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- 2021-06-09 发布
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【课时训练】指数与指数函数
一、选择题
1．(2019 江西上饶调研)函数 f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
A B C D
【答案】B
【解析】由 f(x)＝
2x－1，x≥1，
1
2 x－1，x<1，
可知 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)
上单调递减．故选 B.
2．(2018 浙江绍兴一中月考)已知函数 f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则
f(－4)与 f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)1, f(－4)＝a3, f(1)＝a2，由 y＝at(a>1)的单调性知 a3>a2，所以
f(－4)>f(1)．
3．(2018 山西大同调研)若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，且 a≠1)满足 f(1)＝1
9
，则 f(x)的单
调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】B
【解析】由 f(1)＝1
9
得 a2＝1
9
，又 a>0，所以 a＝1
3
，因此 f(x)＝
1
3 |2x－4|.因为 g(x)＝|2x
－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
4．(2018 山西运城一模)已知奇函数 y＝
f x ，x>0，
g x ，x<0.
如果 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)
对应的图象如图所示，那么 g(x)＝( )
A．
1
2 －x B．－
1
2 x
C．2－x D．－2x
【答案】D
【解析】由题图可知 f(1)＝1
2
，∴a＝1
2
， f(x)＝
1
2 x.由题意得 g(x)＝－f(－x)＝－
1
2
－x＝－2x.故选 D.
5．(2018 辽宁省实验中学分校月考)函数 y＝ 16－2x的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
【答案】C
【解析】函数 y＝ 16－2x中，因为 16－2x≥0，所以 2x≤16.因此 2x∈(0,16]，所以 16
－2x∈[0,16)．故 y＝ 16－2x∈[0,4)．故选 C.
6．(2018 云南昆明第一中学月考)已知集合 A＝{x|(2－x)·(2＋x)>0}，则函数 f(x)＝
4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值为( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
【答案】D
【解析】由题知集合 A＝{x|－20；②y＝f(x)不存在反函数；③f(x1)＋f(x2)<2f
x1＋x2
2 ；④
方程 f(x)＝x2 在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )
A．①② B．①④
C．①③ D．③④
【答案】B
8．(2018 湖南衡阳联考)若函数 f(x)＝2x－a＋1＋ x－a－a 的定义域与值域相同，则 a＝
( )
A．－1 B．1
C．0 D．±1
【答案】B
【解析】∵函数 f(x)＝2x－a＋1＋ x－a－a，
∴函数 f(x)的定义域为[a，＋∞)．
∵函数 f(x)的定义域与值域相同，
∴函数 f(x)的值域为[a，＋∞)．
又∵函数 f(x)在[a，＋∞)上是单调递增函数，∴当 x＝a 时，f(a)＝2a－a＋1－a＝a，解
得 a＝1.故选 B.
二、填空题
9．(2018 陕西咸阳一模)已知函数 f(x)＝ex－e－x
ex＋e－x，若 f(a)＝－1
2
，则 f(－a)＝________.
【答案】1
2
【解析】∵f(x)＝ex－e－x
ex＋e－x， f(a)＝－1
2
，
∴ea－e－a
ea＋e－a＝－1
2
.∴f(－a)＝e－a－ea
e－a＋ea＝－ea－e－a
ea＋e－a＝－
－1
2 ＝1
2
.
10．(2018 重庆一中月考)若函数 f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，
则实数 a＝________.
【答案】 3
【解析】当 a>1 时， f(x)＝ax－1 在[0,2]上为增函数，则 a2－1＝2，
∴a＝± 3.又 a>1，∴a＝ 3.当 0e.故 f(x)的最小值为 f(1)＝e.
12．(2018 山东烟台海阳一中期中)已知函数 f(x)＝2|x－2|－1 在区间[0，m]上的值域为
[0,3]，则实数 m 的取值范围为________．
【答案】[2,4]
【解析】函数 f(x)＝2|x－2|－1 的对称轴为直线 x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，
＋∞)上单调递增．由于函数 f(x)＝2|x－2|－1 在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线
x＝2 对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知 m∈[2,4]．
三、解答题
13．(2018 浙江余姚中学月考)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2x－ 1
2|x|.
(1)若 f(x)＝3
2
，求 x 的值；
(2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围．
【解】(1)当 x＜0 时， f(x)＝0，无解；
当 x≥0 时， f(x)＝2x－1
2x，
由 2x－1
2x＝3
2
，得 2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于 2x 的一元二次方程，
解得 2x＝2 或 2x＝－1
2
，
∵2x＞0，∴x＝1.
(2)当 t∈[1,2]时，2t 22t－ 1
22t ＋m
2t－1
2t ≥0，
即 m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，
∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数 m 的取值范围是[－5，＋∞)．
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