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- 2021-06-09 发布
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2016-2017学年四川省宜宾三中高二(上)12月月考数学试卷(文科)
一、选择题直线x+3y+a=0的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
2.椭圆的焦距是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为M1,众数为M2,平均值为,则( )
A.M1=M2= B.M1=M2< C.M1<M2< D.M2<M1<
5.两个圆C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+
1=0的公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
6.已知点A(1,2,2)、B(1,﹣3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A、B的距离相等,则点C的坐示可以为( )
A.(0,1,﹣1) B.(0,﹣1,6) C.(0,1,﹣6) D.(0,1,6)
7.原点在圆C:x2+y2+2y+a﹣2=0外,则a的取值范围是( )
A.a>2 B.2<a<3 C.a<2 D.0<a<2
8.已知椭圆+=1,则以点M(﹣1,1)为中点的弦所在直线方程为( )
A.3x﹣4y+7=0 B.3x+4y﹣1=0 C.4x﹣3y+7=0 D.4x+3y+1=0
9.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
10.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.
11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则( )
A.p1<p2< B. C.p2< D.
12.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )
A. B. C. D.2
二、填空.
13.直线l1:y=kx﹣1与直线l2:x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是 .
14.甲、乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:
甲:0、1、0、2、2、0、3、1、2、4;
乙:2、3、1、1、0、2、1、1、0、1;
则机床性能较好的为 .
15.如图程序输出的结果是 .
16.若椭圆,和椭圆的焦点相同,且a1>a2;给出如下四个结论:其中,所有正确结论的序号为
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;
②;
③
④a1﹣a2<b1﹣b2.
三.解答题
17.(10分)已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+
1=0,求满足下列条件的a值:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2.
18.(12分)已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为100分,得分取正整数,抽取学生的分数均在[50,100]之内)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]的分组作出频率分布直方图(图1),并作出样本分数的茎叶图(图2)(茎叶图中仅列出了得分在[50,60],[90,100]的数据).
(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率.
19.(12分)已知集合A={(x,y)|x2+(y+1)2≤1},B={(x,y)|x+y=4m},命题p:A∩B=∅,命题q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围.
20.(12分)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如表的统计资料:
使用年限x(年)
2
3
4
5
6
维修费用y(万元)
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程;
(2)根据回归直线方程,估计使用年限为12年时,维修费用是多少?
参考公式: =, =﹣, =x+.
21.(12分)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1•k2=1.
22.(12分)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).
(Ⅰ)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.
(Ⅱ)a=,过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.
2016-2017学年四川省宜宾三中高二(上)12月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(2016秋•翠屏区校级月考)直线x+3y+a=0的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
【考点】直线的倾斜角.
【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出.
【解答】解:设直线的倾斜角为α,α∈[0°,180°).
∴tanα=﹣,∴α=150°.
故选:C.
【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.椭圆的焦距是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用椭圆的标准方程,求出c,由此能求出椭圆的焦距.
【解答】解:椭圆中,
∵c==1,
∴焦距|F1F2|=2c=2.
故选B.
【点评】本题考查椭圆的焦距的求法,是基础题,解题时要熟练掌握椭圆的简单性质.
3.阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】程序框图.
【分析】通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值.
【解答】解:该程序框图是循环结构
经第一次循环得到i=1,a=2;
经第二次循环得到i=2,a=5;
经第三次循环得到i=3,a=16;
经第四次循环得到i=4,a=65满足判断框的条件,执行是,输出4
故选B
【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律.
4.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为M1,众数为M2,平均值为,则( )
A.M1=M2= B.M1=M2< C.M1<M2< D.M2<M1<
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率图求出众数、中位数和平均数,比较即可.
【解答】解:由图知,众数是M2=5;
中位数是第15个数与第16个数的平均值,
由图知将数据从大到小排第15 个数是5,第16个数是6,
所以中位数是M1==5.5;
平均数是=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈6;
∴M2<M1<.
故选:D.
【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题,是基础题.
5.两个圆C1:x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【考点】圆的切线方程.
【分析】先求两圆的圆心和半径,判定两圆的位置关系,即可判定公切线的条数.
