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- 2021-06-09 发布
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镇江市2018届高三年级第一次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1. 已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,0,1,2},则A∩B=________.
2. 已知x,y∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)
3. 函数y=3sin图象两相邻对称轴的距离为________.
4. 设复数z满足=5i,其中i为虚数单位,则|z|=________.
5. 已知双曲线的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为________.
6. 已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为________.
7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值为________.
8. 已知锐角θ满足tanθ=cosθ,则=________.
9. 已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为________.
10. 函数y=cosx-xtanx的定义域为,则其值域为________.
11. 已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为________.
12. 已知点P(1,0),直线l:y=x+t与函数y=x2的图象交于A,B两点,当·最小时,直线l的方程为________.
13. 已知a,b∈R,a+b=4,则+的最大值为________.
14. 已知k为常数,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有四个不同解,则实数k的取值构成的集合为________.
二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=-2ccosC.
(1) 求角C的大小;
(2) 若b=2a,且△ABC的面积为2,求c的值.
16. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:
(1) A1C∥平面ADB1;
(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.
17. (本小题满分14分)
如图,准备在墙上钉一个支架,支架由两直杆AC与BD焊接而成,焊接点D把杆AC分成AD,CD两段.其中两固定点A,B间距离为1米,AB与杆AC的夹角为60°,杆AC长为1米.若制作AD段的成本为a元/米,制作CD段的成本是2a元/米,制作杆BD的成本是4a元/米.设∠ADB=α,制作整个支架的总成本记为S元.
(1) 求S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;
(2) 问AD段多长时,S最小?
18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,左焦点F(-2,0),直线l:y=t与椭圆交于A,B两点,M为椭圆E上异于A,B的点.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 若M(-,-1),以AB为直径的圆P过点M,求圆P的标准方程;
(3) 设直线MA,MB与y轴分别相交于点C,D,证明:OC·OD为定值.
19. (本小题满分16分)
已知b>0,且b≠1,函数f(x)=ex+bx,其中e为自然对数的底数.
(1) 如果函数f(x)为偶函数,求实数b的值,并求此时函数f(x)的最小值;
(2) 对满足b>0,且b≠1的任意实数b,证明:函数y=f(x)的图象经过唯一定点;
(3) 如果关于x的方程f(x)=2有且只有一个解,求实数b的取值范围.
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,总存在正数p,q,r,使得an=pn-1,Sn=qn-r恒成立;数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意正整数n,2Tn=nbn恒成立.
(1) 求常数p,q,r的值;
(2) 证明:数列{bn}为等差数列;
(3) 若b2=2,记Pn=+++…++,是否存在正整数k,使得对任意正整数n,Pn≤k恒成立?若存在,求正整数k的最小值;若不存在,请说明理由.
2018届高三年级第一次模拟考试(三)
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. [选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,BC=BD,BA的延长线交CD的延长线于点E,延长CA至点F.求证:AE是∠DAF的平分线.
B. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M=,其中a,b均为实数,若点A(3,-1)在矩阵M的变换作用下得到点B(3,5),求矩阵M的特征值.
C. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a>b>0,φ为参数),且曲线C上的点M(2,)对应的参数φ=,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 求曲线C的普通方程;
(2) 若曲线C上的A,B两点的极坐标分别为A(ρ1,θ),B,求+的值.
D. [选修45:不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实数a的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
22. (本小题满分10分)
如图,AC⊥BC,O为AB的中点,且DC⊥平面ABC,DC∥BE.已知AC=BC=DC=BE=2.
(1) 求直线AD与CE所成角;
(2) 求二面角OCEB的余弦值.
23. (本小题满分10分)
某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是,该学生各学科等级成绩彼此独立.规定:有一门学科获A等级加1分,有两门学科获A等级加2分,有三门学科获A等级加3分,四门学科全获A等级则加5分.记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.
(1) 求ξ1的数学期望;
(2) 求ξ2的分布列.
