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- 2021-06-09 发布
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辅导教案
学员姓名: 学科教师:
年 级: 辅导科目:
授课日期
××年××月××日
时 间
A / B / C / D / E / F段
主 题
数列的基本概念
教学内容
1. 理解数列的概念和基本数列类型;
2. 理解通项公式和递推公式,会求解某些特殊数列的通项公式。
(以提问的形式回顾)
1. 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;
(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
这两点注意是数列与集合的区别,集合具有无序性和互异性,而数列是有顺序的而且可以出现相同数字,教师讲解时可以深入提问学生。
2. 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,….
此处如果学生理解不好,可以举一个具体数列,说明一下第1项,第2项….
3. 数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第n项
这部分要重点强调带大括号的和不带大括号的的区别。
4. 数列的分类:
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6.是有穷数列
无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6….是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列:各项相等的数列。
摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
5. 数列的表示方法:
列举法;图像法;
解析法(通项公式)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
递推法:数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。
(采用教师引导,学生轮流回答的形式)
例1. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
(3),,-,,-,,…
(4),1,,,…
(5)0,1,0,1,…
解 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,
故通项公式为an=(-1)n(6n-5) (n∈N*).
(2)数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,
∴an= (n∈N*).
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,因此原数列可化为-,,-,,…,
∴an=(-1)n· (n∈N*).
(4)将数列统一为,,,,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,
∴可得它的一个通项公式为an= (n∈N*).
(5)an=或an= (n∈N*)或an= (n∈N*).
试一试:写出下面数列的一个通项公式.
(1)2,4,6,8,…; (2)10,11,10,11,10,11,…;
(3)-1,,-,,….
解 (1)这是个混合数列,
可看成2+,4+,6+,8+,….
故通项公式an=2n+ (n∈N*).
(2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求an.原数列可变形为:
10+0,10+1,10+0,10+1,….
故其一个通项为:an=10+,或an=.
(3)通项符号为(-1)n,如果把第一项-1看作-,则分母为3,5,7,9,…,分母通项为2n+1;分子为3,8,15,24,…,分子通项为(n+1)2-1即n(n+2),
所以原数列通项为:an=(-1)n (n∈N*).
例2. 设数列{an}满足写出这个数列的前5项.
解 由题意可知
a1=1,
a2=1+=1+=2,
a3=1+=1+=,
a4=1+=1+=,
a5=1+=1+=.
试一试:在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.
解 a1=2,a2=3,
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9,
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
例3. 已知数列;
(1)求这个数列的第10项;
(2)是不是该数列中的项,为什么?
(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.
(1)解 设f(n)===.
令n=10,得第10项a10=f(10)=.
(2)解 令=,得9n=300.
此方程无自然数解,所以不是该数列中的项.
(3)证明 ∵an===1-,
又n∈N*,∴0<<1,∴00,∴an>an+1.
本节课主要知识:数列的通项公式和递推公式,如何求解数列中的项,如何判断某个数是否是数列中的项。
【巩固练习】
1. 在数列{}中,对所有的正整数n都成立,且,则等于( ) A
A 1 B -1 C D
2. 在数列中,,,且,则 . -3
3. 已知数列{}对任意的}满足,且,那么 . -30
4. 数列满足,若,则 ; . ,
5. 在数列中,若, (≥),则该数列的通项 .
【预习思考】
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起, 等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的 .
2.通项公式与前项和公式
(1)通项公式 ,为首项,为公差.
(2)前项和公式 或 .
3.等差中项
如果 成等差数列,那么叫做与的等差中项.
即:是与的等差中项 ,,成等差数列.
4.等差数列的判定方法
(1)定义法: (,是常数)是等差数列;
(2)中项法: ()是等差数列.