2017-2018学年天津市和平区高二上学期期末数学试题（文科）（解析版） 19页

‎2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（3分）若命题“∃x0∈R，”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R， B．∃x0∈R，‎ C．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠1‎ ‎2．（3分）已知抛物线，则它的准线方程是（　　）‎ A．x=﹣2 B．x=2 C． D．‎ ‎3．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎5．（3分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x ‎7．（3分）如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0‎ ‎8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（6分）直线x+y+m=0与椭圆相切的充要条件是　 　．‎ ‎10．（6分）若双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=　 　．‎ ‎11．（6分）已知椭圆的离心率，则m的值等于　 　．‎ ‎12．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆 的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为　 　．‎ ‎13．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=　 　．‎ ‎14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．已知命题P：表示双曲线，命题q：表示椭圆．‎ ‎（1）若命题P与命题q都为真命题，则P是q的什么条件？‎ ‎（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）‎ ‎（2）若P∧q为假命题，且P∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎16．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．‎ ‎（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．‎ ‎17．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎18．已知椭圆E的方程为 （a＞b＞0 ）的离心率为，圆C的方程为，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C的直径．‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求椭圆E 的标准方程．‎ ‎19．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）椭圆C的下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于不同的两点M，N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（3分）若命题“∃x0∈R，”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R， B．∃x0∈R，‎ C．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠1‎ ‎【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，”的否定是：∀x∈R，x2≠1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）已知抛物线，则它的准线方程是（　　）‎ A．x=﹣2 B．x=2 C． D．‎ ‎【分析】利用抛物线的标准方程，直接求解准线方程即可．‎ ‎【解答】极为：抛物线，开口向下，对称轴为y轴，‎ 所以抛物线的准线方程为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）已知抛物线y2=x的焦点是椭圆+‎ ‎=1的一个焦点，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意，抛物线y2=x的焦点为（，0），从而求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=x的焦点为（，0）；抛物线y2=x的焦点是椭圆+=1的一个焦点，‎ 故c=，b=，a==；‎ 故e===；‎ 故该椭圆的离心率为：；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线及椭圆的性质以及应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）已知双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），则双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．﹣x2=1 C．﹣y2=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），利用双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），建立方程组，即可求出双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），‎ ‎∵双曲线的一个焦点坐标为（，0），且经过点（﹣5，2），‎ ‎∴，‎ ‎∴a=，b=1，‎ ‎∴双曲线的标准方程为﹣y2=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的方程，正确运用待定系数法是关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，则椭圆方程可求．‎ ‎【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，‎ ‎∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，‎ ‎∴b2=3，‎ ‎∴椭圆方程为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若双曲线﹣y2=1（a＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x ‎【分析】求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1（a＞0）的c=，‎ 则离心率e===2，‎ 解得，a=．‎ 则双曲线的渐近线方程为y=x，‎ 即为y=x．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．