【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，17】（本小题满分12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由得，得出；（Ⅱ），当，；当时，进而讨论和的大小分段求和即可.‎ 试题解析：（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则 由已知有，即 故或（舍） ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时， 当时， 当时， .‎ 考点：等差数列及其求和.‎ ‎4. 【重庆八中2017届高三上学期二调，17】已知数列中，，（，）．‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知得，即是以为首项，为公差的等差数列，故而可得数列的通项公式；（2）由（1）得，利用分组求和及错位相减法求其前项和.‎ 试题解析：（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 令，①‎ 则，②‎ ‎①②得：，‎ ，‎ ‎∴．‎ 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了构造等比数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎5. 【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，20】（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并且求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在数列的递推式两边同时取倒数，构造出，易证其为等比数列，故可得其通项公式；（2）结合（1）得，利用分组求和与分组求和相结合求其前项和.‎ 试题解析：（1）由， 所以 即 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 所以数列的通项公式为 考点：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和；（3）数列递推式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，构造等比数列是解决本题的关键所在，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎6. 【福建厦门一中2017届上学期期中，18】（本题满分12分）设递增的等比数列的前项和为，已知，且．‎ ‎（1）求数列通项公式及前项和为；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据，求出的值，再由求出数列的，故可求 出通项公式和前项和；（2）由（1）得出数列，然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果．‎ 试题解析：（1）设等比数列的公比为，‎ 则由得，，解得或，‎ 又由知，，所以，因为为递增数列，‎ 所以．‎ ‎（2），‎ 记数列的首项和为，则，‎ ，‎ 两式相减得：，‎ 即，‎ 又的前项和为，‎ 所以．‎ 考点：数列的前项和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等，在该题中利用了分组求和和错位相减法相结合的形式.‎ ‎7. 【福建厦门一中2017届上学期期中，20】（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.‎ ‎（1）设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出的表达式；‎ ‎（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？‎ ‎【答案】（1），，；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为，由此能求出；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，由此能求出的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，由此能求出的表达式；（2）令，即，解得．由 ，知恒成立．令，即，解得．故当时，最大；当时，．由此能够选出最佳的选择奖励方案．‎ 试题解析：（1）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴，第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，∴，‎ 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ 综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案．‎ 考点：数列的应用.‎ ‎8. 【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，19】已知数列，，其前项和满足，其中．‎ ‎（1）设，证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，求证：；‎ ‎（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意 ，都有成立．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，，当时，，整理得：，可得，，是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）可知：，利用“错位相减法”即可求得；（3）由得，整理得：，当为奇数时，；当为偶数时，，由为非零整数，即可求得．‎ 试题解析：（1）当时，，∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴（常数），‎ 又，∴是首项为，公差为的等差数列，．‎ ‎（2），‎ ，，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由，得，‎ ，，，‎ 当为奇数时，，∴；‎ 当为偶数时，，∴，∴，‎ 又为非零整数，∴．‎ 考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.‎ ‎9. 【湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测，19】（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，,且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)或；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用等差数列等比数列的有关知识求解；(2)依据题设运用裂项相消法分析探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由等差数列性质，，设公差为，则，解得或或.‎ ‎（2）①当时，；②当时，，‎ .‎ 考点：等差数列等比数列的概念及通项公式等有关知识的综合运用．‎ ‎10. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，18】（本小题满分12分）‎ 已知公比小于1的等比数列的前项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由结合等比数列的定义知，故可得其通项公式；（2）由（1）得，结合裂项相消法求其前项和.‎ 试题解析：（1）设等比数列的公比为，‎ ‎∵，∴，‎ 则，解得或（舍去），‎ 故 （2） ‎∵，∴，∴，，‎ 由，得．‎ 考点：等比数列的性质；数列的前项和.‎ ‎【方法点晴】等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程，再利用裂项相消法求其前项和.‎ ‎11. 【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，20】（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式．‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）仿写一个等式，两式相减，得到数列的项的递推关系，据此递推关系，判断出数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项；（2）运用错位相减法求出数列的前项和．‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以，当时，，‎ 两式相减得，即．‎ 又当时，，所以，‎ 所以是以首项，公比的等比数列，‎ 所以数列的通项公式为 ‎（2）由（1）知，，‎ 则，①‎ ，②‎ ‎②—①得 ，‎ ，‎ 所以，数列的前项和为 考点：数列的通项公式；数列求和.‎ ‎12. 【河北沧州一中校2017届高三11月月考，18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用数列前项和与通项之间的关系及等比数列的定义求解；(2)借助题设运用裂项相消求和法探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ 当时，，，‎ ，即，‎ ，即.‎ ‎（2），，‎ .‎ 考点：数列前项和与通项之间的关系及等比数列的定义裂项相消求和法等有关知识的综合运用．‎ ‎13. 【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，20】（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先利用与的关系结合已知条件等式推出数列是等差数列，由此求得数列的通项公式；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得的表达式，然后利用错位相减法求解即可．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ 所以，‎ ，‎ 两式相减得，‎ 所以．‎ 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、错位相减法求数列的和．