专题6-3 数列的综合问题-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版） 30页

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以 为定值．故选A．‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）因为所以数列的前项和为 ‎3. 【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和，其中．‎ ‎（I）证明是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎（II）若 ，求．‎ ‎4. 【2016高考浙江理数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎5. 【2016年高考四川理数】已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即 ‎，则，由已知,，故 .所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率 ．由解得.因为，所以.于是，故.‎ ‎6. 【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎7.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）‎ ‎（1）证明：1（）；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明（）.‎ ‎【解析】（1）由题意得，，即，，由，得，由得，，即；‎ ‎（2）由题意得，∴①，由和得，，‎ ‎∴，因此②，由①②得.‎ ‎8.【2015高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，证明.‎ ‎9.【2015高考陕西，理21】设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．‎ ‎（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；‎ ‎（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明．‎ ‎【解析】（I），则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.‎ 解法二 由题设，当时, ‎ 当时, 用数学归纳法可以证明.当时, ‎ 所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，‎ ‎.又，令，则，所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而，故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.‎ 解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时, ,所以.‎ 当时, ，而，所以，.若，，，当，，，从而在上递减，在上递增.所以，所以当又，，故，综上所述，当时，；当时.‎ ‎10．【2014高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前n项和.‎ ‎11．【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，解得或，当时，；当时，，所以数列的通项公式为或.‎ ‎（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.‎ 当时，，令，即，解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.‎ ‎12．【2014高考重庆理科第22题】设 ‎（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有 成立？证明你的结论.‎ ‎（Ⅱ）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命：‎ 当时，，所以，结论成立.‎ 假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而，即，再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.‎ 解法二：设，则，先证：……①‎ 当时，结论明显成立.假设时结论成立，即，易知在上为减函数，从而 ‎，即这就是说，当时结论成立，故①成立.‎ 再证：………………………………②‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年来高考的热点和重点．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出，对等差数列与等比数列的综合考察,“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得 与“巧用性质”解题相同的效果．对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系．数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-----函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题．数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公式或者通项公式，进而利用数列知识求解．数列问题是每年必考题目，预测2017年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列和等比数列的性质．‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察．‎ ‎【考点1】等差数列、等比数列的综合应用 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．等差数列的判定：‎ ‎①（为常数）；②；③（为常数）；④（为常数）．其中用来证明方法的有①②．‎ ‎2.等比数列的判定：①（）；②（）；③；‎ ‎④其中用来证明方法的有①②．‎ ‎3．等差数列的通项公式： ，‎ ‎2．等比数列的通项公式：，‎ ‎4．等差数列前n项和公式：Sn= Sn=‎ ‎5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；‎ 当q≠1时，Sn= Sn=‎ ‎6等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 ‎7等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 ‎8等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、……仍为等差数列.‎ ‎9等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）‎ ‎10两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 ‎11两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列 ‎12.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 ‎13等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 ‎14．等差中项公式：A= （有唯一的值）‎ ‎15. 等比中项公式：G= （ab>0，有两个值）‎ ‎【规律方法技巧】‎ 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016年江西省四校高三一模测试】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（ ）‎ A.1 B. C . D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】数列是等比数列，数列是等差数列，，且,‎ ‎2. 【2016年广州市毕业班综合测试】已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【考点2】等差数列、等比数列的实际应用 ‎【备考知识梳理】‎ 解数列应用题的建模思路 从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.‎ ‎2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届淮北一中高三最后一卷】 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间 三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设得金最多的数为数列首项，公差为，则，解得，因此每等人比下等人多得斤．故选B．‎ ‎ 2．【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点3】数列与其他知识的交汇 ‎【备考知识梳理】‎ 数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎1)数列与不等式的交汇；‎ ‎2)数列与函数的交汇；‎ ‎3)数列与解析几何的交汇.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1．解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．‎ ‎2．解决数列与函数、方程、三角函数、向量等知识结合的问题时，要通过其他知识，把问题转化为数列项的递推式或通项公式转化为数列问题处理．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016届宁夏石嘴山三中高三下三模】设是数列的前项和，时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故．‎ ‎2. 【2016届吉林省白城一中高三下4月】已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量(或)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”‎ 来简化运算．‎ ‎2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．‎ ‎3．关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于 (或)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．