2014龙岩5月份质检文数（一级校）试卷 8页

‎2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），‎ 全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差： ，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设复数（为虚数单位），则复数的虚部为 A． B． C． D． ‎ ‎2．已知集合，，若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎3．已知下列命题：‎ ‎①“”为真，则“”为真；‎ ‎②函数（）的值域为；‎ ‎③命题“，都有”的否定为“，”．‎ 其中真命题的个数为 A． B． C． D．‎ ‎4．已知是不同直线，是平面，，则“∥”是“∥”的 ‎（第5题图）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如图，在边长为的正三角形内随机取一个点，则点在 此正三角形的内切圆的内部的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎6．在△中，角所对的边的长分别为，，，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数的相邻对称轴之间距离为，点是其图象的一个对称中心，则下列各式中符合条件的解析式是 A． B． ‎ C． D．‎ 主视图 侧视图 俯视图 ‎（第8题图）‎ ‎8．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆）,‎ 则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9．已知满足约束条件，使取得 最小值的最优解有无数个，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10. 函数的大致图象是 A B C D ‎11. 已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，且两条曲线的交点连线过点，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎12. 设函数且，则 的所有零点之和为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置.‎ WHILE ‎ ‎ ‎ WEND ‎ PRINT ‎ END ‎（第13题图）‎ ‎13．右图中的程序执行后输出的结果是 ．‎ ‎14．已知函数是奇函数，则的值等于 ‎ ． ‎ ‎15．一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直 观图如右图所示，此直观图恰好是一个边长为1‎ 的正方形，则原平面四边形面积为 ． ‎ ‎（第15题图）‎ ‎16．函数，其中，‎ 若动直线与函数 的图象有三个不同的交点，它们 的横坐标分别为，则的最大值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，‎ 证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（第17题图）‎ 为了解某校高一学生的中考数学成绩，分别从甲 乙两班随机各抽取8名学生的中考数学成绩，获得如 右图所示的茎叶图.‎ ‎（I）根据茎叶图的数据分别求甲、乙两个班所抽 ‎8名学生的中考数学成绩的中位数和平均数，并根据 茎叶图的数据特征判断哪个班成绩更集中？‎ ‎（II）根据茎叶图的数据从140分以上的学生随机 抽取两名学生参加“希望杯”数学邀请赛，求至少有 一名来自乙班的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）将数列的前项抽去其中一项后，剩下的三项构成公比大于的等比数列的前三项，记数列前项的和为，若对任意，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎（第19题图）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设点为单位圆上的动点，点满足，‎ ‎，，求的取值范围．‎ 图乙 ‎（第20题图）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图甲，⊙的直径，圆上两点在直径的两 侧，且．沿直径折起，使两个半圆所在 的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．‎ 根据图乙解答下列各题：‎ ‎（Ⅰ）求证 ：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点，使得∥平面？‎ 若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（第21题图）‎ 设是圆上的动点，点在轴上的投影为，‎ 点在上，记点的轨迹为曲线．过原点斜率为的直线 交曲线于两点（其中在第一象限），轴于点，‎ 连接，直线交曲线于另一点．‎ ‎（Ⅰ）若为的中点，求曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若点满足 (且)，‎ 求曲线的方程．并探究是否存在实数，使得对任意 ‎，都有．