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- 2021-06-09 发布
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2020届高三月考试卷
数学(文科)
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.
1. 若集合,,则为( )
A. B. C. D.
2. 已知是的共轭复数,则( )
A. -1 B. C. D. 1
3. 空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
指数
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
下图是某市10月1日~20日指数变化趋势,下列叙述错误的是( )
A. 这20天中指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
4. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的的值等于( )
A. 30 B. 31 C. 62 D. 63
5. 设向量,,,且,则实数( )
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
6. 已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. “直线:与直线:平行”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数,则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
9. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,若,,则此双曲线渐近线方程为( )
A. B. C. D.
11. 在各项都为正数的等比数列中,若,且,则数列的前项和是( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的函数满足,当时,.若关于的方程有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 设等差数列的前项和为,且,若,则______.
14. 曲线在点处的切线的方程为______.
15. 设函数的图象与轴交点的纵坐标为,轴右侧第一个最低点的横坐标为,则的值为______.
16. 如图,在边长为2的正方形中,边,的中点分别为,;现将,,分别沿,,折起使点,,重合,重合后记为点,得到三棱锥
.则三棱锥的外接球体积为______.
三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本(单位:元)与印刷册数(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表.
印刷册数(千册)
2
3
4
5
8
单册成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到了两个回归方程,方程甲:,方程乙:.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务.
(i)完成下表(计算结果精确到0.1);
印刷册数(千册)
2
3
4
5
8
单册成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
2.4
2.1
1.6
残差
0
-0.1
0.1
模型乙
估计值
2.3
2
1.9
残差
0.1
0
0
(ii)分别计算模型甲与模型乙的残差平方和和,并通过比较,的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查,新需求量为10千册,若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商,试估计印刷厂二次印刷获得的利润.(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本)
18. 的内角,,的对边分别为,,,已知.
(1)求角;
(2)若,的周长为,求的面积.
19. 如图,在直三棱柱中,平面,其垂足落在直线上.
(1)求证:;
(2)若是线段上一点,,,三棱锥的体积为,求的值.
20. 设中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为的右焦点,为上一点,轴,圆的半径为.
(1)求椭圆和圆的方程;
(2)若直线:与圆交于,两点,与椭圆交于,两点,其中,在第一象限,是否存在使?若存在,求的方程;若不存在,说明理由.
21. 已知函数.
(1)当时,讨论的导函数的单调性;
(2)当时,,求的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知点,曲线的参数方程(其中为参数).以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
.
(1)试写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程.
(2)设曲线与曲线交于,两点,试求的值.
23. 选修4—5:不等式选讲
设函数,.
(1)解不等式;
(2)若对于任意,都存在,使得成立,试求实数的取值范围.
2020届高三月考试卷
数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5:DDCBA 6-10:CBCCA 11-12:AA
1. D 【解析】∵,
,
∴,故选:D.
2. D 【解析】,
∴,
∴,,∴,故选:D.
3. C 【解析】由图知选C.
4. B 【解析】由流程图可知该算法的功能为计算的值,即输出的值为.故选B.
5. A 【解析】因为,又因为,
所以,解得,故选:A.
6. C 【解析】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,
又由,当时,在上单调递增,
则有,即,故选:C.
7. B 【解析】“直线:与直线:平行”“或”.
“”“直线:与直线:平行”,
“直线:与直线:平行”是“”的必要不充分条件.故选:B.
8. C 【解析】根据题意:函数,其定义域为,
有,即函数为偶函数,排除A、D;
又由当时,,,则,排除B,故选:C.
9. C 【解析】直角三角形的斜边长为,
设内切圆的半径为,则,解得.
内切圆的面积为,
豆子落在内切圆外部的概率,故选:C.
10. A 【解析】由题意,,又,
∴,,
∴,
化简得:,即,
∴,得.
∴此双曲线渐近线方程为.故选:A.
11. A 【解析】在各项都为正数的公比设为的等比数列中,
若,且,则,解得,则,
可得数列,即为,
可得,
数列的前项和是
,故选:A.
