【数学】2019届一轮复习人教B版第51讲古典概型学案 11页

第51讲　古典概型 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，11‎ ‎2017·山东卷，16‎ ‎2017·天津卷，3‎ ‎　古典概型主要考查实际背景的等可能事件，通常与互斥事件、对立事件等知识相结合进行考查．‎ 分值：5分 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件都是__互斥__的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性__相等__.‎ ‎3．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．‎ ‎(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．(　×　)‎ ‎(2)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　)‎ ‎(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．(　×　)‎ ‎(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于‎1”‎的概率．(　×　)‎ ‎(5)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤的概率是多少”是古典概型．(　×　)‎ 解析　(1)错误．摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为.‎ ‎(2)正确．取到小于0的数的概率为，取到不小于0的数的概率也为.‎ ‎(3)错误．男同学当选的概率为，女同学当选的概率为.‎ ‎(4)错误．由于正方形内点的个数具有无限性，与古典概型不符．‎ ‎(5)错误．线段上的点及所取的点不具有古典概型所满足的有限性，所以(5)错误．‎ ‎2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D．1‎ 解析　基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种，甲被选中共2种，则P＝.‎ ‎3．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是(　D　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． 解析　从六个数中任取2个数有15种取法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－＝.‎ ‎4．将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为(　B　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． 解析　依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故1,2号盒子中各有一个球的概率为.‎ ‎5．(2018·湖南五市十校联考)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　A　)‎ A． 　　　 B． 　　　　 ‎ C． 　　　　 D． ‎ 解析　设齐王的三匹马按上等、中等、下等分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马按上等、中等、下等分别记为b1，b2，b3.齐王与田忌赛马，其情况有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)，共3种，则田忌获胜的概率为＝.故选A．‎ 一　简单的古典概型问题 求古典概型概率的基本步骤 ‎(1)算出所有基本事件的个数n.‎ ‎(2)算出事件A包含的所有基本事件的个数m.‎ ‎(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．‎ ‎【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：‎ ‎(1)所取的2道题都是甲类题的概率；‎ ‎(2)所取的2道题不是同一类题的概率．‎ 解析　(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．‎ 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.‎ 二　复杂的古典概型问题 复杂事件的概率问题的求法 ‎(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．‎ ‎(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．‎ ‎【例2】 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，‎ 这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ 解析　(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝＝.‎ 因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ 因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ 三　古典概型的知识交汇问题 古典概型可以出现在很多问题背景下，关键是理解题目的实际含义，找出基本事件的总数及目标事件的数目．‎ ‎【例3】 已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3,9}．‎ ‎(1)求a∥b的概率；‎ ‎(2)求a⊥b的概率．‎ 解析　由题意，得(x，y)所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．‎ ‎(1)设“a∥b”为事件A，则xy＝－3.事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1个．故a∥b的概率为P(A)＝.‎ ‎(2)设“a⊥b”为事件B，则y＝3x.事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．故a⊥b的概率为P(B)＝.‎ ‎1．下列试验中，是古典概型的个数为(　B　)‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．‎ A．0　　　 B．‎1　‎　　‎ C．2　　　 D．3‎ 解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型．③符合古典概型的特点，是古典概型问题．‎ ‎2．(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1，但不包括B1的概率．‎ 解析　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包含A1但不包含B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.‎ ‎3．如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中用m(m∈N)表示.‎ ‎(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；‎ ‎(2)当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率．‎ 解析　(1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由×(87＋89＋91＋93)＝×[85＋90＋91＋(90＋m)]，得m＝4，设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，m的取值有0,1,2，…，9，共有10种可能．当m＝4时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，‎ ‎∴当m＝5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能，‎ ‎∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为P(A)＝＝.‎ ‎(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件B，当m＝3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16种，分别为(87,85)，(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,90)，(89,91)，(89,93)，(91,85)，(91,90)，(91,91)，(91,93)，(93,85)，(93,90)，(93,91)，(93,93)．‎ 事件B的结果有8种，它们为(87,90)，(87,91)，(87,93)，(89,85)，(89,93)，(91,85)，(93,85)，(93,90)．‎ ‎∴两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率为 P(B)＝＝.‎ ‎4．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ ‎(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；‎ ‎(2)在(1)的条件下，从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．‎ 解析　(1)f′(x)＝ax＋b，由题意知f′(－1)≤0，即b≤a，‎ 而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，满足b≤a的有3种，故概率为.‎ ‎(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．‎ ‎∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，‎ ‎∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有{(2,3)，(4,1)}这1组满足，∴满足题意的概率为.‎ 错因分析：误认为题目中所有的基本事件的出现都是等可能的，而有些时候基本事件的出现不是等可能的，从而造成错解，如对于下面的例题会误认为基本事件共有4个：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，其实这四种结果的出现不是等可能的．‎ ‎【例1】 同时投掷三枚质地均匀的硬币一次，三枚硬币同时正面向上的概率为______.‎ 解析　由题意作出树状图如下：‎ 一共有8种情况，三枚硬币同时正面向上只有1种情况，所以P(三枚硬币同时正面向上)＝.‎ 答案　 ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　C　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． 解析　从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝.故选C．‎ 课时达标　第51讲 ‎[解密考纲]古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现，有时与集合、函数、不等式等知识综合，以解答题形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则ab的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为＝.故选D.‎ 二、填空题 ‎7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__　　__.‎ 解析　设2本数学书分别为A，B，语文书为C，则所有的排放顺序有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC，BAC, CAB，CBA，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P＝＝.‎ ‎8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__　　__.‎ 解析　甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝＝.‎ ‎9．(2018·福建三明一中月考)已知集合A＝，若k∈Z，且k∈A，使得过点B(1,1)的任意直线与曲线x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点的概率为__　　__.‎ 解析　由题意知A＝[－1,2)，k∈Z且k∈A，可得k有－1,0,1三个值，过点B(1,1)的任意直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点，即点B(1,1)在圆上或圆内，即2＋k－2－k≤0，得k≤0，即k有－1,0两个值，由古典概型的概率公式知，所求概率为.‎ 三、解答题 ‎10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n