【解答】解:两圆的圆心分别是(﹣1,﹣1),(2,1),半径分别是2,2
两圆圆心距离:,说明两圆相交,
因而公切线只有两条.
故选B.
【点评】本题考查圆的切线方程,两圆的位置关系,是基础题.
6.已知点A(1,2,2)、B(1,﹣3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A、B的距离相等,则点C的坐示可以为( )
A.(0,1,﹣1) B.(0,﹣1,6) C.(0,1,﹣6) D.(0,1,6)
【考点】空间两点间的距离公式;空间中的点的坐标.
【分析】直接利用空间距离公式验证即可.
【解答】解:点A(1,2,2)、B(1,﹣3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A、B的距离相等,
如果C(0,1,﹣1),可得|AC|==;|BC|==,选项A不满足题意.
对于B:可得|AC|==;|BC|==,选项B不满足题意;
对于C,可得|AC|==;|BC|==,选项C不满足题意;
对于D,可得|AC|==;|BC|==,选项D不满足题意;
故选:C.
【点评】本题考查空间距离公式的应用,点的坐标的判断,是基础题.
7.原点在圆C:x2+y2+2y+a﹣2=0外,则a的取值范围是( )
A.a>2 B.2<a<3 C.a<2 D.0<a<2
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据二次方程表示圆的条件,以及圆心到原点的距离大于半径,列出不等式组,综合可得实数a的取值范围.
【解答】解:∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0,即x2+(y+1)2=3﹣a,
∴3﹣a>0,即a<3.
∵原点(0,0)在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部,∴a﹣2>0,∴a>2.
综上可得,2<a<3,
故选:B.
【点评】本题主要考查圆的标准方程、点和圆的位置关系,属于基础题.
8.已知椭圆+=1,则以点M(﹣1,1)为中点的弦所在直线方程为( )
A.3x﹣4y+7=0 B.3x+4y﹣1=0 C.4x﹣3y+7=0 D.4x+3y+1=0
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】因为是一个选择题,可采用“点差法”,即先设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程后作差,可求出直线的斜率,再结合过点M,写出点斜式方程.
【解答】解:设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
∴=1,,两式相减得
,
∴,①
又∵M(﹣1,1)为AB的中点,
∴x1+x2=﹣2,y1+y2=2代入①式得
,即kAB=,
∴直线AB方程为,即3x﹣4y+7=0.
故选A
【点评】本题还可采用常规法,先设弦所在直线方程为y﹣1=k(x+1),代入椭圆方程消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理得到x1+x2的值,又AB中点为(﹣1,1),则有x1+x2=﹣2,可解出k的值.注意验证斜率不存在的情况.
9.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的渐近线的方程可得=,再利用抛物线的准线x=﹣6=﹣c及c2=a2+b2即可得出.
【解答】解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,
∴=,
∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=24x的准线x=﹣6上,
∴c=6.
联立,
解得.
∴此双曲线的方程为,
故选D.
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质,熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键.
10.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD的值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段的性质可求得p,则抛物线方程可得.
【解答】解:如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,
在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6,
从而得a=1,
∵BD∥FG,
∴=求得p=,
因此抛物线方程为y2=3x.
故选C.
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握.
11.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,P2为事件“xy≤”的概率,则( )
A.p1<p2< B. C.p2< D.
【考点】几何概型.
【分析】分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤
”对应的区域,然后求出面积,利用几何概型公式求出概率,比较大小.
【解答】解:由题意,事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形,
p1=;
满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分
所以p2===>;
所以;
故选:B.
【点评】本题考查了几何概型的公式运用;关键是分别求出阴影部分的面积,利用几何概型公式解答.
12.已知抛物线C:y2
=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )
A. B. C. D.2
【考点】抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算.
【分析】斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),代入抛物线方程,利用=(x1+2,y1﹣2)•(x2+2,y2﹣2)=0,即可求出k的值.
【解答】解:由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0),
由题意可知:斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),
代入抛物线方程,得到k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,△>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2).
∴x1+x2=4+,x1x2=4.
∴y1+y2=,y1y2=﹣16,
又=0,
∴=(x1+2,y1﹣2)•(x2+2,y2﹣2)==0
∴k=2.
故选:D.
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
二、填空.
