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  • 2021-06-09 发布

上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

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交大附中高二上9月月考 一、填空题 ‎1.若,,且,则______.‎ ‎【答案】23‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标运算,可得,再由向量垂直的坐标关系即可求得的值.‎ ‎【详解】根据向量坐标运算,可得 由向量,可得.‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了向量加法运算,根据向量垂直的坐标关系求参数,属于基础题.‎ ‎2.已知集合,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解分式不等式和二次不等式,得集合A与集合B,即可求得.‎ ‎【详解】因为集合,解得 集合,解得 则.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式与二次不等式的解法,并集的运算,属于基础题.‎ ‎3.函数的单调递增区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间.‎ ‎【详解】由对数函数真数大于0,可得 ‎,解得 函数是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是 结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为 ‎【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.‎ ‎4.已知函数,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反函数定义,先求得的反函数,再代入求解即可.‎ ‎【详解】因为 即 令,则 化简可得,(),即 所以 ‎【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.‎ ‎5.若实数满足,其中是边延长线(不含)上一点,则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,画出示意图,根据平面向量基本定理及向量共线条件,化简即可得的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知,示意图如下图所示:‎ 根据向量线性运算可得 即 所以 因为是边延长线(不含)上一点 所以与反向 即.所以 ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量共线的条件应用,属于中档题.‎ ‎6.若对任意,不等式恒成立,则m的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 问题转化为m>对任意x∈R恒成立,只需由三角函数求出求y=‎ 的最大值即可.‎ ‎【详解】不等式,即.‎ 由于的最大值为,,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的最值,涉及恒成立问题和三角函数公式的应用,属基础题.‎ ‎7.若是函数的两个不同的零点,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则的值等于________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.‎ 详解】由题意可得:a+b=p,ab=q,‎ ‎∵p>0,q>0,‎ 可得a>0,b>0,‎ 又a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,‎ 也可适当排序后成等比数列,‎ 可得①或②.‎ 解①得:;解②得:.‎ ‎∴p=a+b=5,q=1×4=4,‎ 则p+q=9.‎ 故答案为9.‎ 点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题.‎ ‎【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a,b均为正值,当他们与-2‎ 成等差数列时,共有6种可能,当-2为等差中项时,因为,所以不可取,则-2只能作为首项或者末项,这两种数列的公差互为相反数;又a,b与-2可排序成等比数列,由等比中项公式可知-2必为等比中项,两数列搞清楚以后,便可列方程组求解p,q.‎ ‎8.已知梯形,,设,向量的起点和终点分别是、、、中的两个点,若对平面中任意的非零向量,都可以唯一表示为、的线性组合,那么的个数为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量基本定理可知, 与不平行.从、、、中任意选取两个点作为向量,可得总向量个数,排除共线向量的个数后即可得的个数.‎ ‎【详解】由题意可知, 与不平行 则从、、、中任意选取两个点作为向量,共有个向量 在这些向量中,与共线的向量有,,,‎ 所以的个数为 个 ‎【点睛】本题考查了平面向量共线的简单应用,注意向量的方向性,属于基础题.‎ ‎9.已知数列(),若,,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知推导出=(,=1+(),从而-=-‎ ‎,由此能求出 ‎【详解】∵数列满足:,, ‎ ‎∴()+()+……+()=++……+==(,‎ ‎∴=(;‎ 又+……+()=1+++……+=1+=1+(),‎ 即=1+()‎ ‎∴-=-‎ ‎∴--,‎ 故答案为:-‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,数列的极限的求法,考查逻辑思维能力及计算能力,属于中档题.‎ ‎10.