数学卷·2018届上海市金山区高三上学期期末质量监控（2017 8页

金山区2017学年第一学期质量监控 高三数学试卷 ‎(满分：150分，完卷时间：120分钟) ‎ ‎（答题请写在答题纸上）‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．‎ ‎1．若全集U=R，集合A={x|x≤0或x≥2}，则UA= ．‎ ‎2．不等式的解为 ．‎ ‎3．方程组的增广矩阵是 ．‎ ‎4．若复数z=2–i（i为虚数单位），则= ．‎ ‎5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，则|PF1|´|PF2|的最大值是_______． ‎ ‎6．已知x，y满足，则目标函数k=2x+y的最大值为 ． ‎ ‎7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)= （结果用最简分数表示）． ‎ ‎8．已知点A(2，3)、点B(–2，)，直线l过点P(–1，0)，若直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． ‎ ‎9. 数列{an}的通项公式是an=2n–1(nÎN*)，数列{bn}的通项公式是bn=3n(nÎN*)，令集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，nÎN*．将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{cn}．则数列{cn}的前28项的和S28= ．‎ ‎10．向量、是平面直角坐标系x轴、y轴的基本单位向量，且|–|+|–2|=，则的取值范围为 ． ‎ ‎11．某地区原有森林木材存有量为a ‎，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为a，设an为第n年末后该地区森林木材存量，则an= ．‎ ‎12．关于函数，给出以下四个命题：(1)当x>0时，y=f(x)单调递减且没有最值；(2)方程f(x)=kx+b(k≠0)一定有实数解；(3)如果方程f(x)=m(m为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f(x)是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．‎ 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13．若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则( )．‎ ‎(A) “xÎC”是“xÎA”的充分条件但不是必要条件 ‎(B) “xÎC”是“xÎA”的必要条件但不是充分条件 ‎ ‎(C) “xÎC”是“xÎA”的充要条件 ‎ ‎(D) “xÎC”既不是“xÎA”的充分条件也不是“xÎA”的必要条件 第14题图 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎.‎ C B A ‎14．将如图所示的一个Rt△ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )．‎ ‎15．二项式(i–x)10(i为虚数单位)的展开式中第8项是( )．‎ ‎(A) –135x7 (B)135x7 (C)360i x7 (D)–360i x7 ‎ ‎16．给出下列四个命题：(1)函数y=arccosx (–1≤x≤1)的反函数为y=cosx(xÎR)；(2)函数(mÎN)为奇函数；(3)参数方程(tÎR)所表示的曲线是圆；(4)‎ 函数f(x)=sin2x–，当x>2017时，f(x)>恒成立．其中真命题的个数为( )．‎ ‎(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)‎ 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1、CD的中点．‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D E F ‎(1) 求三棱锥F–AA1E的体积；‎ ‎(2) 求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ 已知函数f(x)=sin2x+cos2x–1 (xÎR)．‎ ‎(1) 写出函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；‎ ‎(2) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)=0，，且a+c=4，求b的值．‎ ‎19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)‎ 设P(x, y)为函数f(x)=(xÎD，D为定义域)图像上的一个动点，O为坐标原点，|OP|为点O与点P两点间的距离．‎ ‎(1) 若a=3，D=[3，4]，求|OP|的最大值与最小值；‎ ‎(2) 若D=[1，2]，是否存在实数a，使得|OP|的最小值不小于2？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)‎ 给出定理：在圆锥曲线中， AB是抛物线G：y2=2px (p>0)的一条弦，C是AB 的中点，过点C且平行于x轴的直线与抛物线的交点为D，若A、B两点纵坐标之差的绝对值=a (a>0)，则△ADB的面积 S△ADB=．试运用上述定理求解以下各题：‎ ‎(1) 若p=2，AB所在直线的方程为y=2x–4，C是AB的中点，过C且平行于x轴的直线与抛物线G的交点为D，求S△ADB；‎ ‎(2) 已知AB是抛物线G：y2=2px (p>0)的一条弦，C是AB的中点，过点C且平行于x轴的直线与抛物线的交点为D，E、F分别为AD和BD的中点，过E、F且平行于x轴的直线与抛物线G：y2=2px (p>0)分别交于点M、N，若A、B两点纵坐标之差的绝对值=a (a>0)，求S△AMD和S△BND； ‎ ‎(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y2=2px (p>0)与弦AB围成的“弓形”的面积，并求出相应面积． ‎ ‎21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)‎ 若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．‎ ‎(1) 已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an–1．求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 在(1)的结论下，试判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论；‎ ‎(3) 已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，anÎZ(nÎN*)，求证：{an}为“等比源数列”．‎ 金山区2017学年第一学期期末考试 高三数学试卷评分参考答案 ‎(满分：150分，完卷时间：120分钟) ‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） ‎ ‎1．A={x|00)的一条弦，M是AD的中点，且A、D两点纵坐标之差为定值，|yA–yD|=(a>0)，……6分 由已知的结论，得S△AMD=，…………………………………………8分 同理可得S△BND=；……………………………………………………9分 ‎(3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。操作无限重复下去．‎ 第一次操作，增加的面积为S△AMD和S△BND=，………………10分 第二次操作，增加了4个三角形，面积共增加了，………12分 第三次操作，增加了8个三角形，面积共增加了，………14分 ‎……‎ 可得到一个公比为的无穷等比数列，随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦围成的“弓形”，………………………………………………………15分 因此“弓形面积”．………………16分 ‎ ‎21．解(1) 由an+1=2an–1，得an+1–1=2(an–1)，且a1–1=1，‎ 所以数列{an–1}是首项为1，公比为2的等比数列，……………………………………2分 所以an–1=2n–1，‎ 所以，数列{an}的通项公式为a n=2n–1+1．………………………………………………4分 ‎(2)数列{an}不是“等比源数列”，用反证法证明如下：‎ 假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列，‎ 因为an=2n–1+1，所以am＜an＜ak， ………………………………………………………7分 所以an2=am·ak，得 (2n–1+1)2=(2m–1+1)(2k–1+1)，即22n–m–1+2n–m+1–2k–1–2k–m=1，‎ 又m＜n＜k，m，n，kÎN*，‎ 所以2n–m–1≥1，n–m+1≥1，k–1≥1，k–m≥1，‎ 所以22n–m–1+2n–m+1–2k–1–2k–m为偶数，与22n–m–1+2n–m+1–2k–1–2k–m=1矛盾，‎ 所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列，‎ 综上可得，数列{an}不是“等比源数列”； …………………………………………10分 ‎(3)不妨设等差数列{an}的公差d≥0，‎ 当d=0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”；‎ 当d＞0时，因为anÎZ，则d≥1，且dÎZ，所以数列{an}中必有一项am＞0，………12分 ‎ 为了使得{an}为“等比源数列”，‎ 只需要{an}中存在第n项，第k项(m＜n＜k)，使得an2=amak成立，‎ 即[am+(n–m)d]2=am[am+(k–m)d]，即(n–m)［2am+(n–m)d］=am(k–m)成立，…………15分 当n=am+m，k=2am+amd+m时，上式成立，所以{an}中存在am，an，ak成等比数列，‎ 所以，数列{an}为“等比源数列”．……………………………………………………18分 注意：第(3)题批改时注意答案的验证．‎