数学理·江西省赣州市厚德外国语学校2017届高三上学期开学数学试卷（理科）+Word版含解析 20页

‎2016-2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三（上）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]‎ ‎3．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数 B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．向量=（﹣2，1），=（﹣3，0），则在方向上的投影为2‎ D．“|x|≤1”是“x＜1”的既不充分也不必要条件 ‎4．函数的定义域是（　　）‎ A． B． C． D．[0，+∞）‎ ‎5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=， =，则=（　　）‎ A． + B． + C． + D． +‎ ‎6．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（　　）‎ A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）‎ ‎7．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ‎10．已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则|﹣2|等于（　　）‎ A．1 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．l或2‎ ‎12．在等比数列{an}中，若an＞0，a7=，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．“若∃x∈（1，2），x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围为　　．‎ ‎14．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为　　．‎ ‎15．若数列{an}满足an+1=an+（）n，a1=1，则an=　　．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4，点A、B在圆C上，且|AB|=2，则|+|的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知复数Z1，Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．‎ ‎（1）若|Z1﹣Z2|=，求a的值．‎ ‎（2）复数z=Z1•Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．‎ ‎18．（1）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ ‎（2）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知||=2，||=3，与的夹角为120°．‎ ‎（1）求|+2|的值；‎ ‎（2）求+2在方向上的投影．‎ ‎20．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．‎ ‎（1）若∥，求|﹣|‎ ‎（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．‎ ‎（1）若=x+y，求x，y的值；‎ ‎（2）求•的值；‎ ‎（3）求cos∠BEF．‎ ‎22．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省赣州市厚德外国语学校高三（上）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．‎ ‎【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，‎ ‎∴z+i==‎ ‎==﹣i，∴z=﹣2i ‎∴|z|=2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合P，然后求解交集即可．‎ ‎【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，‎ Q={x|2＜x＜4}，‎ 则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题是假命题的是（　　）‎ A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数 B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ C．向量=（﹣2，1），=（﹣3，0），则在方向上的投影为2‎ D．“|x|≤1”是“x＜1”的既不充分也不必要条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，B寻找特殊值进行判断即可；‎ C，D根据投影和充要条件的概念判断即可．‎ ‎【解答】解：A当φ=时，函数f（x）=sin（2x+）=cos2x是偶函数，故错误；‎ B当α=﹣，β=时，能使cos（α+β）=cosα+cosβ，故正确；‎ C则在方向上的投影为=2，故正确；‎ D“|x|≤1，则﹣1≤x≤1，故是“x＜1”的既不充分也不必要条件，故正确；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．函数的定义域是（　　）‎ A． B． C． D．[0，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即，即，‎ 解得x＞﹣且x≠0，‎ 故函数的定义域为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=， =，则=（　　）‎ A． + B． + C． + D． +‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与DC的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎▱ABCD中，△DEF∽△BEA，‎ ‎∴==，‎ 再由AB=CD可得=，‎ ‎∴=；‎ 又=， =，‎ ‎∴=﹣=﹣=﹣，‎ ‎∴=﹣； ‎ 又=﹣=﹣=+，‎ ‎∴=+=（+）+（﹣）=+．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知向量=（2，﹣1），=（1，7），则下列结论正确的是（　　）‎ A．⊥ B．∥ C．⊥（+） D．⊥（﹣）‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】求出+，然后通过向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（2，﹣1），=（1，7），+=（3，6）．‎ ‎•（+）=6﹣6=0．‎ ‎⊥（+）=0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，‎ ‎∴（2﹣）•=2﹣•=2×22﹣5×2×cos60°=3，‎ ‎∴向量2﹣在方向上的投影为=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．‎ ‎【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：‎ 设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴λ+μ=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 ‎【考点】平面向量数量积的运算；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列 ‎∴2B=A+C 又∵A+B+C=180°‎ ‎∴B=60°‎ 设D为BC边上的中点 则=2‎ 又∵‎ ‎∴=0‎ ‎∴‎ 即△ABC为等腰三角形，‎ 故△ABC为等边三角形，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则|﹣2|等于（　　）‎ A．1 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知结合向量的坐标加法运算求得，进一步求出的坐标，代入向量模的公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵，且，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．l或2‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的前n项和公式求解．‎ ‎【解答】解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和， =3，‎ ‎∴=1+q2=3，∴q2=2，‎ ‎∴====．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．