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- 2021-06-09 发布
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理
(分A、B卷,共2页)
A卷:夯基保分
一、选择题
1.(2015·昆明调研)已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acos B,c=1,则△ABC的面积等于( )
A. B. C. D.
2.(2015·贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
4.(2014·江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3 B. C. D.3
5.(2015·辽宁五校联考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( )
A. B. C. D.
6.(2015·东北三校联考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B=( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B = ________.
8.(2015·苏北四市联考)在△ABC中,已知AB=3,A=120°,且△ABC的面积为,则BC边的长为________.
9.(2015·云南第一次检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cos B=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于________.
10.(2015·广东重点中学联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=,则的值为________.
三、解答题
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(b-2a)cos C+ccos B=0.
(1)求C;
(2)若c=,b=3a,求△ABC的面积.
12.(2015·江西七校联考)已知在△ABC中,C=2A,cos A=,且2·=-27.
(1)求cos B的值;
(2)求AC的长度.
B卷:增分提能
1.(2014·陕西高考)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.
2.(2015·洛阳统考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2C+2cos C+2=0.
(1)求角C的大小;
(2)若b=a,△ABC的面积为sin Asin B,求sin A及c的值.
3.(2015·湖北部分重点中学联考)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对边的边长,且C=,a+b=λc(其中λ>1).
(1)若λ=时,证明:△ABC为直角三角形;
(2)若·=λ2,且c=3,求λ的值.
答案
A卷:夯基保分
1.选B 由正弦定理得sin B=2sin Acos B,故tan B=2sin A=2sin=,又B∈(0,π),所以B=,又A=B=,则△ABC是正三角形,所以S△ABC=bcsin A=×1×1×=.
2.选C 由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,
可设a=5x,b=11x,c=13x(x>0).
则cos C==<0,
∴C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.
3.选C 由正弦定理得=,
∴sin B===>1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
4.选C 由c2=(a-b)2+6可得a2+b2-c2=2ab-6.①
由余弦定理及C=可得a2+b2-c2=ab.②
所以由①②得2ab-6=ab,即ab=6.
所以S△ABC=absin=×6×=.
5.选A 因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b.因为b+c=2a,所以c=2a-a=a.令a=5,b=3,c=7,则由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得49=25+9-2×3×5cos C,解得cos C=-,所以C=.
6.选C 根据正弦定理:===2R,得==,即a2+c2-b2=ac,得cos B==,故B=,故选C.
7.解析:由正弦定理=,得sin B==,又B∈,且b>a,所以B=或.
答案:或
8.解析:由S△ABC=得×3×ACsin 120°=,所以AC=5,因此BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=9+25+2×3×5×=49,解得BC=7.
答案:7
9.解析:依题可得sin B=,又S△ABC=acsin B=42,则c=14.故b==6,所以b+=b+=16.
答案:16
10.解析:由正弦定理==
得=
=,
即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)·cos B,
化简可得,sin(A+B)=3sin(B+C),
又知A+B+C=π,所以sin C=3sin A,
因此=3.
答案:3
11.解:(1)由已知及正弦定理得:(sin B-2sin A)cos C+sin Ccos B=0,sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos C,
sin(B+C)=2sin Acos C,∴sin A=2sin Acos C.
又sin A≠0,得cos C=.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C,
∴
解得a=1,b=3.
故△ABC的面积S=absin C=×1×3×=.
12.解:(1)∵C=2A,∴cos C=cos 2A=2cos2A-1=,
∴sin C=,sin A=.
∴cos B=-cos(A+C)=sin A·sin C-cos A·cos C=.
(2)∵=,∴AB=BC.
∵2·=-27,cos B=,
∴||||=24,
∴BC=4,AB=6,
∴AC=
= =5.
B卷:增分提能
1.解:(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.
∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),
∴sin A+sin C=2sin(A+C).
(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.
由余弦定理得
cos B==≥=,
当且仅当a=c时等号成立.
∴cos B的最小值为.
2.解:(1)∵cos 2C+2cos C+2=0,
∴2cos2C+2cos C+1=0,
即(cos C+1)2=0,∴cos C=-.
又C∈(0,π),∴C=.
(2)∵c2=a2+b2-2abcos C=3a2+2a2=5a2,
∴c=a,即sin C=sin A,∴sin A=sin C=.
∵S△ABC=absin C,且S△ABC=sin Asin B,
∴absin C=sin Asin B,
∴sin C=,由正弦定理得:2sin C=,
解得c=1.
3.解:(1)证明:∵λ=,∴a+b=c,
由正弦定理得sin A+sin B=sin C,
∵C=,∴sin B+sin=,
sin B+cos B+sin B=,
∴sin B+cos B=,
则sin=,
从而B+=或B+=,B=或B=.
若B=,则A=,△ABC为直角三角形;
若B=,△ABC亦为直角三角形.
(2)若·=λ2,则a·b=λ2,∴ab=λ2.
又a+b=3λ,由余弦定理知a2+b2-c2=2abcos C,
即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9,
故9λ2-λ2=9,λ2=9,λ2=4,即λ=2.