2018届镇江高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
1. {0,1} 2. 充要 3. 4. 1 5. x=
6. 7. -32 8. 3+2 9. 4 10. [-,1]
11. (x+3)2+(y+3)2=18 12. y=x+
13. 14. ∪(-e,-1)
15. 解析:(1) 由正弦定理==,
且bcosA+acosB=-2ccosC得(2分)
sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC,
所以sin(B+A)=-2sinCcosC.(3分)
因为A,B,C为三角形的内角,所以B+A=π-C,
所以sinC=-2sinCcosC.(4分)
因为C∈(0,π),所以sinC>0.(5分)
所以cosC=-,(6分)
所以C=.(7分)
(2) 因为△ABC的面积为2,
所以absinC=2.(8分)
由(1)知C=,所以sinC=,所以ab=8.(9分)
因为b=2a,所以a=2,b=4,(11分)
所以c2=a2+b2-2abcosC=22+42-2×2×4×=28,(13分)
所以c=2.(14分)
16. 解析:(1) 设A1B∩AB1=E.
因为ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以AA1B1B为矩形,所以E为A1B的中点.(1分)
因为D为BC的中点,所以DE为△BA1C的中位线,(2分)
所以DE∥A1C,且DE=A1C.(3分)
因为A1C⊄平面ADB1,DE⊂平面ADB1,(5分)
所以A1C∥平面ADB1.(7分)
(2) 因为AB=AC,D为BC的中点,
所以AD⊥BC.(8分)
因为ABCA1B1C为直三棱柱,
所以BB1⊥平面ABC.
因为AD⊂平面ABC,所以BB1⊥AD.(9分)
因为BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B,BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.(10分)
因为BC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥BC1.(11分)
因为BC1⊥B1D,AD⊂平面ADB1,B1D⊂平面ADB1,AD∩B1D=D,
所以BC1⊥平面ADB1.(13分)
因为BC1⊂平面A1BC1,
所以平面A1BC1⊥平面ADB1.(14分)
17. 解析:(1) 在△ABD中,由正弦定理得==,(1分)
所以BD=,AD=+,(3分)
则S=a+2a[1-(+)]+4a
=a,(6分)
由题意得α∈.(7分)
(2) 令S′=a·=0,设cosα0=.
α
α0
cosα
S′
<0
0
>0
S
单调递减
极小
单调递增
(11分)
所以当cosα=时,S最小,
此时sinα=,AD=+=.(12分)
18. 解析:(1) 因为e==且c=2,
所以a=2,b=2.(2分)
所以椭圆方程为+=1.(4分)
(2) 设A(s,t),则B(-s,t),且s2+2t2=8.①
因为以AB为直径的圆P过M点,
所以MA⊥MB,所以·=0,(5分)
因为=(s+,t+1),=(-s+,t+1),
所以6-s2+(t+1)2=0. ②(6分)
由①②解得t=或t=-1(舍),所以s2=.(7分)
因为圆P的圆心为AB的中点(0,t),半径为=|s|,(8分)
所以圆P的标准方程为x2+=.(9分)
(3) 设M(x0,y0),则lAM的方程为y-y0=·(x-x0),若k不存在,显然不符合条件.
令x=0得yC=;
同理yD=,(11分)
所以OC·OD=|yC·yD|==(13分)
====4为定值.(16分)
19. 解析:(1) 由f(1)=f(-1)得e+b=+,
解得b=-e(舍),或b=,(1分)
经检验f(x)=ex+为偶函数,所以b=.(2分)
因为f(x)=ex+≥2,当且仅当x=0时取等号,(3分)
所以f(x)的最小值为2.(4分)
(2) 假设y=f(x)过定点(x0,y0),则y0=ex0+bx0对任意满足b>0,且b≠1恒成立.(5分)
令b=2得y0=ex0+2x0;令b=3得y0=ex0+3x0,(6分)
所以2x0=3x0,即=1,解得唯一解x0=0,所以y0=2,(7分)
经检验当x=0时,f(0)=2,所以函数y=f(x)的图象经过唯一定点(0,2).(8分)
(3) 令g(x)=f(x)-2=ex+bx-2为R上的连续函数,且g(0)=0,则方程g(x)=0存在一个解.(9分)
(i) 当b>0时,g(x)为增函数,此时g(x)=0只有一解.(10分)
(ii) 当00,0<<1,lnb<0,令h(x)=,h(x)为单调增函数,
所以当x∈(-∞,xe)时,h(x)<0,所以g′(x)<0,g(x)为单调减函数;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,所以g′(x)>0,g(x)为单调增函数,
所以g极小(x)=g(x0).因为g(x)定义域为R,所以gmin(x)=g(x0).(13分)
①若x0>0,g(x)在(-∞,x0)上为单调减函数,g(x0)0,
所以当x∈(x0,ln2)时,g(x)至少存在另外一个零点,矛盾.(14分)
②若x0<0,g(x)在(x0,+∞)上为单调增函数,g(x0)0,所以g(x)在(logb2,x0)上存在另外一个解,矛盾.(15分)
③当x0=log(-lnb)=0,则-lnb=1,解得b=,此时方程为g(x)=ex+-2=0,
由(1)得,只有唯一解x0=0,满足条件.
