2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学高二上学期期末考试（英才班）数学（理）试题（Word版） 8页

四川省遂宁市射洪中学2018-2019高二上学期期末考试（英才班）数学（理）试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共36分）和第Ⅱ卷（非选择题，共64分）两部分。考试时间为60分钟。满分为100分。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共36分）‎ 注意事项：‎ ‎1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。‎ ‎3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1.在“射洪歌唱达人”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是 A． ＜，乙比甲成绩稳定 B． ＜，甲比乙成绩稳定 C． ＞，甲比乙成绩稳定 D． ＞，乙比甲成绩稳定 ‎2.在平面上，过点P作直线的垂线所得的垂足称为点P在上的投影，由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为AB，则=‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎3．在内任取一点P，则的面积之比大于的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎4.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎6．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是 ‎ 图 ① 图 ②‎ A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值 B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值 C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值 D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值 第Ⅱ卷（非选择题 共64分）‎ 注意事项：‎ ‎1、请用0.5毫米黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2、试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷题卡上作答的内容或问题。‎ 二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）。‎ ‎7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 ▲ ．‎ ‎8.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线相交于P点（点P与点A，B不重合），则的周长的最大值为于 ▲ .‎ ‎9. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为____________‎ 三、解答题（本大题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎10.（本小题满分13分）2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；‎ 区间 ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50]‎ 人数 ‎50‎ ‎50‎ a ‎150‎ b ‎（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；‎ ‎（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．‎ ‎▲‎ ‎11.（本小题满分14分）已知的三个顶点，，，其外接圆圆心为．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；‎ ‎（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.‎ ‎▲‎ ‎12.（本小题满分16分）在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）中，以为邻边作平行四边形，记线段的中点分别为，连接，得到如图乙所示的几何体．又．‎ ‎（1）若，图甲给出了计算异面直线之间距离的一种算法框图（其中两异面直线的公垂线是指：与两异面直线都垂直且相交的直线），请利用这种方法求异面直线和间的距离；‎ 开始 计算异面直线AE，BP的公 垂线的一个方向向量 计算 计算在向量方向上 的投影 计算异面直线AE，BP间的距离 结束 输出 图甲 ‎（2）若，在线段上有一动点，过点作垂直于平面的直线，与直三棱柱的其他侧面相交于点，设，，求函数的解析式，并据此求出线段的长度的最大值．‎ 图乙 ‎▲‎ 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 答案 A C D D A B 二、填空题 ‎7. 8. 9. ‎ 三、解答题 ‎10.解：（1）由题设可知，，. (3分)‎ ‎（2）根据频率分布直方图可得，平均年龄为 估计中位数：. (8分)‎ ‎（3）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，‎ 利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为 第2组的人数为 第3组的人数为 设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为，‎ 则从六位同学中抽两位同学有：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能。‎ 其中2人年龄都不在第3组的有：，共1种可能，‎ 所以至少有1人年龄在第3组的概率为. (13分)‎ ‎11.解：（1）由题意，，的垂直平分线是，‎ ‎，BC中点是，‎ 的垂直平分线是，‎ 由，得到圆心是，，‎ 圆H的方程为. (4分)‎ ‎（2）弦长为2，圆心到的距离.‎ 设，则，，的方程；‎ 当直线的斜率不存在时，，也满足题意。‎ 综上，直线的方程是或；(9分)‎ ‎（3）直线BH的方程为，‎ 设.‎ 因为点是点的中点，所以，‎ 又都在半径为的圆上，所以，‎ 即 因为该关于的方程组有解，‎ 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相交，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以对任意成立。‎ 而，在上的值域为，‎ 又线段与圆无公共点，所以对任意成立，即.‎ 故圆的半径的取值范围为. (14分)‎ ‎12.解：（1）由题意知四边形ABCD为正方形，‎ 三线两两垂直，‎ 分别以、、为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则由题意知，，，，‎ 设异面直线与的一个法向量为，‎ 则，‎ ‎，，‎ 又，‎ 异面直线和之间的距离：‎ ‎ (7分)‎ ‎（2）①当时，‎ 把向平面内正投影得到，如图2，‎ 则，‎ 在等腰直角三角形中，，‎ ‎，‎ 当时，.‎ ‎②当时，‎ 把向平面内正投影得到，如图3，‎ 则，‎ ‎，‎ 在等股直角三角形中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，.‎ 综上所述，，‎ 当时，. (16分)‎