【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-1任意角、弧度制及任意角的三角函数教案 8页

第章　三角函数、解三角形 第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ ‎(对应学生用书第39页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．角的概念的推广 ‎ (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎ (2)分类 ‎ (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制的定义和公式 ‎ (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.‎ ‎ (2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；‎ ‎②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3. 任意角的三角函数 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 ‎[知识拓展]‎ ‎1．三角函数值的符号规律 ‎ 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎2．任意角的三角函数的定义(推广)‎ ‎ 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)小于90°的角是锐角．(　　)‎ ‎ (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)‎ ‎ (3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．(　　)‎ ‎ (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为(　　)‎ ‎ A．第一象限　　　　 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ D　[由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D．]‎ ‎3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M，则sin α＝(　　) ‎ ‎【导学号：79170079】‎ ‎ A． B．± ‎ C． D．± ‎ B　[由题意知|r|2＝2＋y2＝1，所以y＝±.由三角函数定义知sin α＝y＝±.]‎ ‎4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)‎ ‎ A．10π B．9π ‎ C．π D．π ‎ D　[单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝π，由弧长公式得l＝π.]‎ ‎5．终边在射线y＝－x(x＜0)上的角的集合是________．‎ ‎ 　[终边在射线y＝－x(x＜0)上的一个角为π，从而所求角的集合为]‎ ‎(对应学生用书第40页)‎ 角的有关概念及其集合表示 ‎　(1)若角α是第二象限角，则是(　　)‎ ‎ A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 ‎ C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 ‎ (2)已知角α的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．‎ 图311‎ ‎ (1)C　(2)2kπ＋，2kπ＋π(k∈Z)　[(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，‎ ‎ ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.‎ ‎ 当k为偶数时，是第一象限角；‎ ‎ 当k为奇数时，是第三象限角．‎ ‎ 综上，是第一或第三象限角．‎ ‎ (2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，‎ ‎ ∴所求角的集合为(k∈Z)．]‎ ‎ [规律方法]　　1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．‎ ‎ 2．由α所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论．‎ ‎[变式训练1]　(1)终边在直线y＝－x上的角的集合是(　　) ‎ ‎【导学号：79170080】‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.‎ ‎ (1)D　(2)－675°或－315°　[(1)在(0，π)内终边在直线y＝－x上的角为，所以终边在直线y＝－x上的角的集合为.‎ ‎ (2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，‎ ‎ ∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]‎ 扇形的弧长、面积公式 ‎　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；‎ ‎ (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？‎ ‎ [解]　(1)设圆心角是θ，半径是r，则 ‎ 解得(舍去)或 ‎ ∴扇形的圆心角为.‎ ‎ (2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.‎ ‎ 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.‎ ‎ 当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．‎ ‎ [规律方法]　　1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．‎ ‎ 2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝lR；(3)S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．‎ ‎[变式训练2]‎ ‎　(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)‎ ‎ A．　　　　　　 B． ‎ C．3 D． ‎ (2)若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝‎12 cm，则弧长l＝________cm.‎ ‎ (1)D　(2)π　[(1)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，‎ ‎ 作OM⊥AB，垂足为M，‎ ‎ 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，‎ ‎ ∴AM＝r，AB＝r，‎ ‎ ∴l＝r，‎ ‎ 由弧长公式得α＝＝＝.‎ ‎ (2)设扇形的半径为r cm，如图．‎ ‎ 由sin 60°＝，得r＝‎4 cm，‎ ‎ ∴l＝|α|·r＝×4＝π cm.]‎ 三角函数的定义 ‎　(1)(2018·天水模拟)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则cos θ的值为________．‎ ‎ (2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________． 【导学号：79170081】‎ ‎ (1)－　(2)　[(1)由题意知r＝，‎ ‎ ∴sin θ＝＝m，‎ ‎ ∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2，‎ ‎ ∴cos θ＝＝－.‎ ‎ (2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.‎ ‎ ∴Q点的坐标为.]‎ ‎ [规律方法]　　用定义法求三角函数值的两种情况．‎ ‎ (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；‎ ‎ (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2018·合肥模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x＝________.‎ ‎ (2)已知角α的终边上一点P，若α∈(－π，0)，则α＝________.‎ ‎ (1)　(2)－　[(1)cos α＝＝－，解得x＝，或x＝－，又－x＜0，即x＞0，所以x＝.‎ ‎ (2)法一：点P的坐标为P，点P到原点O的距离r＝1，从而cos α＝，又α∈(－π，0)，所以α＝－.‎ ‎ 法二：由sin2π＋cos2π＝1得cos α＝sinπ＝cos＝cos，又α∈(－π，0)，所以α＝－.]‎