高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第11课)直线与平面垂直(4) 4页

课 题：9．4直线和平面垂直 (四) ‎ 教学目的：‎ ‎1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明 ‎2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1直线和平面的位置关系 ‎（1）直线在平面内（无数个公共点）；‎ ‎（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；‎ ‎（3）直线和平面平行（没有公共点）‎ ‎2线面平行的判定 定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：‎ ‎3线面平行的性质 定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：‎ ‎4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α ‎5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ‎6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 ‎7 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；‎ ‎（2）推理模式： ‎ ‎8．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ．‎ 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：‎ 例1 如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？‎ 解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，‎ 再在道路边取一点，使水平角，‎ 测得的距离等于，‎ ‎∵是在平面上的射影，且 ‎∴（三垂线定理）‎ 因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在中得，‎ 答：电塔顶与道路距离是．‎ 例2．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．‎ 证明：连结，‎ ‎∵，且 ‎∴（三垂线定理逆定理）‎ 同理，‎ ‎∴为的垂心，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴（三垂线定理）‎ 例3．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．‎ 证明：假设是的垂心，连结，则，‎ ‎∵‎ ‎∴是在平面内的射影，‎ ‎∴（三垂线定理）‎ 又∵，是在平面内的射影 ‎∴ （三垂线定理的逆定理）‎ ‎∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾 ‎∴假设不成立，‎ 所以，不可能是的垂心 例4．已知：如图，在正方体中，是的中点，‎ 是的交点，求证：．‎ 证明：，是在面上的射影 又∵，∴‎ 取中点，连结，‎ ‎∵，‎ ‎∴为在面上的射影，‎ 又∵正方形中，分别为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴（三垂线定理）又∵，‎ ‎∴．‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．‎ 参考答案：‎ 设BC的中点为D，连结PD．‎ ‎∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．‎ 且AD＝12．‎ 又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．‎ 即 PD的长度就是P到直线BC的距离．‎ 而 PD＝13．‎ ‎2．如图，是平面α的斜线，斜足是O，A是上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．‎ 参考答案：连结BC．‎ 中，有∠AOC＝60°．‎ 五、小结 ：我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．‎ 六、课后作业： ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