若存在，求出的值；若不 存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在点处的切线与直线平行，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅲ）若存在，使得是在上的最小值，求的取值范围．‎ ‎2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1~5 ABCDA 6~10 CCDDA 11~12 BA ‎ 二、填空题 ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．（命题意图：本题考查茎叶图，中位数、平均数、方差以及用列举法计算随机事件的概率，考查了学生数据处理能力）‎ 解：（Ⅰ）甲、乙两个班所抽8名学生的中考数学成绩的中位数分别为137. 5分和132. 5分．‎ ‎……………………………………………………2分 由茎叶图得甲班的8名学生的中考数学平均成绩为分，‎ 乙班的8名学生的中考数学平均成绩为分 ……4分 从茎叶图中看出，乙班数据集中在分段，甲班数据较分散，‎ 所以乙班数学成绩更集中． ……………………6分 ‎（Ⅱ）由茎叶图可知甲班140分以上的学生有3名，分别记为，乙班140分以上的学生有2名，分别记为从这5名中随机抽取两名学生参加“希望杯”数学邀请赛的基本事件有共10种，…………………8分 其中抽取的2名学生至少有一名来自乙班的基本事件有 共7种． ………………………………………10分 ‎∴所求事件的概率为． …………………………………12分 ‎18．（命题意图：本题考查数列与方程、不等式交汇，考查等差、等比数列的定义和通项公式，等比数列的前项和等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想）‎ 解：（Ⅰ）设公差为，则由， 得 ………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，‎ 而是公比大于1的等比数列=1，=2，=4， …8分 ‎，又对任意，使得成立，‎ 而的最小值为1 ………………………………12分 ‎19．（命题意图：本题考查三角函数的定义、二倍角公式、两角差的正弦公式等三角函数的知识，考查了运算求解能力、化归与转化思想）‎ 解：（Ⅰ）， ………………………2分 ‎． ………………4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以， ……………………6分 ‎， ………9分 ‎， ………11分 所以，的取值范围． …………………12分 ‎（第20题图）‎ ‎20．（命题意图：本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．） ‎ 解：（Ⅰ）证明：在△中，‎ ‎∵，，‎ ‎∴△为正三角形，‎ 又∵为的中点，‎ ‎∴ …………………………………1分 ‎∵两个半圆所在平面与平面互相垂直且其交线为，‎ ‎∴⊥平面． ……………………………………………3分 又平面，∴． …………………………‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面，‎ ‎∴为三棱锥的高．‎ 为圆周上一点，且为直径， ∴，‎ 在△中，由,,‎ ‎, 得，． ……………………………6分 ‎∵，‎ ‎∴＝＝． …………8分 ‎（Ⅲ）存在满足题意的点，为劣弧的中点． …………………9分 证明如下：连接，易知，又 ∴∥，‎ ‎∵平面， ∴∥平面． …………………10分 在△中，分别为的中点，‎ ‎∴∥，平面，∴∥平面， ………11分 ‎∵∩， ∴平面∥平面．‎ 又⊂平面，∴∥平面． ……………………12分 ‎（第21题图）‎ ‎21．（命题意图：本题考查曲线与方程、椭圆与圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解和分析探究问题能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．）‎ 解：（Ⅰ）设，则 代入得 曲线C的标准方程为 ………4分 ‎（Ⅱ）设，则，代入 曲线C的方程为 …………6分 由题意设， 则，‎ 三点共线，‎ ‎, ……………………7分 又在曲线上，，两式相减得：‎ ‎ …………………………8分 ‎===…10分 又 ‎ 又且 存在实数，使得对任意，都有． ……12分 ‎22．（命题意图：本题考查函数、导数等基础知识，利用导数求切线方程、函数单调区间等方法，考查运算求解、分类讨论、探究解决问题的能力，考查函数与方程、不等式思想、转化思想．）‎ 解：（Ⅰ）， ……………………………1分 ‎ 因为函数在点处的切线与直线平行，所以，‎ ‎，，的值为． …………4分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎, ………………5分 ‎① 当 时，即 时 ，，函数在上单调递增 ；‎ ‎② 当 时，即 时 ，时，； ‎ 时，，‎ 即函数在上单调递增，函数在上单调递减，‎ 综上，当时 ，函数在上单调递增 ；‎ 当时 ，函数在上单调递增，‎ 函数在上单调递减 ……………………………………8分 ‎（Ⅲ），令得 ‎①当时，在单调递减，在单调递增，‎ ‎，使是在上的最小值，‎ ‎ ……………………………………………9分 ‎②当时，在和单调递增，在单调递减，‎ ‎，，解得 当时，使是在上的最小值； ……………10分 ‎③当时，，在单调递增，‎ 不存在，使得是在上的最小值； ………11分 ‎④当时，在和单调递增，在单调递减，‎ ‎，，无实数解； ……12分 ‎⑤当时，在单调递增，在单调递减，‎ 函数没有最小值． ……………………………13分 综上，时，存在，‎ 使得是在上的最小值. ………………………14分