‎ ‎【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法．常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等．‎ ‎14. 【四川自贡普高2017届一诊，18】（本小题满分12分）‎ 已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，若时， .‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）由数列满足，，‎ 当时，，即，‎ 又因为数列是公差为2的等差数列，所以 （3分）‎ 由得，‎ 化简得：，即，‎ 即数列是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ 所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎∴，‎ ，‎ ‎∴，‎ 整理得： （10分）‎ ，‎ 所以. （12分 考点：1.等差数列、等比数列的定义与性质；2.错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义与性质以及错位相减法求和，属中档题；，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数. 本题在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力,本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.‎ ‎15. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，18】（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足. （1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)令先求出，当时，由可得，两边同减去可得，从而可证数列是等比数列；先求出数列的通项公式，即可求数列的通项公式；（2）由，所以，即用裂项相消法求和即可.‎ 试题解析： （1）当时，，解得，当时，，即 ，即，因为，故，所以是首项为-2，公比为2的等比数列，所以……………………6分 ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以…………12分 考点：1.等比数列的定义与性质；2.与的关系；3.裂项相消法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的定义与性质、与的关系以及裂项相消法求和，属中档题；在求数列通项的问题中，如条件中有与关系的，要利用求解；裂项相消法是每年高考的热点，主要命题角度是直接考查裂项相消法求和或与不等式结合考查裂项相消法求和.‎ ‎16. 【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，21】（本小题满分12分）‎ 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：对任意.‎ ‎【答案】(1) ；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析： （1）设的公比为，则有，解得，‎ 则.‎ 即数列和的通项公式为…………………………5分 ‎（2）证明：，‎ ‎∴，‎ 易知当时，有成立，∴，‎ 令 ①‎ 则 ②‎ ‎①-②得，‎ 从而，即…………………………12分 考点：1.等差数列、等比数列的性质；2.错位相减法求和；3.函数、数列与不等式.‎ ‎17. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，17】（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，,且为等差数列的前三项.‎ ‎（1）求数列,的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题解析：解：（1），‎ ，‎ ，即，‎ 又，‎ 数列为以为首项，公比为的等比数列，…………2分 ，‎ ，整理得，得，…………4分 .………………6分 ‎（2），‎ …………①‎ …………②…………8分 ① ‎—②得 …………10分 整理得：………………12分 考点：1.与的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.‎ ‎【名师点睛】本题考查与 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．‎ ‎18. 【河南百校联盟2017届高三11月质检，17】已知数列的前项和为，且对任意正整数都有成立.‎ ‎（Ⅰ）记，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意对任意正整数都有，当得.然后利用两式相减得，则可得到数列的通项公式，进而可得到数列的通项公式（Ⅱ）因为，由裂项相消法即可得求数列的前项和.‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，令得. 因为对任意正整数，都有成立，所以，‎ 两式相减得，所以， ‎ 又，所以为等比数列，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ），所以 考点：数列的通项公式及其前项和 ‎19. 【山西运城2017届上学期期中，18】已知各项均为正数的数列，满足，‎ （）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列前项和．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎【解析】‎ 试题分析：（1）因为，（），则是以1 为首项，2 为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可得的通项公式，则数列的通项公式即可得到（2）用错位相减法即可 试题解析：（1）因为，（），‎ 所以，‎ 因为，所以（）．‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以，①‎ 则，②‎ ‎①②得， ，‎ 所以．‎ 考点：等差数列的通项公式，错位相减法 ‎20. 【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，21】（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求证：不论取何值，数列总是等差数列，并求此数列的公差；‎ ‎（2）设数列的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）当时，，当时，，当时，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用当时，及等差数列的定义即可证明；（2）利用裂项法求得，再利用作差法比较大小即可.‎ 试题解析：（1）证明：当时，，∵，∴.………………1分 当时，，∴，‎ ‎∵，∴，………………3分 ‎∴数列是以2为首项1为公差的等差数列，∴.………………4分 ‎∵，………………5分 ‎∴不论取何值，数列总是等差数列，且此数列的公差为.………………6分 ‎（2）解：∵，………………7分 ‎∴，………………9分 ，‎ 当时，，∴；………………10分 当时，，∴；………………11分 当时，，∴.………………12分 考点：利用递推求通项，数列求和，比较大小.‎ ‎21. 【河北武邑中学2017届高三上学四调，17】（本小题满分10分）已知数列的前项和为,且,又数列满足．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)当为何值时,数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由有则数列为等比数列，‎ 则首项为满足的情况，故，‎ 则 而是单调递增的，故 考点：数列的通项公式；数列求和.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的定义和等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式，注重对基础的考查，属于容易题；解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，否则容易出错；求等比数列的前项和，先求出其首项和公比，在利用等比数列的前项和公式求解，利用公式的同时应考虑到的情形是否会出现.‎ ‎22. 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，18】（本小题满分12分）‎ 在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.‎ ‎⑴求数列的通项公式及其前项和；‎ ‎⑵若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】⑴，；⑵.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴由成等比数列 ；⑵由⑴可得 .‎ 试题解析：⑴∵成等比数列，∴，又∵，∴.‎ ‎∴，.………………………………7分 ‎⑵由⑴可得，‎ ‎∴.…………………………12分 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列前项和；4、错位相减法. ‎ ‎19.【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，19】（本小题满分12分）‎ 设定义在上的函数满足且，.‎ ‎⑴求，，的值；‎ ‎⑵若为一次函数，且在上为增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】⑴， ，；⑵.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴令，又 ；⑵由可设设，又 .‎ 试题解析： ⑴令，得，………………………………1分 ‎∴，∵.……………………………………2分 ‎∴，.…………………………4分 ‎⑵∵.‎ ‎∴设，又，∴，.‎ ‎∴，…………………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴，∴，即.…………………………12分 考点：1、函数的解析式；2、一次函数；3、函数的单调性.‎ ‎ ‎