- 1.18 MB
- 2021-06-09 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2018-2019学年内蒙古第一机械制造(集团)有限公司第一中学高一下学期期中考试数学(理)试题
一、单选题
1.两数与的等比中项是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.
【答案】C
【解析】试题分析:设两数的等比中项为,等比中项为-1或1
【考点】等比中项
2.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将不等式变形为,从而得到解集。
【详解】
将不等式化为,解得,
所以解集为
故选B.
【点睛】
本题考查解不等式,属于基础题。
3.直线的倾斜角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】B
【解析】将直线化成斜截式,前系数即为直线斜率,通过斜率求倾斜角。
【详解】
将直线化成斜截式得,所以直线斜率为
,设直线的倾斜角是,则,即, 所以.
故选B.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,属于简单题。
4.已知直线的斜率是,在轴上的截距是,则此直线方程是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析:由已知直接写出直线方程的斜截式得答案.
解:∵直线的斜率为2,在y轴上的截距是﹣3,
∴由直线方程的斜截式得直线方程为y=2x﹣3,
即2x﹣y﹣3=0.
故选:A.
【考点】直线的斜截式方程.
5.若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明,或找反例进行排除.
【详解】
解:选项A:取,此时满足条件,则,显然,所以选项A错误;
选项B:取,此时满足条件,则,显然,所以选项B错误;
选项C:因为,所以,因为,所以,
选项C正确;
选项D:取,当,则,所以
,所以选项D错误;
故本题选C.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,熟知不等式的性质是解题的关键.
6.已知,且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先根据已知条件求得的值,然后求得的值,由此求得题目所求表达式的值.
【详解】
依题意,由及,解得,故,故选B.
【点睛】
本小题主要考查两角和的正切公式,考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,考查运算求解能力,属于基础题.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)。这个问题中,甲所得为( )
A.钱 B.钱 C.钱 D.钱
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则
,故选B.
8.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,不等式恒成立,
对一切非零实数均成立,
由于
当且仅当时取等号,
故的最小值等于
则实数的取值范围为
故答案选
9.一船以每小时km的速度向东行驶,船在处看到一灯塔在北偏东,行驶4小时后,船到达处,看到这个灯塔在北偏东,这时船与灯塔的距离为( )
A.60km B.km C.km D.30km
【答案】A
【解析】分析:画出示意图,根据题中给出的数据,解三角形可得所求的距离.
详解:画出图形如图所示,
在中,,
由正弦定理得,
∴,
∴船与灯塔的距离为60km.
故选A.
点睛:用解三角形的知识解决实际问题时需注意以下几点:
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解条件足够的三角形,然后逐步求解其他三角形,最后可得所求.
10.已知等差数列的公差,前项和为,若对所有的,都有,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由,都有,再根据等差数列的性质即可判断.
详解:由,都有,
,
,
故选:D.
点睛:利用等差数列的性质求Sn,突出了整体思想,减少了运算量.
11.已知正数满足,则的最小值为( )
A.5 B. C. D.2
【答案】C
【解析】分析:根据题意将已知条件等价转化为,故而可得,利用基本不等式即可得结果.
详解:∵正数满足,∴,
∴
当且仅当即,时,等号成立,即的最小值为,故选C.
点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
12.在中,内角的对边分别为.若的面积为,且,,则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理及三角形面积公式可得和,结合条件,可得,进而得,由正弦定理可得结果。
【详解】
由余弦定理得,,
所以
又,,
所以有,
即,所以,
由正弦定理得,,得
所以外接圆的面积为。答案选D。
【点睛】
解三角形问题多为边角求值的问题,这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件,灵活选择,它的作用除了直接求边角或边角互化之外,它还是构造方程(组)的重要依据,把正、余弦定理,三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组,通过解方程组达到求解的目标,这也是一种常用的思路。
二、填空题
13.已知直线过点,且与直线垂直,则直线的方程为____.
【答案】
【解析】分析:设与直线垂直的直线方程为,根据直线过点,即可求得直线方程.
解析:由题意,设与直线垂直的直线方程为,
直线过点,
直线的方程为:.
故答案为:.
点睛:1.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,
(1)若l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)若l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0,(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
14.若等比数列满足,则=____
【答案】
【解析】将由等比数列的通项公式表示,进而求得.
【详解】
等比数列满足
所以,解得
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式,属于简单题。
15.的内角的对边分别为,已知.则__________
【答案】
【解析】先利用三角形内角和公式将转化,再利用降幂公式得出
,最后根据同角三角函数关系式得出结果.