5x+2y﹣4=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x+3y﹣12=0‎ ‎【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程，得：‎ ‎9x12+36y12=36×9①，‎ ‎9x22+36y22=36×9②；‎ ‎①﹣②得：‎ ‎9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；‎ 由中点坐标 =4，=2，‎ 代入上式，得 ‎36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴直线斜率为k==﹣，‎ 所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），‎ 即x+2y﹣8=0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设H（x0，y0），则=．可得kMHkNH==∈，即可得出．‎ ‎【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．‎ 设H（x0，y0），则=．‎ ‎∴kMHkNH====∈，‎ 可得：=e2﹣1∈，‎ ‎∴e∈．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．（6分）直线x+y+m=0与椭圆相切的充要条件是　　．‎ ‎【分析】根据直线和椭圆相切的等价条件，利用消元法转化为判别式△=0进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由x+y+m=0得y=﹣x﹣m，代入得3x2+2（﹣x﹣m）2=6，‎ 即5x2+4mx+2m2﹣6=0，‎ 若直线和椭圆相切，则判别式△=16m2﹣20（2m2﹣6）=0，‎ 即m2=5，得，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查直线和椭圆位置关系的判断，结合直线和椭圆相切的条件是解决本题的关键．．‎ ‎　‎ ‎10．（6分）若双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p=　4　．‎ ‎【分析】求出双曲线的左焦点坐标，代入抛物线的准线方程，求出P即可．‎ ‎【解答】解：双曲线 （p＞0）的左焦点（﹣，0），‎ 双曲线 （p＞0）的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，‎ 可得：﹣=，解得p=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．（6分）已知椭圆的离心率，则m的值等于　或　．‎ ‎【分析】通过椭圆焦点在x轴上或焦点在y轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出a、b、c值，由离心率为建立关于m的方程，解之即可得到实数m之值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆，‎ ‎∴①当椭圆焦点在x轴上时，a2=m+2，b2=4，可得c=，‎ 离心率e==，解得m=；‎ ‎②当椭圆焦点在y轴上时，a2=4，b2=m+2，可得c=离心率e==，解得m=．‎ 综上所述m=或．‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题给出椭圆含有参数m的方程，在已知椭圆离心率的情况下求m的值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎12．（6分）已知斜率为2 的直线经过椭圆 的右焦点F2，与椭圆相交于A、B 两点，则AB 的长为　　．‎ ‎【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，可得交点A，B的坐标，由两点的距离公式计算即可得到所求弦长．‎ ‎【解答】解：椭圆 的a=，b=2，‎ c==1，右焦点为（1，0），‎ 直线的方程为y=2（x﹣1），‎ 代入椭圆方程，可得 ‎6x2﹣10x=0，‎ 解得x=0或x=，‎ 即有交点为A（0，﹣2），B（，），‎ 则弦长为|AB|==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点和弦长，考查运算能力，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎13．（6分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=　　．‎ ‎【分析】由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的倾斜角为150°，可得kl=．进而得到直线EF的方程为：，与抛物线方程联立，可得解得yE．由于PE⊥l于E，可得yP=yE，代入抛物线的方程可解得xP．再利用|PF|=|PE|=xP+1即可得出．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．‎ ‎∵直线EF的倾斜角为150°，∴kl=tan150°=．‎ ‎∴直线EF的方程为：y=﹣（x﹣1），联立，解得y=．‎ ‎∴E．‎ ‎∵PE⊥l于E，‎ ‎∴yP=，代入抛物线的方程可得，解得xP=．‎ ‎∴|PF|=|PE|=xP+1=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（6分）已知双曲线（a＞0，b＞0 ）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右志于P，Q 两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=|PF1|，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设P，Q为双曲线右支上一点，‎ 由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，‎ 在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，‎ 由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，‎ 由|PQ|=|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=|PF1|，‎ 即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=|PF1|，‎ ‎∴（1﹣+）|PF1|=4a，‎ 解得|PF1|=．‎ ‎∴|PF2|=|PF1|﹣2a=，‎ 由勾股定理可得：2c=|F1F2|==，‎ 则e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．已知命题P：表示双曲线，命题q：表示椭圆．‎ ‎（1）若命题P与命题q都为真命题，则P是q的什么条件？‎ ‎（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）‎ ‎（2）若P∧q为假命题，且P∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）命题P：表示双曲线是真命题，则（m﹣1）（m﹣4）＜0，解得m取值范围．又命题q：表示椭圆是真命题，可得，解出即可判断出关系．‎ ‎（2）P∧q为假命题，且P∨q为真命题，可得P、q为“一真一假”，进而得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵命题P：表示双曲线是真命题，‎ ‎∴（m﹣1）（m﹣4）＜0，‎ 解得1＜m＜4．