已知函数,若函数无最大值,则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出分段函数的图像,根据函数图像讨论的不同取值,分析是否存在最大值即可.‎ ‎【详解】根据,画出函数图像如下图所示:‎ 由图像可知,当,取得二次函数顶点,此时存在最大值为1,‎ 当时,最大值在一次函数左端点,但左端点没有取得等号,所以时没有最大值 综上, 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.‎ ‎11.设,若关于的方程在区间上有三个解,且它们的和为,则________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由关于的方程在区间上有三个解,且函数的最小正周期为可得,最大和最小的解分别为和,根据它们的和为,可求出中间的解,列出等式,根据的范围即可求出结果.‎ ‎【详解】因为关于的方程在区间上有三个解,且函数的最小正周期为,再由三角函数的对称性可知:方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和;‎ 又它们的和为,所以中间的解为,‎ 所以有,即,故,‎ 又,所以或.‎ 故答案为或 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质,熟记正弦型函数的性质即可,属于常考题型.‎ ‎12.设点在以为圆心,半径为1的圆弧上运动(包含、两个端点),,且,则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共线向量基本定理,设,结合条件可求得的等量关系,根据M的位置可求得的范围,同时根据基本不等式,求得的取值范围, 即可得的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 设与相交于,且 由,,三点共线可得 即,所以 又因为 所以 ‎ 即 当时,,此时 当与(或)点重合时,此时,此时 所以 由基本不等式,可得 当或时, ‎ 当x=1且y=1时,x+y=2,xy=1,则 即 ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用,注意向量线性运算的转化,属于中档题。‎ 二、选择题 ‎13.已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到:先将的图象向右平移个单位长度,再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,则函数的图象的一条对称轴方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】函数的图象是由函数的图象经过经过如下变换得到:先将的图象向右平移个单位长度,得的图象,再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变得到函数,令,可得的图象的对称轴方程为,则函数的图象的一条对称轴方程为,故选A.‎ 考点:三角函数图象变换.‎ ‎14.在等差数列中,设,则是的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分非必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举出特殊数列的例子,即可排除选项。‎ ‎【详解】若等差数列为 ‎ 则当时,成立,但不成立,所以非充分条件 当时,成立,但不成立,所以非必要条件 综上可知,是的既非充分非必要条件 所以选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的定义,充分必要条件的判定,注意特殊值法在选择题中的应用,属于基础题。‎ ‎15.如图,在中,为边上的高,,,,,则的值为( )‎ A. B. C. -2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直及向量数量关系,可得,利用余弦定理及面积公式,可求得的值,进而求得的值。‎ ‎【详解】因为为边上的高 所以 因为 所以 则由向量的加法运算可得 在中,,,‎ 由余弦定理可得 ‎ 所以 由三角形面积公式可得可知 ‎,且 解得 所以 所以选A ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及应用,余弦定理在解三角形中的应用,综合性较强,属于中档题。‎ ‎16.凸四边形就是没有角度数大于的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形中,,,,,当变化时,对角线的最大值为( )‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,,利用余弦定理与正弦定理,表示出与 ‎,在中,由余弦定理求得的表达式,根据三角函数值的有界性即可求得最大值。‎ ‎【详解】设,‎ 在中,由余弦定理可得 所以,即 在中,由正弦定理可得 ,则,‎ 在中,由余弦定理可得 而由条件可知,,‎ 所以 即 结合,代入化简可得 所以当时,取得最大值为 此时取得最大值为 所以选C ‎【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,涉及的计算、化简较为复杂,要求熟练掌握三角函数式的变形,属于中档题。‎ 三、解答题 ‎17.在一个平面内,一质点受三个力、、的作用保持平衡(即、、的和为零向量),其中与的夹角为,与的夹角为.‎ ‎(1)若,,,求力、的大小;‎ ‎(2)若,求与.(用反三角函数表示)‎ ‎【答案】(1),;(2),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据受力平衡可知三个力的和为零向量,根据及力的夹角,即可求得、的大小。‎ ‎(2)根据边长的比值,可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数,即可表示出与的值。