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- 2021-06-09 发布
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成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题
数 学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择),考生作答时,须将答案答答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
注意事项:
1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
2.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
1. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数为纯虚数,,且,则的值为( )
A. 3 B. 1 C.-3 D.-1
3.命题“”的否定是( )
A.“” B.“”
C.“” D.“”
4. 已知是公差不为的等差数列的前项和,且,,成等比数列,则等于( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的偶函数,满足,且在区间上是增函数,那么是函数在区间上有个零点的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件
6.中,角所对的边分别为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得,且,,,,则等于( )
A. B.
C. D.
8.已知函数(其中)的图像与直线的2个相邻公共点之间的距离等于,则的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
9.已知抛物线的焦点为,点为上一动点,,,且的最小值为,则等于( )
A. 4 B. C. 5 D.
10. 已知一个空间几何体的三视图如图所示,这个空间几何体的顶点均在同一个球面上,则此球的体积与表面积之比为( )
A.31 B.13 C.41 D.32
11.已知椭圆:,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于
两点,若的最大值为5,则的值是( )
A.1 B. C. D.
12.已知函数,若关于的方程存在2个实数根,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设满足约束条件,则的最小值为_________.
14.已知偶函数f(x),当 时, ,当 时,
则 .
15.设,则_____________.
16.已知实数满足,则的最小值为 .
三、解答题(共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
17.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的单调递增区间;
(2)记的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若的面
积,求的值。
18.已知函数
(1)求的最大值;
(2)若,且,求的值.
19.如下图所示,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证:AC⊥平面BDE; (2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
20. (本小题满分12分)
如图,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,右焦点为,点分别是该椭圆的上、下顶点,点是直线上的一个动点(与轴交点除外),直线交椭圆于另一点,记直线,的斜率分别为.
(1)当直线过点时,求的值;
(2)求的最小值,并确定此时直线的方程.
21.(本小题满分14分)
设函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:当时,.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以O为原点,以x轴正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0,直线l的参数方程为,(t为参数).
(Ⅰ)写出曲线C和直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点A,B是曲线C上的两动点,点P是直线l上一动点,求∠APB的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知,为不等式的解集.
(1)求;
(2)求证:当时,.
成都经开区实验中学2014级高三上期12月月考试题
数学(理工类)参考答案
1—5 CBCCD 6—10 DCABB 11—12 AB
13.-2 14. 15. 16.
18.解:
(Ⅰ)因为 ,最大值为2;
(Ⅱ)因为,故,由得,
则,则
19.(1)∵DE⊥平面ABCD,∴DE⊥AC,∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD,又DE∩BD=D,∴AC⊥平面BDE.-------------------------4分
(2)∵DE⊥平面ABCD,∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,即∠EBD=60°.
∴=.由AD=3,得DE=3,AF=.
如图所示,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),
∴=(0,-3,),=(3,0,-2).
设平面BEF的法向量为=(x,y,z),则
即.
令z=,则=(4,2,).
∵AC⊥平面BDE,
∴=(3,-3,0)为平面BDE的一个法向量,
∴cos〈,〉===.
又二面角F-BE-D为锐角,故二面角F-BE-D的余弦值为.------8分
(3)依题意,设M(t,t,0)(0≤t≤3),则=(t-3,t,0),
∴AM∥平面BEF,∴·=0,
即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
∴点M的坐标为(2,2,0),此时=,
∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点.--------12分
20.解:(1)由椭圆的长轴长是短轴长的2倍得.………………
1分
由题意,,焦点,当直线过点时,则直线的方程为,即,令得,则.………………3分
联立解得或(舍),即.………………4分
因为,,………………5分
所以.………………6分
(2)设,且,则直线的斜率为,
则直线的方程为,………………7分
联立化简得,解得,………………8分
所以,,………………10分
则,当且仅当,即时取等号.
所以的最小值为.
此时直线的方程为.………………12分
21.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ).
①时,,∴在上是增函数.-----------------1分
②当时,由,由,
∴在上单调递增,在上单调递减. ------2分
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,
又, ---------4分
∴.
∴当时,方程有两解. -----------6分
(Ⅲ)∵.∴要证:只需证
只需证:.
设, -----------8分
则.
由(Ⅰ)知在单调递减, -----------10分
∴,即是减函数,而.
∴,故原不等式成立. ------------12分
22【解答】解:(1)∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0,∴曲线C的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y+3=0,即x2+(y﹣2)2=1.
∵直线l的参数方程为,∴x﹣1+y﹣3=0,即x+y﹣4=0.
(2)曲线C的圆心C(0,2)到直线l的距离d=>1.
∴直线l与圆C相离.
过点P作圆C的切线,则当A,B为切点时,∠APB最大.
连结OP,OA,则∠OPA=∠APB,sin∠OPA==.
∴当OP取得最小值时,sin∠OPA取得最大值,即∠OPA的最大值为,
∴∠APB的最大值为2∠OPA=.
23.解:(1),
当时,由得,,舍去;
当时,由得,,即;
当时,由得,,即.
综上,.………………6分
(2)∵,∴,,
∴.………………10分