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- 2021-06-09 发布
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小题专题练(四) 立体几何
1.下列命题中,正确的是( )
A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( )
A.-2 B.-
C. D.2
3.
如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( )
4.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A.4∶3 B.2∶1
C.5∶3 D.3∶2
5.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
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A. B.
C. D.
7.在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=4,点D在棱BB1上,若BD=3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
8.已知l,m,n为三条不重合的直线,α,β为两个不同的平面,则( )
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥α
C.若α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥β
D.若m∥n,m⊂α,则n∥α
9.如图甲所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图乙水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图丙水平放置时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为( )
A.29 cm B.30 cm
C.32 cm D.48 cm
10.长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=.设点A关于直线BD1的对称点为P,则P与C1两点之间的距离为( )
A.1 B.
C. D.
11.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为________,几何体中最长棱的长是________.
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第11题图 第12题图
12.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比为________,三棱锥PABC 的体积是________.
13.已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为12π,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为________.
14.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为________.
15.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为线段AD,BC上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°.将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB与直线DF所成角的最大值为________.
第15题图 第16题图
16.如图,在四边形ABCD中,CD⊥BD,∠ABD=,AB=BD=4,CD=2,现将△BCD沿BD折起,当二面角ABDC的大小处于[,]的过程时,线段AC长度的最小值是________,最大值是________.
17.已知△ABC在平面α内,∠ACB=90°,点P∉α,PA=PB=PC=7,AB=10,AC=6,则点P到平面α的距离等于________,PC与平面PAB所成角的正弦值为________.
小题专题练(四)
1.解析:选D.直棱柱的侧棱与底面垂直,底面形状不定,故选项A,C都不够准确;选项B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故B不正确.
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2.解析:选D.由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.
3.解析:选C.如图,取DD1的中点F,连接AF,FC1,则过点A,E,C1的平面即为面AEC1F,所以剩余几何体的侧视图为选项C.
4.解析:选A.圆锥的侧面积=π×12×=,圆锥的底面半径=2π×1×÷2π=,圆锥的底面积=π·=,圆锥的表面积=侧面积+底面积=,所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.
5.解析:选A.由于cos〈m,n〉=-,所以〈m,n〉=120°.所以直线l与α所成的角为30°.
6.解析:选B.由三视图得,该几何体是从四棱锥PABCD中挖去半个圆锥后剩余的部分,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,则所求几何体的体积V=×2×2×2-×π×12×2=.
7.
解析:选B.如图,可得·=(+)·=·=4×2×=12=5×2×cos θ(θ为与的夹角),所以cos θ=,sin θ=,tan θ=,又因为BE⊥平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.
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8.解析:选A.由l,m,n为三条不重合的直线,α,β为两个不同的平面知,在A中,若m⊥α,m⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故A正确;在B中,若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;在C中,若α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则m与β相交,故C错误;在D中,若m∥n,m⊂α,则n∥α或n⊂α,故D错误.故选A.
9.解析:选A.设这个简单几何体的总高度为h,图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x,图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y,则⇒所以h=29.
10.
解析:选A.将长方体中含有ABD1的平面取出,过点A作AM⊥BD1,延长AM,使MP=AM,则P是A关于BD1的对称点,如图所示,过P作PE⊥BC1,垂足为E,依题意AB=1,AD1=,BD1=2,∠ABD1=60°,∠BAM=30°,∠PBE=30°,PE=,BE=,所以PC1=1,故选A.
11.解析:
由三视图可知,该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥MA1B1N,如图所示,M是棱AB上靠近点A的一个三等分点,N是棱C1D1的中点,所以VMA1B1N=××2×2×2=.又A1B1=2,A1N=B1N==,A1M==,B1M==,MN==,所以该几何体中最长棱的长是.
答案:
12.解析:作三棱锥PABC的正视图时,点A的正投影是D,点P的正投影在C1D1上,因此三棱锥PABC正视图的面积S正=×12=,作三棱锥PABC的侧视图时,点A的正投影是B,
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点P的正投影在C1B1上,因此三棱锥PABC的侧视图的面积S侧=×12=,故S正∶S侧=1∶1,三棱锥PABC的体积V=S△ABC·AA1=.
答案:1∶1
13.解析:设正四棱柱的底面边长为a,高为h,球的半径为r,由题意知4πr2=12π,所以r2=3,又2a2+h2=(2r)2=12,所以a2=6-,所以正四棱柱的体积V=a2h=h,则V′=6-h2,由V′>0,得02,所以当h=2时,正四棱柱的体积最大,Vmax=8.
答案:2
14.解析:如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,
使得DT=,因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N=,
故NT=2--=1,
因为M为CC1的中点,
故CM=1,连接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故CT∥MN,
同理在AA1上靠近A处取一点Q′,使得AQ′=,连接BQ′,TQ′,
则有BQ′∥CT∥MN,故BQ′与MN共面,
即Q′与Q重合,故AQ=.
答案:
15.解析:AB不动,因为AB∥CD,故无论直线DF运动到哪里,其与CD的夹角不变,与AB的夹角也不变为30°.若DF不动,AB转动,两者的夹角在旋转过程中先变小再变大,大小不超过固定时的夹角;当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时,若DF不动,可计算出两者的夹角是10°,若DF转动同一平面的另一边,此时两线的夹角为70°,取到最大值.因此,本题正确答案是70°.
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答案:70°
16.
解析:设二面角ABDC的平面角为α,如图,取BD的中点E,连接AE,则AE=2.因为=++,所以2=2+2+2+2·+2·+2·=12+4+4+0+0+2×2×2×cos(π-α)=20-8cos α,
因为α∈[,],所以cos α∈[-,],所以2∈[8,32],故线段AC长度的取值范围是[2,4].
答案:2 4
17.
解析:如图所示,取AB的中点D,连接PD,CD,因为PA=PB,所以PD⊥AB,又△ABC为直角三角形,所以AD=CD,又PA=PC,所以△APD≌△CPD,所以∠CDP=∠ADP=90°,所以PD⊥DC.又AB∩DC=D,则PD⊥α,PD为点P到平面α的距离,又PA=7,AB=10,所以AD=5,PD==2.
法一:设点C到平面PAB的距离为d,PC与平面PAB所成角的大小为θ,由VPABC=VCPAB得PD·S△ABC=d·S△PAB,即×2××6×8=d××10×2,所以d=.故sin θ==.
法二:过点C作CE⊥AB于点E,连接PE,因为PD⊥α,PD⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,平面ABC∩平面PAB=AB,所以CE⊥平面PAB,则∠CPE为PC与平面PAB所成的角,在Rt△ABC中,易得CE=,所以sin ∠CPE==.
答案:2
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