12. A 【解析】由题意,当时,.
.
①令,解得;②令,解得;③令,解得.
∵在上单调递减,在上单调递增,
在处取得极小值,且;,.
又∵函数在上满足,
∴函数的图象关于对称.
函数的大致图象如下:
而一次函数很明显是恒过定点.
结合图象,当时,有两个交点,不符合题意,
当时,有两个交点,其中一个是,此时与正好相切.
∴当时,有三个交点.
同理可得当时,也有三个交点.
实数的取值范围为:.
故选:A.
二、填空题
13. 14. 15. 7 16.
13. 【解析】依题意,,
又,
∴.
14. 【解析】由,得,
∴,
即曲线在点处的切线的斜率为1,
则曲线在点处的切线方程为,
整理得:,故答案为:.
15. 7 【解析】∵的图象与轴交点的纵坐标为,∴,
∵,
∴,则,
∵轴右侧第一个最低点的横坐标为,∴由五点对应法得得,
故答案为:7.
16. 【解析】根据题意,得三棱锥中,,,
∵、、两两互相垂直,
三棱锥的外接球的直径,
可得三棱锥的外接球的半径为,
根据球的体积公式,得三棱锥的外接球的体积为,
故答案为.
三、解答题
17.【解析】(1)(i)经计算,可得下表:(计算结果精确到0.1);
印刷册数(千册)
2
3
4
5
8
单册成本(元)
3.2
2.4
2
1.9
1.7
模型甲
估计值
3.1
2.4
2.1
1.9
1.6
残差
0.1
0
-0.1
0
0.1
模型乙
估计值
3.2
2.3
2
1.9
1.7
残差
0
0.1
0
0
0
(ii)计算模型甲的残差平方和为,
模型乙的残差平方和为,
∴,模型乙的拟合效果更好;
(2)若二次印刷10千册,由(1)可知,单册书印刷成本为(元),
故二次印刷10千册时,印刷厂利润为(元).
18.【解析】(1)∵.
由正弦定理可得,.
∴,即,
∵,∴,
∵为三角形的内角,
∴;
(2)∵,,又∵的周长为,∴,
由余弦定理可得,,,
∴,
∴的面积.
19.【解析】(1)证明∵平面,平面,
∴.
∵平面,平面,
∴.
又∵,平面,平面,
∴平面,∵平面,
∴.
(2)设,过点作于点.
由(1)知平面,∴,
∵,∴,.∴,
∵平面,其垂足落在直线上,
∴.∴,又∵,
∴,∴,
∴.
∴.
解得:,
∴.
∴.
20.【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为,
∵椭圆的离心率,∴,
∵,∴,
将点代入椭圆的方程得:,
联立解得:,∴椭圆的方程为:,
∴,
∵轴,∴,
∴圆的方程为:;
(2)由、在圆上得,设,,
,同理:,
若,则,即,
,
由得,,
∴,
∴,
得,无解,故不存在.
21.【解析】(1)当时,,,
当时,,的单调递减区间为;
当时,,的单调递增区间为.
(2),
(i)当时,,
所以在上单调递增,,满足条件;
(ii)当时,,
由,得,
①当时,,所以时,
,在上单调递增,
又由,所以,即在上单调递增,
所以有,满足条件;
②当时,,当时,
,在上单调递减,
又由,所以,
所以在上单调递减,
所以有,故此时不满足,
故的取值范围为;
22.【解析】(1)曲线的参数方程(其中为参数).
转换为直角坐标方程为:,
曲线的极坐标方程为.
转换为直角坐标方程为:.
(2)曲线与曲线交于,两点,
则:,
整理得:,
所以:,,
则:,,
所以:.
23.【解析】(1)∵,
∴等价于,或,或,
解得或,
∴不等式的解集为:;
(2)对任意,都存在,使得成立,
即的值域包含的值域.
,
由图象可得时,,
∴的值域为.
,
当且仅当与异号时取等,
∴的值域为,
则由,
得,∴,
∴实数的取值范围为:.