【数学】2019届一轮复习人教A版理第2章第5节　指数与指数函数教案 9页

第五节　指数与指数函数 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎(对应学生用书第19页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．根式的性质 ‎(1)()n＝a.‎ ‎(2)当n为奇数时，＝a.‎ ‎(3)当n为偶数时，＝|a|＝ ‎(4)负数的偶次方根无意义．‎ ‎(5)零的任何次方根都等于零．‎ ‎2．有理指数幂 ‎(1)分数指数幂 ‎①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；‎ ‎③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质 ‎①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．‎ ‎3．指数函数的图象与性质 图象 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 定义域 R 值域 ‎(0，＋∞)‎ 性质 过定点(0,1)‎ 当x＞0时，y＞1；‎ 当x＜0时，0＜y＜1‎ 当x＞0时，0＜y＜1；‎ 当x＜0时，y＞1‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 ‎[知识拓展]　指数函数的图象与底数大小的比较 判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．‎ 如图251是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.‎ 图251‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)＝()n＝a.(　　)‎ ‎(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)‎ ‎(3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)‎ ‎(4)函数y＝a(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．(教材改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)‎ A．－9　　　B．7　　　C．－10　　　D．9‎ B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]‎ ‎3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ A　　 　　　　B　　　　 　C　 　　　　D C　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C．‎ 法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，都不合适；‎ 当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D．]‎ ‎4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．‎ ‎(2，－2)　[令x－2＝0，则x＝2，此时f(x)＝1－3＝－2，‎ 故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．]‎ ‎5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎(1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]‎ ‎(对应学生用书第20页)‎ 指数幂的运算 ‎　化简下列各式：‎ ‎[易错警示]　(1)指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：‎ ‎①必须同底数幂相乘，指数才能相加；‎ ‎②运算的先后顺序.‎ (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.‎ (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.‎ ‎[跟踪训练]　化简下列各式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 指数函数的图象及应用 ‎　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图252所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)‎ 图252‎ A．a＞1，b＜0‎ B．a＞1，b＞0‎ C．0＜a＜1，b＞0‎ D．0＜a＜1，b＜0‎ ‎(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．‎ ‎(1)D　[由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.]‎ ‎(2)[解]　‎ 曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，‎ 则b的取值范围是(0,1)．‎ 若将本例(2)中的条件改为“函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减”，则k的取值范围是什么？‎ ‎[解]　因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，‎ 即k的取值范围为(－∞，0]．‎ ‎[规律方法]　指数函数图象的画法(判断)及应用方法 (1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.‎ (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.‎ (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·郑州模拟)定义运算ab＝则函数f(x)＝12x的图象是(　　)‎ ‎(2)方程2x＝2－x的解的个数是________. ‎ ‎【导学号：97190043】‎ ‎(1)A　(2)1　[(1)因为当x≤0时，2x≤1；‎ 当x＞0时，2x＞1.‎ 则f(x)＝12x＝故选A．‎ ‎(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．‎ 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]‎ 指数函数的性质及应用 ‎◎角度1　比较指数式的大小 ‎　下列各式比较大小正确的是(　　)‎ A．1.72.5＞1.73　　 B．0.6－1＞0.62‎ C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1‎ B　[A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.‎ B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，‎ 所以0.6－1＞0.62.‎ C中，因为0.8－1＝1.25，‎ 所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．‎ 因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，‎ 所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.‎ D中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.]‎ ‎◎角度2　解简单的指数方程或不等式 ‎　设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－3)　　 B．(1，＋∞)‎ C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)‎ C　[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即＜8，即＜，因为0＜＜1，所以a＞－3，所以－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C．]‎ ‎◎角度3　探究指数型函数的性质 ‎　函数y＝的单调减区间为________. ‎ ‎【导学号：97190044】‎ ‎(－∞，1]　[设u＝－x2＋2x＋1，‎ ‎∵y＝为减函数，‎ ‎∴函数y＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．‎ 又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，‎ ‎∴所求减区间为(－∞，1]．]‎ ‎[规律方法]　与指数函数性质有关的问题类型与解题策略 (1)比较指数式的大小：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.‎ (2)解简单的指数方程或不等式：可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解.‎ (3)探究指数型函数的性质：与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎(2)不等式2x2－x＜4的解集为______．‎ ‎(3)函数y＝－＋1在区间[－3,2]上的值域是________．‎ ‎(1)B　(2){x|－1＜x＜2}　(3) ‎[(1)∵函数f(x)的定义域为R，‎ f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)是奇函数．‎ ‎∵函数y＝在R上是减函数，‎ ‎∴函数y＝－在R上是增函数．‎ 又∵y＝3在R上是增函数，‎ ‎∴函数f(x)＝3－在R上是增函数．‎ 故选B．‎ ‎(2)∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，‎ ‎∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，‎ ‎∴－1＜x＜2.‎ ‎(3)∵x∈[－3,2]，‎ ‎∴令t＝，则t∈，‎ 故y＝t－t＋1＝＋.‎ 当t＝时，ymin＝；‎ 当t＝8时，ymax＝57.‎ 故所求函数的值域为.]‎