【推荐】专题3-2+立体几何中的向量方法-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x 28页

‎3.2 立体几何中的向量方法 ‎1．点的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量__________来表示．我们把向量称为点P的位置向量．‎ ‎2．直线的方向向量 直线的方向向量就是指和这条直线__________的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．‎ ‎3．平面的法向量 若直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的__________．‎ ‎4．空间直线、平面间的平行、垂直与夹角 设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则有如下结论：‎ 平行 问题 线线平行 线面平行 面面平行 垂直 问题 线线垂直 线面垂直 面面垂直 夹角 问题 线线夹角 设，的夹角为,则 线面夹角 设，的夹角为,则 面面夹角 设，的夹角为,则 注：（1）这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即；（2）二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为，‎ 其余弦值取还是应结合具体情况而定．‎ ‎5．点面距 已知为平面的一条斜线段(在平面内)，为平面的法向量，则到平面的距离为__________．‎ 注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．‎ K知识参考答案：‎ ‎1． 2．平行(或共线) 3．法向量 4． 5．‎ K—重点 直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系及夹角的计算 K—难点 向量方法在立体几何问题中的应用，其中适当建立坐标系是关键 K—易错 混淆二面角与面面角的区别导致错误 线面位置关系的判断 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：‎ ‎（1）直线，的方向向量分别是，；‎ ‎（2）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；‎ ‎（3）直线的方向向量、平面的法向量分别是，；‎ ‎（4）平面，的法向量分别是，．‎ ‎【答案】（1）；（2）与相交，且不与垂直；（3）或在内；（4）．‎ 所以与既不共线也不垂直，即与相交，且不与垂直．‎ ‎（3）因为，，所以，所以，即或在内．‎ ‎（4）因为，，所以，所以，即．‎ ‎【名师点睛】（1）两直线的方向向量共线（垂直）时，两直线平行（垂直）；否则两直线相交或异面但不垂直．（2）直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线与平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平面内；否则直线与平面相交但不垂直．（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行（垂直）；否则两平面相交但不垂直．‎ 利用空间向量证明立体几何中的一些定理 证明：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．‎ ‎【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】已知：如图1，直线平面，直线平面，，为垂足．求证：．‎ 证明：以为原点，以射线方向为z轴正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系．‎ 设，，分别为x 轴、y轴、z轴上的单位向量，且．‎ 因为，所以，，‎ 所以，，‎ 所以，所以．‎ 因为，为不同的两点，所以．‎ 图1 图2‎ ‎【名师点睛】运用向量法可以证明关于线面位置关系的判定定理，通过向量法的证明可以加强对所学知识的前后联系，在回顾的基础上，提高对空间线面的位置关系的认识水平．‎ 证明线线、线面、面面平行 求平面法向量的步骤：‎ 设平面的法向量为．‎ ‎①找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；‎ ‎②根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组，即；‎ ‎③解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量（通常把x，y，z中的一个赋值为1或－1）．‎ 如图1，在正方体中，，，，，分别为，，，，的中点，求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎（1）易得，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，，所以平面的一个法向量为．‎ 又，所以，所以，‎ 显然不在平面内，所以平面．‎ ‎（2）易得，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，，所以平面的一个法向量为．‎ 由（1）知平面的一个法向量为．显然，故，‎ 又点，，不在平面内，所以平面平面．‎ ‎【名师点睛】（1）证明线线平行，即证明两条直线的方向向量平行．‎ ‎（2）用空间向量法证明线面平行有三种方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．‎ ‎（3）利用空间向量法证明面面平行有两种方法：①将面面平行转化为相应的线面平行、线线平行来证明；②求出两平面的法向量，通过证明两平面的法向量平行来证明．‎ 证明线线、线面、面面垂直 如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中点．求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ 图1 图2‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】如图2，以A为原点， AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，，，，，．‎ ‎（1）易得，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，可得平面的一个法向量为．‎ 又，所以，所以，所以直线平面．‎ ‎（2）方法1：如图2，连接交于点，连接，则点的坐标为．‎ 易得，，显然，故，所以．‎ 又⊥底面，所以⊥底面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ 方法2：易得，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，，所以平面的一个法向量为．‎ 由⊥底面，可得是平面的一个法向量，‎ 因为，所以，所以平面平面．‎ ‎【名师点睛】（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证． ‎ ‎（2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行．‎ ‎（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直．‎ 空间角的求解 在正方体中，，，分别为棱，的中点，求：‎ ‎（1）直线与所成的角；‎ ‎（2）直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．‎ ‎（1）因为，，所以，‎ 所以直线与所成角的大小为．‎ ‎（2）易得，为平面的一个法向量．‎ 设直线与平面所成的角为，则，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎（3）易得，，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，所以平面的一个法向量为．‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，，所以平面的一个法向量为．