2020届二轮复习直线与平面平行课时作业（全国通用） 18页

‎ 第十讲 直线、平面平行问题 A组 一、 选择题 ‎1．（2017全国卷2理）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】补成四棱柱 ,‎ 则所求角为 ‎ 因此 ，故选C.‎ ‎2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题可知，在正方体中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.‎ ‎3．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎4．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】C ‎5．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（ ）‎ ‎（A）若，，，则 (B)若，，，则 ‎(C)若，，，则 (D)若，，则//‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中，过直线作平面分别与交于，则由线面平行的性质知，所以，又由线面平行的性质知，所以，正确；B中，由，知垂直于两个平面的交线，则所成的角等于二面角过的大小，即为，所以，正确；C中，在内取一点A，过A分别作直线垂直于的交线，直线垂直于的交线，则由线面垂直的性质知，则，，由线面垂直的判定定理知，正确；D中，满足条件的也可能在内，故D错，故选D.‎ 二、填空题 ‎6．如图，已知四边形是矩形，，，平面，且，‎ ‎ 的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ ‎【解析】取的中点，连接、‎ ‎ 、是中点，是的中位线 ‎ ∥‎ ‎ （或者其补角）为异面直线与所成角 ‎ ‎ 在中， ‎ ‎ ‎ ‎ ，， ‎ 由余弦定理可知 ‎ ‎ ‎7．是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：①；②与所成的角相等；③与在内的射影在同一条直线上；④.其中能成为增加条件的序号是 .‎ ‎【答案】①③.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，，，四点共面，①：∵，，‎ ‎∴，又∵，，∴，∵，∴面，‎ 又∵面，∴，故①正确；②：由①可知，若成立，则有面，则有成立，而与，所成角相等是无法得到的，故②错误；③：由与在内的射影在同一条直线上可知面，由①可知③正确；④：仿照②‎ 的分析过程可知④错误，故填：①③．‎ 三、解答题 ‎8．如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是上的点，且.‎ 求证：平面 ‎【解析】　连接并延长交于，连接，‎ 因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以，所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面 ‎9．如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面AED； ‎ ‎（Ⅱ）若，求多面体的体积V.‎ ‎【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：∵是菱形，∴，‎ 又平面，平面，∴平面. ‎ 又是正方形，∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎∵平面，平面，， ‎ ‎∴平面//平面.‎ 由于平面，知平面. ‎ ‎（Ⅱ）解：连接，记.‎ ‎∵是菱形，∴，且.‎ 由平面，平面，.‎ ‎∵平面，平面BDEF，，‎ ‎∴平面于O，‎ 即为四棱锥的高. ‎ 由是菱形，，则为等边三角形，由，则，‎ ‎，，，.‎ ‎10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，‎ ‎，为的中点，.‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接,设与相交于点,连接，‎ ‎ ∵ 四边形是平行四边形,‎ ‎∴点为的中点．‎ ‎∵为的中点，∴为△的中位线,‎ ‎∴ ．‎ ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面． ‎ ‎（Ⅱ） ∵平面,平面,‎ ‎∴ 平面平面，且平面平面．‎ 作，垂足为，则平面， ‎ ‎∵，，‎ 在Rt△中，，，‎ ‎∴四棱锥的体积 ‎11．如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合．‎ ‎（1）设面与面相交于直线，求证：；‎ ‎（2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．‎ ‎【解析】（1），面，面 面 面，平面平面 （2） 设内切球的半径，内切球的圆心与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥，‎ 由于，，‎ ‎，面，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ B组 一、 选择题 ‎1、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】选项A， 若，，则或或与相交，A错；选项B， 若，，则或，B错；选项C， 若，，则，C正确；选项D， 若，，则或与相交，D错.故选C.‎ ‎2、已知异面直线，成角，为空间中一点，则过与，都成角的平面（ ） ‎ A．有且只有一个 B．有且只有两个 C．有且只有三个 D．有且只有四个 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 分析题意可知，若平面与，都成角，则，与该平面的垂线夹角也为，故原问题等价于求直线，使得与，都都成角，如下图所示，把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，∴，将直线从旋转至与平面垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线有两条，故选B．‎ ‎3、点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，‎ 所以与所成的角就是，由题意可知：，‎ 所以.‎ ‎4、直三棱柱ABC－A的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝90，且则与所成角为（ ）‎ A.30 B.45 C.60 D.90‎ ‎【解析】过得中点F，分别作,的平行线因为..所以.故选D.‎ 二、填空题 ‎5、如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在的直线所成角的余弦值等于　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连结，，∥，就是与所在的直线所成角，设，则，，．‎ ‎∴与所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．‎ ‎6、在空间四边形中，分别是和上的点，若 ，则对角线AC与平面DEF的位置关系是 ．‎ AC∥平面DEF ‎ ‎【解析】因为，所以EF∥AC．‎ 又因为AC平面DEF，EF平面DEF，‎ 所以AC∥平面DEF．