【详解】
解:因为,
所以,
所以,
因为,
所以,
解得:或,
因为
所以.
【点睛】
本题考查了降幂公式、同角三角函数关系式等知识,将角转化为角是解题的前提,利用降幂公式等将题意转化为方程问题是解题的关键.
16.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.
【答案】或
【解析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.
【详解】
当直线过原点时,设直线方程为,则,
直线方程为,即,
当直线不经过原点时,直线的斜率为,直线方程为,整理可得:.
故答案为:或.
【点睛】
本题主要考查直线方程的求解,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求和:.
【答案】(1)an=2n−1.(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设等差数列的公差为,代入建立方程进行求解;(Ⅱ)由是等比数列,知依然是等比数列,并且公比是,再利用等比数列求和公式求解.
试题解析:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.
解得d=2.
所以an=2n−1.
(Ⅱ)设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.
所以.
从而.
【名师点睛】本题考查了数列求和,一般数列求和的方法:(1)分组转化法,一般适用于等差数列+等比数列的形式;(2)裂项相消法求和,一般适用于,,等的形式;(3)错位相减法求和,一般适用于等差数列等比数列的形式;(4)倒序相加法求和,一般适用于首末两项的和是一个常数,这样可以正着写和与倒着写和,两式相加除以2即可得到数列求和.
18.(本小题满分12分)
围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(Ⅰ)将y表示为x的函数;
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
【答案】(Ⅰ)y=225x+
(Ⅱ)当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元。
【解析】试题分析:(1)设矩形的另一边长为am,则根据围建的矩形场地的面积为360m2,易得,此时再根据旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式;(2)根据(1)中所得函数的解析式,利用基本不等式,我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值,及相应的x值
试题解析:(1)如图,设矩形的另一边长为a m
则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(2)
.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.
【考点】函数模型的选择与应用
19.在中, 分别是角的对边,且.
(1)求的大小;
(2)若,求的面积。
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦,去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简,再由诱导公式变形求出的值,即可确定出的大小;
(Ⅱ)由的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将以及的值代入求出ac的值,再由的值,利用三角形面积公式即可求出面积.
试题解析:
(Ⅰ)由,
得.
∴.
∴.
∴.
又,
∴.
(Ⅱ)由,得,
又,
∴.
∴.
20.数列满足.
(1)设,求证:为等差数列;
(2)求数列的前项和
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】分析:(1),所以是首项为,公差为的等差数列;(2)由(1)知,从而
,利用分组求和及错位相减求和法,结合等比数列求和公式可得结果.
详解:(1)由题意,,
所以是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知,从而
令,
两式相减有
所以
点睛:本题主要考查等差数列的定义与等比数列的求和公式,以及错位相减法求数列的前 项和,属于中档题.一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.
21.已知直线
(1)若直线不经过第四象限,求的取值范围。
(2)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点为坐标原点,设三角形的面积为,求的最小值及此时直线的方程。
【答案】(1)k≥0;(2)面积最小值为4,此时直线方程为:x﹣2y+4=0
【解析】(1)可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距,依题意,从而可解得k的取值范围;
(2)依题意可求得A(﹣,0),B(0,1+2k),S=(4k++4),利用基本不等式即可求得答案.
【详解】
(1)直线l的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是:k≥0
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为:﹣,在y轴上的截距为1+2k,
∴A(﹣,0),B(0,1+2k),又﹣<0且1+2k>0,
∴k>0,故S=|OA||OB|=×(1+2k)=(4k++4)≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时取等号,
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x﹣2y+4=0
【点睛】
本题考查恒过定点的直线,考查直线的一般式方程,考查直线的截距及三角形的面积,考查基本不等式的应用,属于中档题.
22.已知数列满足: ,且.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设是数列的前项和,若对任意都成立.试求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值,计算首项为即可证得数列为等比数列;
(2)原问题转化为对任意的都成立,分类讨论可得:实数的取值范围是.
试题解析:
(Ⅰ)因为,,,
所以,
所以,
又,
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,即,
则
.
又 ,
要使对任意的都成立,
即()对任意的都成立.
①当为正奇数时,由()得,,
即,
因为,
所以对任意的正奇数都成立,
当且仅当时,有最小值1,
所以.
②当为正偶数时,由()得,
,
即,
因为,
所以对任意的正偶数都成立.
当且仅当时,有最小值,所以.
综上所述,存在实数,使得对任意的都成立,
故实数的取值范围是.