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  • 2021-06-09 发布

2016届高考数学(理)大一轮复习达标训练试题:课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理

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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理 ‎(分A、B卷,共2页)‎ A卷:夯基保分 一、选择题 ‎1.(2015·昆明调研)已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于(  )‎ A.     B.     C.     D. ‎2.(2015·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC(  )‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(  )‎ A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 ‎4.(2014·江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )‎ A.3 B. C. D.3 ‎5.(2015·辽宁五校联考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=‎2a,3sin A=5sin B,则角C=(  )‎ A. B. C. D. ‎6.(2015·东北三校联考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎7.(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B = ________.‎ ‎8.(2015·苏北四市联考)在△ABC中,已知AB=3,A=120°,且△ABC的面积为,则BC边的长为________.‎ ‎9.(2015·云南第一次检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cos B=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于________.‎ ‎10.(2015·广东重点中学联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=,则的值为________.‎ 三、解答题 ‎11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(b-‎2a)cos C+ccos B=0.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)若c=,b=‎3a,求△ABC的面积.‎ ‎12.(2015·江西七校联考)已知在△ABC中,C=‎2A,cos A=,且2·=-27.‎ ‎(1)求cos B的值;‎ ‎(2)求AC的长度.‎ B卷:增分提能 ‎1.(2014·陕西高考)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);‎ ‎(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.‎ ‎2.(2015·洛阳统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos ‎2C+2cos C+2=0.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若b=a,△ABC的面积为sin Asin B,求sin A及c的值.‎ ‎3.(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=λc(其中λ>1).‎ ‎(1)若λ=时,证明:△ABC为直角三角形;‎ ‎(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.‎ 答案 A卷:夯基保分 ‎1.选B 由正弦定理得sin B=2sin Acos B,故tan B=2sin A=2sin=,又B∈(0,π),所以B=,又A=B=,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=bcsin A=×1×1×=.‎ ‎2.选C 由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,‎ 可设a=5x,b=11x,c=13x(x>0).‎ 则cos C==<0,‎ ‎∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.‎ ‎3.选C 由正弦定理得=,‎ ‎∴sin B===>1.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎4.选C 由c2=(a-b)2+6可得a2+b2-c2=2ab-6.①‎ 由余弦定理及C=可得a2+b2-c2=ab.②‎ 所以由①②得2ab-6=ab,即ab=6.‎ 所以S△ABC=absin=×6×=.‎ ‎5.选A 因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得‎3a=5b.因为b+c=‎2a,所以c=‎2a-a=a.令a=5,b=3,c=7,则由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得49=25+9-2×3×5cos C,解得cos C=-,所以C=.‎ ‎6.选C 根据正弦定理:===2R,得==,即a2+c2-b2=ac,得cos B==,故B=,故选C.‎ ‎7.解析:由正弦定理=,得sin B==,又B∈,且b>a,所以B=或.‎ 答案:或 ‎8.解析:由S△ABC=得×3×ACsin 120°=,所以AC=5,因此BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=9+25+2×3×5×=49,解得BC=7.‎ 答案:7‎ ‎9.解析:依题可得sin B=,又S△ABC=acsin B=42,则c=14.故b==6,所以b+=b+=16.‎ 答案:16 ‎10.解析:由正弦定理== 得= ‎=,‎ 即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)·cos B,‎ 化简可得,sin(A+B)=3sin(B+C),‎ 又知A+B+C=π,所以sin C=3sin A,‎ 因此=3.‎ 答案:3‎ ‎11.解:(1)由已知及正弦定理得:(sin B-2sin A)cos C+sin Ccos B=0,sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos C,‎ sin(B+C)=2sin Acos C,∴sin A=2sin Acos C.‎ 又sin A≠0,得cos C=.‎ 又C∈(0,π),∴C=.‎ ‎(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴ 解得a=1,b=3.‎ 故△ABC的面积S=absin C=×1×3×=.‎ ‎12.解:(1)∵C=‎2A,∴cos C=cos ‎2A=2cos‎2A-1=,‎ ‎∴sin C=,sin A=.‎ ‎∴cos B=-cos(A+C)=sin A·sin C-cos A·cos C=.‎ ‎(2)∵=,∴AB=BC.‎ ‎∵2·=-27,cos B=,‎ ‎∴||||=24,‎ ‎∴BC=4,AB=6,‎ ‎∴AC= ‎= =5.‎ B卷:增分提能 ‎1.解:(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.‎ 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.‎ ‎∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),‎ ‎∴sin A+sin C=2sin(A+C).‎ ‎(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.‎ 由余弦定理得 cos B==≥=,‎ 当且仅当a=c时等号成立.‎ ‎∴cos B的最小值为.‎ ‎2.解:(1)∵cos ‎2C+2cos C+2=0,‎ ‎∴2cos‎2C+2cos C+1=0,‎ 即(cos C+1)2=0,∴cos C=-.‎ 又C∈(0,π),∴C=.‎ ‎(2)∵c2=a2+b2-2abcos C=‎3a2+‎2a2=‎5a2,‎ ‎∴c=a,即sin C=sin A,∴sin A=sin C=.‎ ‎∵S△ABC=absin C,且S△ABC=sin Asin B,‎ ‎∴absin C=sin Asin B,‎ ‎∴sin C=,由正弦定理得:2sin C=,‎ 解得c=1.‎ ‎3.解:(1)证明:∵λ=,∴a+b=c,‎ 由正弦定理得sin A+sin B=sin C,‎ ‎∵C=,∴sin B+sin=,‎ sin B+cos B+sin B=,‎ ‎∴sin B+cos B=,‎ 则sin=,‎ 从而B+=或B+=,B=或B=.‎ 若B=,则A=,△ABC为直角三角形;‎ 若B=,△ABC亦为直角三角形.‎ ‎(2)若·=λ2,则a·b=λ2,∴ab=λ2.‎ 又a+b=3λ,由余弦定理知a2+b2-c2=2abcos C,‎ 即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,‎ 故9λ2-λ2=9,λ2=9,λ2=4,即λ=2.‎

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