‎ ‎【详解】(1)因为质点在、、的作用保持平衡 所以,所以 ‎,, 所以 由平面向量数量积可得 将代入可得 反向延长,可得如下图所示:‎ 则 ‎ 所以 ‎(2)因为,且处于平衡状态 所以、、为边长的三角形为直角三角形 其关系可用下图表示:‎ 则,所以 所以 所以 ‎【点睛】本题考查了平面向量与物理中力的关系,向量模的运算及三角函数定义,注意反三角函数的应用,属于中档题。‎ ‎18.已知函数在区间上的最大值为10.‎ 求a的值及的解析式;‎ 设,若不等式在上有解,求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先对函数求导,判断出函数的最大值,进而可求出a的值及的解析式;‎ 根据(1)的结果得到,再由不等式在上有解,得到在上有解,令,即可得到在上有解,结合配方法可求出结果.‎ ‎【详解】,,令,解得:,‎ 令,解得:,故在递减,在递增,,‎ 故,解得:,‎ 故;‎ 由,‎ 若不等式在上有解,‎ 则在上有解,‎ 即在上有解,‎ 令,,‎ 则在上有解,‎ 当时,,‎ 于是,‎ 故实数t的范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用,通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等,属于常考题型.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递减区间;‎ ‎(2)在中,若,且,,求外接圆半径的长.‎ ‎【答案】(1);(2)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据二倍角公式及辅助角公式,化简后结合正弦函数单调递减区间,即可求得函数的单调递减区间。‎ ‎(2)根据中,,且,可得的值,根据三角形内角和可求得,由正弦定理即可求得三角形外接圆半径。‎ ‎【详解】(1)根据二倍角公式及辅助角公式,化简 由正弦函数单调递减区间可得:‎ 解得 所以函数单调递减区间为 ‎(2)在中,因为 则 因为 所以,即 所以 ‎ 因为 由正弦定理可得 ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦函数的图像与性质,正弦定理求外接圆半径,属于基础题。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)设,问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形,如果是,求出的值,如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”)‎ ‎(3)设,函数,若函数与的图像有且只有一个公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,是偶函数;当时,是奇函数;当 时,既不是奇函数也不是偶函数;理由见解析;(2)是轴对称图形,;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)函数,表示出,根据奇函数与偶函数的定义,即可求得的值。‎ ‎(2)根据函数关于直线成轴对称图形,可得恒成立,代入函数解析式即可求得的值,即可得对称轴方程。‎ ‎(3)根据函数与的图像有且只有一个公共点,即只有一个实数根。将方程化简,根据换元法转化为一元二次方程问题,再分类讨论方程的二次项系数及根的分布问题,即可求得实数的取值范围。‎ ‎【详解】(1)函数 所以 若函数为偶函数,则,即 ‎ 化简可得 ,对任意实数成立,所以 ‎ 若函数为奇函数,则,即 ‎ 化简可得 ,对任意实数成立,所以 ‎ 综上所述,当时为偶函数;当时,为奇函数;当时,既不是奇函数,也不是偶函数 ‎(2)函数的图像关于直线成轴对称图形 则为函数向左平移个单位得到的图像,因而关于y轴对称,即为偶函数 所以恒成立 函数 所以 ‎ 化简可得 因为对于任意实数成立 所以,解得 ‎ 所以函数是轴对称图形,对称轴为直线 ‎(3)因为 则 函数,且函数与的图像有且只有一个公共点,‎ 所以 化简可得 因为只有一个公共点,所以方程只有一个实数根 令 则方程化为由且只有一个正根 ‎①当时,,不合题意,舍去 ‎②当时,‎ 若,则 ‎ 解得 ‎ 当时,代入方程可得,解得,符合题意 当时,代入方程可得,解得,不合题意 若,则 ‎ 解得 ‎ 由题意可知,方程有一个正根与一个负根,即 解得 ‎ 综上所述,实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义及简单应用,指数函数的性质及应用,一元二次方程根的分布问题,综合性强,属于中档题。‎ ‎21.已知以为首项的数列满足:.‎ ‎(1)当时,且,写出、;‎ ‎(2)若数列是公差为-1的等差数列,求的取值范围;‎ ‎(3)记为的前项和,当时,‎ ‎①给定常数,求的最小值;‎ ‎②对于数列,,…,,当取到最小值时,是否唯一存在满足的数列?说明理由.‎ ‎【答案】(1) ,;(2) ;(3)①为奇数时最小值为,当为偶数时最小值为 ; ②不唯一,理由见解析。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据首项,及递推公式,依次代入和即可求得、的值。‎ ‎(2)根据等差数列通项公式,表示出,根据绝对值的非负性可得,再根据即可求得的取值范围。‎ ‎(3)将代入,求得……值,即可表示出的最小值;举出特例,说明使得成立的数列不唯一即可。‎ ‎【详解】(1)因,且,‎ 所以当 时,即 所以当 时,即 ‎(2)因为数列是公差为-1的等差数列 所以,即①,‎ 而,则,即 当时,‎ 因为 所以或与①矛盾,(舍)‎ 所以 所以 ‎(3)当时 所以,或,或…..‎ ‎①当为奇数时的最小值为,‎ 当为偶数时的最小值为 ‎②不唯一 因为满足 如数列 和 ,两个数列都满足 因而不存在唯一的数列满足式子 ‎【点睛】本题考查了数列的性质及综合应用,注意对定义的理解,分类讨论及绝对值的意义理解,属于难题。‎ ‎ ‎

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