‎ ‎ (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．‎ ‎4．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．‎ ‎1. 【湖北2016年9月三校联考】在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则 ( )‎ A．32 B．62 C．27 D．81 ‎ ‎【答案】B ‎2. 【2017届广州省惠州市高三第一次调研】设，，若是和的等比中项，则的最小值为（ ）‎ A． B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，‎ 当且仅当即时“=”成立，故选C ‎3. 【2016年江西九江高三模拟】已知数列各项均不为，其前项和为，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一： 当时，，即，∴.当时，，，两式相减得，∵，∴，∴，都是公差为的等差数列，又，，∴是公差为的等差数列，∴，∴．‎ 法二：通过观察，发现刚好符合条件，故．‎ ‎ 4. 【2016年湖北高三八校联考】已知数列的前项和为，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎5. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前n项和_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由点对任意的，都有向量，可得，数列是等差数列，公差为.由，则，可得，那么.故本题答案应填.‎ ‎ 6.【2016届上海市七宝中学高三模拟】设，且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组的值________.‎ ‎【答案】（答案不唯一，一组即可）‎ ‎【解析】由题设可取,此时,存在数列,满足题设,应填答案.‎ ‎ 7. 【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一】在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎8. 【2016年江西师大附中高三二模】在公比为的等比数列中，与的等差中项是 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，，的一部分图像如图所示，，为图像 上的两点，设，其中与坐标原点重合，，求的值.‎ ‎ 9.【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，证明：．‎ ‎【解析】（Ⅰ）点在的图象上，，当时，；‎ 当时，适合上式，（）；‎ ‎（Ⅱ）由，，又，，‎ 成立．‎ ‎ 10. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺二】已知数列的前项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎ 11. 【2015届福建省泉州五中高三模拟】已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列．已知数列是正项等比数列，类比上述结论可得 A．若满足，则也是等比数列 ‎ B．若满足，则也是等比数列 C．若满足，则也是等比数列 ‎ D．若满足，则也是等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】根据等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方，，原来的除法为开方，，故答案为D．‎ ‎12.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎13. 【2015届福建省泉州五中高三模拟】若数列满足“对任意正整数，恒成立”，则称数列为“差非增数列”．‎ 给出下列数列：‎ ‎①，②，③，④，⑤．‎ 其中是“差非增数列”的有________（写出所有满足条件的数列的序号）．‎ ‎【答案】③④．‎ ‎14.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知数列的前项和为，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，，点在直线上，若不等式对于恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得 ，‎ 两式相减得， 所以 （），因为，所以，，，所以是以为首项，公比为的等比数列 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为点在直线上，所以 ‎，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，‎ 当时，，因为满足该式，所以 ‎ 所以不等式，即为，‎ 令，则，两式相减得，所以 由恒成立，即恒成立，又，故当时，单调递减；当时，；当时，单调递增；当时，；‎ 则的最小值为，所以实数的最大值是 ‎ ‎15. 【2015届江苏省扬州市高三第四次调研】设个正数依次围成一个圆圈．其中是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列．‎ ‎（1）若，，求数列的所有项的和；‎ ‎（2）若，，求的最大值；‎ ‎（3）是否存在正整数，满足？若存在，求出值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 即，则，即， 显然，则，所以，将一一代入验证知，当时，上式右端为，等式成立，此时，‎ 综上可得：当且仅当时，存在满足等式．‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1．已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则=（ ）‎ ‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【入选理由】本题考查等比数列与等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题是等差数列与等比数列综合应用,也是高考常考题型，故选此题．‎ ‎2.我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第七《盈不足》有一道关于等比数列求和试题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”其意思是：今有蒲生1日，长3尺.莞生1日，长1尺.蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加1倍，问几日蒲（水生植物名）、莞（植物名）长度相等．试估计___________日蒲、莞长度相等（结果采取“只入不舍”原则取整数，相关数据：，）‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设日蒲、莞的长度相等．由题意知蒲、莞每天的长构成首项分别为3、1，公比分别为、2的等比数列，则，解得．‎ ‎【入选理由】本题考查等比数列的定义与前项和等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、阅读能力、获取信息的能力．本题是数列的实际应用问题,高考每过几年都会涉及，故选此题．‎ ‎3.已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】‎ 本题主要考查指数函数与对数函数的图象与性质、分段函数的最值、等比数列的前n项和公式等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题综合性较高，试题难度不大，但知识交汇比较多，高考越来重视知识交汇命题，故数列与其他知识交汇命题更显得重要，故选此题．‎ ‎4.已知等差数列的首项，公差，为数列的前项和.若向量，，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，且，得，即，，又，所以.从而，，则，当且仅当，即时，上式等号成立，所以的最小值为4.故选A．‎ ‎【入选理由】本题主要考查向量的坐标运算,向量的数量积,等差数列的前n项和公式,等差数列的通项公式,基本不等式等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题综合性较高，试题难度不大，巧妙地与向量,不等式结合起来,有新意，故选此题．‎ ‎5.设等差数列的前项和为，,若,且,数列的前项和为，且满足 .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；‎ ‎（Ⅱ）是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由.‎ ‎【入选理由】本题考查等差数列的定义、数列求和、等比数列的性质等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题是一个探索性试题,作为数列全国卷中一般都不是太难,此题难度适中，故选此题．‎ ‎6.设数列的前项和为，已知(n∈N*).‎ ‎（1）求的值，若，证明数列是等差数列；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n∈N*且n ≥2，都有成立，求的最大值.‎ ‎【入选理由】本题考查数列的通项公式,等差数列的判定、放缩法、数列求和方法、不等式的证明,不等式恒成立等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题综合性较高，试题难度不大，但知识交汇比较多，构思巧,技巧性大，故选此题．‎ ‎7.已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，设数列的前项和为，求．‎ ‎（Ⅲ）设为数列的前项的和，若不等式 对任意的恒成立，试求正实数 的取值范围．‎ ‎【入选理由】本题考查数列的通项公式与前项和关系、等差数列等比数列通项公式求法、拆项相消求数列前n项和等基础知识，意在考查学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力和运算求解能力．以及运算求解能力．本题等差与等比综合，试题难度中等，题目不偏不怪，却考查学生综合分析问题能力，故选此题．‎ ‎8.已知数列的前项和为，（）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，记，求证：（）.‎ ‎【入选理由】本题主要考查等比数列的基本运算，数列前项和的求解等基础知识，意在考查学生转化与化归能力, 综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题综合性较高，试题难度不大，近年来数列与不等式的综合题目甚多，故选此题．‎