‎ 三、解答题 ‎7、如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ A C B M O A1‎ C1‎ B1‎ ‎【解析】（1）在中，因为是的中点，是的中点，‎ 所以. ‎ 又平面，平面，所以平面. ‎ ‎（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，‎ 又，即，而面，且，‎ 所以面. ‎ 而面，所以，‎ 又是正方形，所以，而面，且，‎ 所以面. ‎ 又面，所以面面. ‎ ‎8、在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（Ⅰ）求棱的长；‎ ‎（Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎[来源:]‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，由题意得：‎ ‎∴，解得，故的长度为3.‎ ‎（Ⅱ）∵在长方体中，∥‎ ‎∴为异面直线与所成的角（或其补角）‎ 在中，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 则 ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎9、如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，.面，且.为中点，在棱上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图所示，取的中点，连接，连接交于，连接．‎ 由题可知，为的中点，为的中点，∴∥；又为的中点，为的中点，‎ ‎∴∥，又面；面，‎ ‎∴平面∥平面，又∵面，∴面．‎ ‎（Ⅱ）解：∵⊥平面，所以是三棱锥的高，又 ‎∴，同理，‎ 则 ‎10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上．‎ M F E C D B A ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当为何值时，∥平面？写出结论，‎ 并加以证明．‎ ‎【解析】（1）在梯形中，，‎ 四边形是等腰梯形，‎ 且 又平面平面，交线为，‎ 平面 ‎ ‎（2）当时，平面，‎ 在梯形中，设，连接，则 ‎，而， ‎ ‎，四边形是平行四边形， ‎ 又平面，平面平面 C组 一、 选择题 ‎1、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】若m⊥α，l⊥m，则l⊂α或l∥α；若m⊥α，l∥α，则l⊥m．故选B．‎ ‎2、设线段AB，CD是夹在两平行平面α，β间的两异面线段，点．若分别为AB，CD的中点，则有（ ）‎ A． B． ‎ C． D．≤‎ ‎【解析】如图，连接AC，BD，AD，取AD的中点P，连接MN，NP，PM，则．又两线段异面，所以M，N，P不可能共线．在△MNP中，即．‎ ‎3、已知l是过正方体的顶点的平面与下底面的交线，则下列结论错误的是（ ）‎ A．∥ B．∥平面 ‎ C．∥平面 D．∥‎ ‎【解析】因为∥，由直线和平面平行的判定定理，知B正确；∥平面，又平面平面，由线面平行的性质定理知，∥，∥平面，所以C，D正确．故选A．‎ ‎4、长方体中，已知二面角的大小为，若空间有一条直线与直线所成角为，则直线与平面所成角的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，过点作，连接，则，则为二面角，所以，因为，取角的角平分线，此时即为直线，过点做，即平面，此时直线与平面所成角的最大角是 ‎，另外一种情况是，，此时直线为直线，则直线与平面平面所成最小角为，所以直线平面所成角的范围是，故选A．‎ 二、填空题 ‎5、已知正方体，下列结论中正确的是 ．（只填序号）‎ ‎①∥； ②平面∥平面；‎ ‎③∥； ④∥平面．‎ ‎①②④ 解析：连接、，因为∥且=，所以四边形是平行四边形，故∥，从而①正确；易证∥，∥，又，，所以平面∥平面，从而②正确；由图易知与异面，故③错误；由∥，平面，平面，所以∥平面，故④正确．‎ ‎6、如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：‎ 图11‎ ‎①存在点，使得//平面；‎ ‎②存在点，使得平面；‎ ‎③对于任意的点，平面平面；‎ ‎④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.‎ 其中，所有正确结论的序号是___________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时//,因为，，所以//，故①正确；假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故②不正确。因为为正方形，所以，因为，，所以，因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故③正确。‎ 设正方体边长为，则。故④正确。‎ 综上可得正确的是①③④。‎ B A D C F E 三、解答题 ‎7、如图所示，矩形中，平面， ，为上的点，且平面 (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求证：平面； (Ⅲ) 求三棱锥的体积. 【解析】 (Ⅰ)证明：∵平面，，∴平面，则 ‎ 又平面，则平面 ‎ ‎(Ⅱ)由题意可得是的中点，连接 平面，则，而，‎ 是中点,在中，，平面 B A D C F E ‎(Ⅲ) 平面，，‎ 而平面，平面 是中点，是中点，且， ‎ 平面，，中，，‎ ‎ ‎ ‎8、如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【解析】（1）证明:因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为就正三角形，为棱的中点，所以 又因为，所以平面，‎ 因为平面，所以 ‎ ‎(2)直线平面，证明如下:‎ 如图，连接交于点，连.‎ 因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.‎ 因为点分别为的中点，所以，所以.‎ 因为平面，平面，所以直线平面 ‎9、如图，四边形为菱形，平面，，.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面.‎ ‎ 【解析】(1)设与的交点为，连接，因为，所以，‎ 因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，‎ 又平行，平行，所以平面；‎ ‎（Ⅱ）连结，因为，所以，因为，所以，‎ 故四边形为平行四边形.‎ 所以.因为平面，所以平面，‎ 又平行，所以，‎ 因为四边形为菱形，所以，‎ 又平行，平行，‎ 所以平面，又，所以平行，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎10、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求二面角的大小的正弦值；‎ ‎（3）求点到面的距离. ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）如图所示，取中点，连结，，∵，‎ 分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴ 面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，‎ ‎∴即为二面角的平面角，在中，；‎ ‎（3）∵，∴.‎