综上所述,当b>1或b=时,方程f(x)=2有且只有一个解.(16分)
20. 解析:(1) 因为Sn=qn-r,①
所以Sn-1=qn-1-r,(n≥2)②
①-②得Sn-Sn-1=qn-qn-1,即an=qn-qn-1,(n≥2),(1分)
因为an=pn-1,所以pn-1=qn-qn-1,(n≥2),
当n=2时,p=q2-q;当n=3时,p2=q3-q2.
因为p,q为正数,所以p=q=2.(3分)
因为a1=1,S1=q-r,且a1=S1,所以r=1.(4分)
(2) 因为2Tn=nbn,③
当n≥2时,2Tn-1=(n-1)bn-1,④
③-④得2bn=nbn-(n-1)bn-1,即(n-2)bn=(n-1)bn-1,⑤(6分)
方法一:由(n-1)bn+1=nbn,⑥
⑤+⑥得(2n-2)bn=(n-1)bn-1+(n-1)bn+1,(7分)
即2bn=bn-1+bn+1,所以{bn}为等差数列.(8分)
方法二:由(n-2)bn=(n-1)bn-1,
得=,
当n≥3时,==…=,
所以bn=b2(n-1),所以bn-bn-1=b2.(6分)
因为n=1时,由2Tn=nbn得2T1=b1,
所以b1=0,则b2-b1=b2,(7分)
所以bn-bn-1=b2对n≥2恒成立,所以{bn}为等差数列.(8分)
(3) 因为b1=0,b2=2,由(2)知{bn}为等差数列,所以bn=2n-2.(9分)
又由(1)知an=2n-1,
所以Pn=++…++,
Pn+1=+…++++,
所以Pn+1-Pn=+-=,(12分)
令Pn+1-Pn>0得12n+2-4n·2n>0,
所以2n<=3+<4,解得n=1,
所以当n=1时,Pn+1-Pn>0,即P2>P1,(13分)
当n≥2时,因为2n≥4,3+<4,
所以2n>3+=,
即12n+2-4n·2n<0,
此时Pn+1P3>P4>…,(14分)
所以Pn的最大值为Pn=+=,(15分)
若存在正整数k,使得对任意正整数n,Pn≤k恒成立,则k≥Pmax=,
所以正整数k的最小值为4.(16分)
21. A. 解析:因为四边形ABCD是圆的内接四边形,
所以∠DAE=∠BCD,∠FAE=∠BAC=∠BDC.(4分)
因为BC=BD,所以∠BCD=∠BDC,(6分)
所以∠DAE=∠FAE,(8分)
所以AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线.(10分)
B. 解析:由题意得=,
即(3分)
解得所以M=.(5分)
令f(λ)=(λ-2)(λ-1)-6=0,(7分)
解得λ=-1或λ=4,(9分)
所以矩阵M的特征值为-1和4.(10分)
C. 解析:(1) 将M(2,)及对应的参数φ=,代入(a>b>0,φ为参数),
得所以
所以曲线C1的普通方程为+=1.(5分)
(2) 曲线C1的极坐标方程为+=1,将A(ρ1,θ),B代入得+=1,+=1,
所以+=.(10分)
D. 解析:因为对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,所以fmin(x)>a2-3.(2分)
因为|x-a|+|x+a|≥|x-a-(x+a)|=|2a|,
所以|2a|>a2-3, ①(4分)
方法一:即|a|2-2|a|-3<0,
解得-1<|a|<3,(8分)
所以-3a2-3, ②
或2a<-a2+3, ③(6分)
由②得-1