在等比数列{an}中，若an＞0，a7=，则+的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由an＞0，a7=，利用等比数列的性质与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an＞0，a7=，‎ 由等比数列的性质与基本不等式的性质可得：‎ ‎，‎ ‎∴+的最小值为4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．“若∃x∈（1，2），x2+mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围为　（﹣∞，﹣5]　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．‎ ‎【解答】解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，‎ ‎∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，‎ ‎∴在（1，2）上恒成立 令，x∈（1，2）‎ ‎∵‎ ‎∴f（x）＜f（1）=5，‎ ‎∴﹣m≥5，‎ ‎∴m≤﹣5．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣5]‎ ‎　‎ ‎14．设函数，若f（x）为奇函数，则的值为　2　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由题意可得g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣，再利用对数的运算性质，求得结果．‎ ‎【解答】解：g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=log24=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．若数列{an}满足an+1=an+（）n，a1=1，则an=　2﹣（n∈N*）　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】本题的递推关系式类似于等差数列的递推式，可用累加法来处理，属于基础题，于是连续写出n个递推等式累加可得an．‎ ‎【解答】解：由已知可得，an+1﹣an=（）n，所以有：a2﹣a1=（）1，a3﹣a2=（）2，…，an﹣an﹣1=（）n﹣1（n≥2），‎ 上述n﹣1个式子累加可得：an﹣a1=（）1+（）2+…+（）n﹣1==（n≥2），‎ 所以得，an=a1+=2﹣（n≥2），‎ 因为当n=1时上式也成立，因此有an=2﹣（n∈N*）‎ 答：2﹣（n∈N*）‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4，点A、B在圆C上，且|AB|=2，则|+|的最小值是　8　．‎ ‎【考点】向量的模；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】设出E点的坐标，表示出+的模，结合三角函数的性质求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：设AB的中点为D，则CD=1，‎ 延长CD交圆C于点E，则D为CE的中点，‎ ‎∵=，‎ 设E（4+2cosθ，3+2sinθ），‎ ‎∴‎ ‎=|（8+2cosθ，6+2sinθ）|‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知复数Z1，Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．‎ ‎（1）若|Z1﹣Z2|=，求a的值．‎ ‎（2）复数z=Z1•Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）利用复数的几何意义和模的计算公式即可得出；‎ ‎（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由复数的几何意义可知：Z1=﹣2+i，Z2=a+3i．‎ ‎∵|Z1﹣Z2|=，∴|﹣a﹣2﹣2i|==．‎ 解得a=﹣3或﹣1．‎ ‎（2）复数z=Z1•Z2=（﹣2+i）（a+3i）=（﹣2a﹣3）+（a﹣6）i对应的点在二、四象限的角平分线上，‎ 依题意可知点（﹣2a﹣3，a﹣6）在直线y=﹣x上 ‎∴a﹣6=﹣（﹣2a﹣3），解得a=﹣9．‎ ‎　‎ ‎18．（1）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．‎ ‎（2）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N，当a=1时，解集N为空集，不满足，当a＞1时，求得解集，列不等式组即可求得a的取值范围；‎ ‎（2）方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，m的取值集合就是函数y=x2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，根据二次函数性质，即可求得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M⊆N，‎ 当a=1时，解集N为空集、不满足题意；‎ 当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，‎ 则，‎ 所以；‎ ‎（2）由题意得，方程x2﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，‎ ‎∴m的取值集合就是函数y=x2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，值域为[﹣，2），‎ ‎∴实数m的取值范围[﹣，2）．‎ ‎　‎ ‎19．已知||=2，||=3，与的夹角为120°．‎ ‎（1）求|+2|的值；‎ ‎（2）求+2在方向上的投影．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）由题已知||=2，||=3及其夹角，可利用，转化为向量的乘法解决；‎ ‎（2）求向量+2在方向上的投影，则由向量乘法，则在的投影为||cos，则可利用||cos=变形．可求出投影．‎ ‎【解答】解：（1）∵||=2，||=3，与的夹角为120°，‎ ‎∴|+2|==‎ ‎===2；‎ ‎（2）∵==，‎ ‎∴+2在方向上的投影为||•cos＜，＞==．‎ ‎　‎ ‎20．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．‎ ‎（1）若∥，求|﹣|‎ ‎（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||；‎ ‎（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2．‎ 当x=0时， =（1，0），=（3，0），∴=（﹣2，0），∴||=2．‎ 当x=﹣2时， =（1，﹣2），=（﹣1，2），∴=（2，﹣4），∴||=2．‎ 综上，||=2或2．‎ ‎（2）∵与夹角为锐角，∴，‎ ‎∴2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3．‎ 又当x=0时，，‎ ‎∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．‎ ‎（1）若=x+y，求x，y的值；‎ ‎（2）求•的值；‎ ‎（3）求cos∠BEF．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）利用向量的比例关系，即可求出x，y的值．‎ ‎（2）利用（1）的结果，通过数量积的运算，求解即可．‎ ‎（3）求出，通过向量的数量积的运算法则求解cos∠BEF即可．‎ ‎【解答】解：（1）∴，‎ ‎∴…4‎ ‎（2）=…6‎ ‎=…10‎ ‎（3）设的夹角为θ，‎ ‎∵，‎ ‎∴…12‎ 又∵，…14‎ ‎∴…16‎ ‎　‎ ‎22．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵an+1=2Sn+3，∴当n≥2时，an=2Sn﹣1+3，‎ ‎∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，化为an+1=3an．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为3，公比为3．‎ ‎∴an=3n．‎ ‎（II）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）•3n，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，‎ ‎3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，‎ ‎∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，‎ ‎∴Tn=（n﹣1）•3n+1+3．‎ ‎　‎ ‎2016年10月21日