13.直线l1:y=kx﹣1与直线l2:x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是 k>1 .
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出两直线交点,由直线l1:y=kx+1与l2:x﹣y﹣1=0的交点在第一象限内,得到交点的横、纵坐标都大于0,由此能求出k的取值范围,再根据充要条件的定义判断即可
【解答】解:∵直线l1:y=kx﹣1与l2:x+y﹣1=0的交点在第一象限内,
联立,得x=,y=,
∴,解得k>1.
∴k直线l1:y=kx﹣1与直线l2:x+y﹣1=0的交点位于第一象限的充要条件是k>1.
故答案为:k>1
【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线的交点坐标的求法及性质的合理运用.
14.甲、乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:
甲:0、1、0、2、2、0、3、1、2、4;
乙:2、3、1、1、0、2、1、1、0、1;
则机床性能较好的为 乙 .
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】分别求出甲、乙两机床每天出次品数的平均数和方差,由此能求出机床性能较好的为乙.
【解答】解:甲机床每天出次品数的平均数为:
=(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5,
方差= [(0﹣1.5)2×3+(1﹣1.5)2×2+(2﹣2.5)2×3+(3﹣1.5)2+(4﹣1.5)2]=1.625.
乙机床每天出次品数的平均数为:
=(2+3+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.2,
方差= [(2﹣1.2)2×2+(3﹣1.2)2+(1﹣1.2)2×5+(0﹣1.2)2×2]=0.76,
∵>,>,
∴机床性能较好的为乙.
故答案为:乙.
【点评】本题考查平均数、方差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意方差性质的合理运用.
15.如图程序输出的结果是 2500 .
【考点】伪代码.
【分析】分析程序语言,得出该程序是累加并输出S=1+3+…+99的值.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,
可知:该程序的作用是累加并输出
S=1+3+5+…+99的值,
且S=1+3+5+…+99=2500.
故答案为:2500.
【点评】本题考查了根据流程图(或伪代码)写程序运行结果的语言问题,是基础题.
16.若椭圆,和椭圆的焦点相同,且a1>a2;给出如下四个结论:其中,所有正确结论的序号为 ①③
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;
②;
③
④a1﹣a2<b1﹣b2.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由条件可知两椭圆的焦点均在x轴上,且a12﹣b12=a22﹣b22,由a1>a2,可得b1>b2,即可判断①③;
举例若椭圆C1: +=1,椭圆C2: +y2=1.即可判断②④.
【解答】解:由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上,且a12﹣b12=a22﹣b22,
即有a12﹣a22=b12﹣b22,故③正确;
由a1>a2,可得b1>b2,
由椭圆的对称性可得椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,故①正确;
若椭圆C1: +=1,椭圆C2: +y2=1.
满足题意,但a1﹣a2=6﹣5=1,b1﹣b2=2﹣1=1,
即有a1﹣a2=b1﹣b2.故④错误;
由=, =2,即有<,故②错误.
故答案为:①③.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,以及基本量的关系,考查判断能力和运算能力,属于基础题.
三.解答题
17.(10分)(2016秋•翠屏区校级月考)已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+1=0,求满足下列条件的a值:
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2.
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】(1)根据两直线平行关系,得,即可求出a的值.
(2)根据两直线垂直的关系,即(a﹣1)+2a=0,即可求出a的值.
【解答】解:(1)由题意,,∴a=﹣1;
(2)∵(a﹣1)+2a=0,∴a=.
【点评】本题考查两直线平行的性质,两直线垂直的性质,比较基础.
18.(12分)(2016•江西校级一模)已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为100分,得分取正整数,抽取学生的分数均在[50,100]之内)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]的分组作出频率分布直方图(图1),并作出样本分数的茎叶图(图2)(茎叶图中仅列出了得分在[50,60],[90,100]的数据).
(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案;
(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2,列举法易得.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,样本容量,(2分)
,…(4分)
x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030.(6分)
(Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90]内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2,
抽取2名学生的所有情况有21种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).(8分)
其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种,(10分)
∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率.(12分)
【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识.
