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  • 2021-06-09 发布

高一数学教案:第15讲 数列的基本概念

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辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目: ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 数列的基本概念 教学内容 ‎1. 理解数列的概念和基本数列类型;‎ ‎2. 理解通项公式和递推公式,会求解某些特殊数列的通项公式。‎ ‎(以提问的形式回顾)‎ ‎1. 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.‎ 注意:(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;‎ ‎(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.‎ 这两点注意是数列与集合的区别,集合具有无序性和互异性,而数列是有顺序的而且可以出现相同数字,教师讲解时可以深入提问学生。‎ ‎2. 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….‎ 此处如果学生理解不好,可以举一个具体数列,说明一下第1项,第2项….‎ ‎3. 数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第n项 这部分要重点强调带大括号的和不带大括号的的区别。‎ ‎4. 数列的分类:‎ ‎1)根据数列项数的多少分:‎ 有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6.是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6….是无穷数列 ‎2)根据数列项的大小分:‎ 递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。‎ 递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。‎ 常数数列:各项相等的数列。‎ 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 ‎5. 数列的表示方法:‎ 列举法;图像法;‎ 解析法(通项公式)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ 递推法:数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。‎ ‎(采用教师引导,学生轮流回答的形式)‎ 例1. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.‎ ‎(1)-1,7,-13,19,…‎ ‎(2)0.8,0.88,0.888,…‎ ‎(3),,-,,-,,…‎ ‎(4),1,,,…‎ ‎(5)0,1,0,1,…‎ 解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,‎ 故通项公式为an=(-1)n(6n-5) (n∈N*).‎ ‎(2)数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,‎ ‎∴an= (n∈N*).‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,因此原数列可化为-,,-,,…,‎ ‎∴an=(-1)n· (n∈N*).‎ ‎ (4)将数列统一为,,,,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,‎ ‎∴可得它的一个通项公式为an= (n∈N*).‎ ‎(5)an=或an= (n∈N*)或an= (n∈N*).‎ 试一试:写出下面数列的一个通项公式.‎ ‎(1)2,4,6,8,…;  (2)10,11,10,11,10,11,…; ‎ ‎(3)-1,,-,,….‎ 解 (1)这是个混合数列,‎ 可看成2+,4+,6+,8+,….‎ 故通项公式an=2n+ (n∈N*).‎ ‎(2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求an.原数列可变形为:‎ ‎10+0,10+1,10+0,10+1,….‎ 故其一个通项为:an=10+,或an=.‎ ‎ (3)通项符号为(-1)n,如果把第一项-1看作-,则分母为3,5,7,9,…,分母通项为2n+1;分子为3,8,15,24,…,分子通项为(n+1)2-1即n(n+2),‎ 所以原数列通项为:an=(-1)n (n∈N*).‎ 例2. 设数列{an}满足写出这个数列的前5项.‎ 解 由题意可知 a1=1,‎ a2=1+=1+=2,‎ a3=1+=1+=,‎ a4=1+=1+=,‎ a5=1+=1+=.‎ 试一试:在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.‎ 解 a1=2,a2=3,‎ a3=‎3a2-‎2a1=3×3-2×2=5,‎ a4=‎3a3-‎2a2=3×5-2×3=9,‎ a5=‎3a4-‎2a3=3×9-2×5=17,‎ a6=‎3a5-‎2a4=3×17-2×9=33.‎ 例3. 已知数列;‎ ‎(1)求这个数列的第10项;‎ ‎(2)是不是该数列中的项,为什么?‎ ‎(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;‎ ‎(4)在区间内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.‎ ‎(1)解 设f(n)===.‎ 令n=10,得第10项a10=f(10)=.‎ ‎(2)解 令=,得9n=300.‎ 此方程无自然数解,所以不是该数列中的项.‎ ‎(3)证明 ∵an===1-,‎ 又n∈N*,∴0<<1,∴00,∴an>an+1.‎ ‎ ‎ 本节课主要知识:数列的通项公式和递推公式,如何求解数列中的项,如何判断某个数是否是数列中的项。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 在数列{}中,对所有的正整数n都成立,且,则等于( ) A A 1 B -1 C D ‎ ‎2. 在数列中,,,且,则 . -3‎ ‎3. 已知数列{}对任意的}满足,且,那么 . -30‎ ‎4. 数列满足,若,则 ; . , ‎ ‎5. 在数列中,若, (≥),则该数列的通项 . ‎ ‎【预习思考】‎ ‎1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起, 等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的 .‎ ‎2.通项公式与前项和公式 ‎(1)通项公式 ,为首项,为公差.‎ ‎(2)前项和公式 或 .‎ ‎3.等差中项 如果 成等差数列,那么叫做与的等差中项.‎ 即:是与的等差中项 ,,成等差数列.‎ ‎4.等差数列的判定方法 ‎(1)定义法: (,是常数)是等差数列;‎ ‎(2)中项法: ()是等差数列.‎

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