‎ 又∵命题q：表示椭圆是真命题，‎ ‎∴‎ 解得2＜m＜3或3＜m＜4‎ ‎∵{m|1＜m＜4}⊇{2＜m＜3或3＜m4}‎ ‎∴P是q的必要不充分条件．‎ ‎（2）解：∵P∧q为假命题，且P∨q为真命题 ‎∴P、q为“一真一假”，‎ 当P真q假时，由（1）可知，P为真，有1＜m＜4，①q为假，m≤2或m=3或m≥4②‎ 由①②解得1＜m≤2或m=3‎ 当P假真时，由（1）可知，P为假，有m≤1或m≥4，③q为真，有2＜m＜3或3＜m＜4④‎ 由③④解得，无解 综上，可得实数m的取值范围为1＜m≤2或m=3．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．‎ ‎（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意设出所求的椭圆的标准方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后写出椭圆标准方程．‎ ‎（Ⅱ）根据三个已知点的坐标，求出关于直线y=x的对称点分别为点，设出所求双曲线标准方程，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 ‎（a＞b＞0），‎ 其半焦距c=6‎ ‎∴，b2=a2﹣c2=9．‎ 所以所求椭圆的标准方程为 ‎（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）‎ 关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．‎ 设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=6，‎ ‎，‎ b12=c12﹣a12=36﹣20=16．‎ 所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点D（2，y0）在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x﹣1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由抛物线的定义，可得，解可得p=2，代入标准方程，即可得答案；‎ ‎（2）联立直线与抛物线的方程，消去y得x2﹣6x+1=0，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O到直线y=x﹣1，进而由三角形面积公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，D（2，y0）在抛物线y2=2px，上且|DF|=3‎ 由抛物线定义得，∴p=2‎ 故抛物线的方程为y2=4x；‎ ‎（2）由方程组，消去y得x2﹣6x+1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6；‎ ‎∵直线y=x﹣1过抛物线y2=4x的焦点F，‎ ‎∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8‎ 又O到直线y=x﹣1的距离，‎ ‎∴△ABO的面积．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆E的方程为 （a＞b＞0 ）的离心率为，圆C的方程为，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C的直径．‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求椭圆E 的标准方程．‎ ‎【分析】（1）通过椭圆的离心率设出椭圆E的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．‎ ‎（2）y=﹣x+3，代入并整理得，3x2﹣12x+18﹣2b2=0，利用判别式以及韦达定理弦长公式，求解a，b得到椭圆方程．‎ ‎【解答】（1）解：由得，‎ ‎∴，即a2=2b2，‎ ‎∴椭圆E的方程为，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB恰好为圆C的直径，‎ ‎∴线段AB的中点恰好为圆心（2，1），‎ 于是有x1+x2=4，y1+y2=2，‎ 由于，，‎ 两式相减，并整理得，（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0‎ 有（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．‎ ‎（2）解：由（1）知y=﹣x+3，代入并整理得，3x2﹣12x+18﹣2b2=0，‎ ‎∵椭圆E与圆C相交于A，B两点，‎ ‎∴△=（﹣12）2﹣4×3×（18﹣2b2）＞0，解得b2＞3，‎ 于是x1+x2=4，，‎ 依题意，，‎ 而=，‎ ‎∴，‎ 解得b2=8，满足b2＞3，‎ ‎∴a2=2b2=16，‎ ‎∴所求椭圆E的标准方程．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，平方差法的应用，考查转化思以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，右焦点到直线的距离为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）椭圆C的下顶点为A，直线y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于不同的两点M，N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的右焦点为（c，0），通过右焦点到直线的距离为2，列出方程求解c，通过离心率求解a，然后求解b，即可求出椭圆方程．‎ ‎（2）求出椭圆C的下顶点A（0，﹣1），设M（xM，ym），N（xN，yN），弦MN的中点为P（xP，yP），‎ 由消去y，并整理利用△＞0，得到m2＜3k2+1，通过AP⊥MN，推出2m=3k2+1，然后求解m的取值范围．‎ ‎【解答】（1）解：设椭圆的右焦点为（c，0），‎ ‎∵右焦点到直线的距离为2，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∵，即，有 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴所求椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）解：由（1）椭圆C的方程知，其下顶点为A（0，﹣1），‎ 设M（xM，ym），N（xN，yN），弦MN的中点为P（xP，yP），‎ 由消去y，并整理得，（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0‎ ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴△＞0，即（6km）2﹣4（3k2+1）•3（m2﹣1）＞0‎ 化简得，m2＜3k2+1，①‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵|AM|=|AN|，P是MN的中点，‎ ‎∴AP⊥MN，‎ ‎∴‎ 化简得，2m=3k2+1，②‎ 把②代入①得，2m＞m2‎ 解得0＜m＜2，‎ 又由②得，解得，‎ 所以m的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，范围问题的求解方法，不等式以及等式关系的建立是解题的难点，同时本题考查椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