19.(12分)(2015秋•江阴市期中)已知集合A={(x,y)|x2+(y+1)2≤1},B={(x,y)|x+y=4m},命题p:A∩B=∅,命题q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】(1)根据命题p是真命题,结合直线和圆的位置关系,求出m的范围即可;(2)分别求出p,q为真时的m的范围,通过讨论p,q的真假,求出m的范围即可.
【解答】解:(1)由命题p为真命题,
则d=>1…(3分)
解得:m>或m<﹣ …
(2)若命题q为真命题,
则,解得:0<m< …(8分)
∵“p∨q”为真,“p∧q”为假∴p,q一真一假…(9分)
若p真q假,则m≥或m<﹣…(11分);
若p假q真,则0<m≤…(13分)
综上:m的取值范围为m≥或m<﹣,或0<m≤…(14分)
【点评】本题考查了符合命题的判断,考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质,是一道基中档题.
20.(12分)(2017春•赫山区校级月考)假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如表的统计资料:
使用年限x(年)
2
3
4
5
6
维修费用y(万元)
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程;
(2)根据回归直线方程,估计使用年限为12年时,维修费用是多少?
参考公式: =, =﹣, =x+.
【考点】线性回归方程.
【分析】(1)根据所给的数据,做出变量x,y的平均数,根据最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程;
(2)当自变量为20时,代入线性回归方程,求出维修费用,这是一个预报值.
【解答】解:(1)由题意知=4, =5, ==1.23,
=5﹣4×1.23=0.08,
∴=1.23x+0.08
(2)当自变量x=12时,预报维修费用是y=1.23×12+0.08=14.84(万元),
即估计使用12年时,维修费用是14.84万元.
【点评】本题考查线性回归方程,考查最小二乘法,考查预报值的求法,属于中档题.
21.(12分)(2016秋•翠屏区校级月考)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明k1•k2=1.
【考点】圆锥曲线的定值问题;圆锥曲线的综合.
【分析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为a=c,及椭圆的定义得到又2a+2c=,解方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程;
(Ⅱ)设点P(x0,y0),根据斜率公式求得k1、k2,把点P(x0,y0)在双曲线上,即可证明结果.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为e==,则a=c,
又2a+2c=,
解得:a=2,c=2,
∴b2=a2﹣c2=4,
∴椭圆的标准方程为,
∴椭圆的焦点坐标为(±2,0).
∵双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,
∴该双曲线的标准方程为;
(Ⅱ)设点P(x0,y0),
则k1=,k2=,
∴k1•k2=×=,
又点P(x0,y0)在双曲线上,
∴,即y02=x02﹣4,
∴k1•k2==1.
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,等轴双曲线的求法,考查了学生综合运用知识解决问题的能力,属于中档题.
22.(12分)(2017春•赫山区校级月考)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).
(Ⅰ)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.
(Ⅱ)a=,过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】
(Ⅰ)要求过点M的切线方程,关键是求出切点坐标,由M点也在圆上,故满足圆的方程,则易求M点坐标,然后代入圆的切线方程,整理即可得到答案.
(Ⅱ)由于直线AC、BD均过M点,故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程,但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况,故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况,然后利用弦长公式,及基本不等式进行求解.
【解答】解:(Ⅰ)由条件知点M在圆O上,
∴1+a2=4
∴a=±
当a=时,点M为(1,),kOM=,k切线=﹣
此时切线方程为:y﹣=﹣(x﹣1)
即:x+y﹣4=0
当a=﹣时,点M为(1,﹣),kOM=﹣,k切线=
此时切线方程为:y+=(x﹣1)
即:x﹣y﹣4=0
∴所求的切线方程为:x+y﹣4=0或x﹣y﹣4=0
(Ⅱ)当AC的斜率为0或不存在时,可求得AC+BD=2(+)
当AC的斜率存在且不为0时,
设直线AC的方程为y﹣=k(x﹣1),
直线BD的方程为y﹣=﹣(x﹣1),
由弦长公式l=2
可得:AC=2
BD=2
∵AC2+BD2=4(+)=20
∴(AC+BD)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(AC2+BD2)=40
故AC+BD≤2
即AC+BD的最大值为2
【点评】求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为切点,若点P(x0,y0)在圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)上,则 过点P的切线方程为(x﹣a)(x0﹣a)+(y﹣b)(y0﹣b)=r2(r>0);若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个,应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.