‎ 所以，‎ 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】（1）求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．‎ ‎（2）求线面角的步骤：①确定直线的方向向量和平面的法向量；②求两个向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定线面角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时线面角与这个夹角互余；当向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去．‎ ‎（3）求二面角的步骤：①确定两平面的法向量；②求两个法向量夹角的余弦值；③确定向量夹角的范围；④确定二面角与向量夹角的关系：二面角的范围要通过观察图形来确定，法向量一般不能体现出来．‎ 空间距离的求解 如图1，已知正方形的边长为4，，分别是，的中点，平面，且，求点到平面的距离．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】点到平面的距离为．‎ ‎【解析】如图2，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，‎ 则，，，，，，‎ 所以，，，，．‎ 方法1： 设平面，为垂足，则，，，四点共面，‎ 由共面向量定理知，存在实数，使得，‎ 所以．‎ 由平面，可得，，即，，‎ 所以，即 ①，‎ 将与①式联立，解得，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故点到平面的距离为．‎ 方法2：设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得，，所以平面的一个法向量为．‎ 又，所以向量在向量上的投影为，‎ 所以点到平面的距离为．‎ ‎【名师点睛】求点到平面的距离的步骤可简化为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．‎ ‎ 混淆二面角与面面角的区别导致错误 如图1，已知四边形为矩形，平面，且，，求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【错解】建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，‎ 所以，，，．‎ 设平面、平面的法向量分别为，，‎ 则由和，可得和，‎ 即和，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 所以，故二面角的余弦值为．‎ ‎【错因分析】二面角的取值范围是，面面角的取值范围是，错解中将两者混淆，忽略了二面角既可能是锐角也可能是钝角，解题时应仔细观察图形，避免出错．‎ ‎【正解】建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，‎ 所以， ，，．‎ 设平面、平面的法向量分别为，，‎ 则由和，可得和，‎ 即和，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 令，可得平面的一个法向量为，‎ 所以，观察图形易知二面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】（1）如图3，若AC，BD分别是二面角的两个面内与棱垂直的直线，且AC，BD为异面直线，则二面角的平面角就是向量与的夹角．‎ ‎（2）如图4、图5、图6、图7，，分别是二面角的两个面的法向量，则向量与的夹角或其补角就是二面角的平面角．当从图形上不能判断二面角是锐角还是钝角时，要利用法向量的方向来判断法向量的夹角和二面角之间的关系是相等还是互补．图5、图7中两平面的法向量“同向”，此时法向量的夹角就是二面角的平面角的补角；图4、图6中两平面的法向量“反向”，此时法向量的夹角就是二面角的平面角．‎ ‎ ‎ 图3 图4 图5 图6 图7‎ ‎1．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则 A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直　　　 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 ‎2．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是 A．－3或1 B．3或－1‎ C．－3 D．1‎ ‎3．已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系为 A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角 ‎4．在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，为坐标原点，则等于 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_________________．‎ ‎7．已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，M为PA的中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是_________________．‎ ‎8．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上异于A、B的点．‎ ‎（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角的余弦值．‎ ‎9．如图，直三棱柱中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．‎ ‎（1）求证：A1B∥平面ADC1；‎ ‎（2）若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．‎ ‎10．在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离为 A． B．‎ C． D．‎ ‎11．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面所成角的余弦值 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．如图所示，正方体的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A‎1M＝AN＝a，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是_________________．‎ ‎13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．‎ ‎（1）证明：平面AED⊥平面A1FD1；‎ ‎（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．‎ ‎14．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面．设．‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎15．（2017新课标全国I理）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．‎ ‎16．（2017新课标全国II理）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎17．（2017新课标全国III理）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，‎ a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0．‎ b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，‎ ‎∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c．∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3．故选A．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由，，可得，所以，‎ 又，分别是平面，的法向量，所以，故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】因为点是在坐标平面内的射影，所以，‎ 所以．故选B．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】建立坐标系如图所示，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，‎ 则＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，cos〈，〉＝＝．‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．故选B．‎ ‎6．【答案】‎ cos〈，〉＝＝＝．‎ ‎7．【答案】45°‎ ‎【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量为＝(1，0，0)，D，P，M，则＝，所以cos〈，〉＝＝，所以DM与平面PAC所成的角为45°．‎ ‎8．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．‎ 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．‎ 又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．‎ ‎（2）过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC．‎ 如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．‎ 在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝．‎ 又PA＝1，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，P(0，1，1)，‎ 故＝(，0，0)，＝(0，1，1)，‎ 设平面BCP的法向量为＝(x1，y1，z1)，则，所以，‎ 令y1＝1，则＝(0，1，－1)．＝(0，0，1)，＝(，－1，0)，‎ 设平面ABP的法向量为＝(x2，y2，z2)，则，所以，‎ 令x2＝1，则＝(1，，0)．于是cos〈，〉＝＝．‎ 由题意可知二面角的余弦值为．‎ ‎9．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎（2）因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC．‎ 如图，以D为原点，建立如图所示空间坐标系．‎ 由已知AB＝BB1＝2，得D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，2)，C1(0，-1，2)，‎ 则＝(，0，0)，＝(0，-1，2)，‎ 设平面AC1D的法向量为＝(x，y，z)，‎ 则，即，取z＝1，则x＝0，y＝2，∴＝(0，2，1)，‎ 又＝(，0，2)，∴cos〈，〉＝＝，‎ 设A1D与平面ADC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，‎ 故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为．‎ ‎10．【答案】B 距离，故选B．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，，，则，，则，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得．∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，，∴与平面ABD所成的角的余弦值为，故选B．‎ ‎12．【答案】平行 ‎∵是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．‎ ‎13．【答案】（1）证明见解析；（2）当AM＝AE时， A1M⊥平面DAE．‎ ‎【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，‎ 则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，‎ ‎∴，，．‎ 设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即 令y1＝1，得n1＝(0，1，－2)．同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0，2，1)．‎ ‎∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1．‎ ‎14．【答案】（1）；（2）存在点使面此时．‎ ‎【解析】（1）设与交于，设，如图所示建立空间直角坐标系，‎ 则 则 平面，，‎ 即．‎ ‎，设平面的法向量为，‎ 则即令，则，．‎ 又平面的一个法向量为，，‎ ‎∴二面角大小为．‎ ‎15．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【思路分析】（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD．而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD．进而证明出平面PAB⊥平面PAD．（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设 是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角．‎ ‎【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面．‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（1）及已知可得，，，．‎ 所以，，，．‎ 设是平面的法向量，则即 可取．‎ 设是平面的法向量，则即 可取．‎ 则，所以二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角．建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键．‎ ‎16．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【思路分析】（1） 取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．‎ ‎（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 设，则，‎ 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，‎ 所以，，即． ①‎ 又M在棱PC上，设，则 ． ②‎ 由①②解得(舍去)，．‎ 所以，从而．‎ 设是平面ABM的法向量，则即 所以可取．于是 ，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ ‎|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎17．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【思路分析】（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为．‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．则．‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC 可取．‎ 设是平面AEC的法向量，则同理可取．‎ 则，所以二面角D-AE-C的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