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- 2021-06-09 发布
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南昌二中 2019—2020 学年度下学期第二次月考
高二数学(理)试卷
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知全集 , , ,
A. (3,5] B. [4,5] C. {4,5} D. [1,3]
2.若 是非零向量,则“ ”是“ ”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.从编号为 1,2,3,…,100(编号为连续整数)的 100 个个体中随机抽取得到编号为 10,
30,50,70,90 的样本,得到这个样本的抽样方法最有可能是( )
A. 系统抽样 B. 分层抽样
C. 简单随机抽样 D. 先分层再简单随机抽样
4.某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85,67,m,80,93,其中 m>0,若该学生在这 5
次考试中成绩的中位数为 80,则得分的平均数不可能为( )
A. 70 B. 75 C. 80 D. 85
5.设 m,n 是两条不同的直线 , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A. 若 m∥a,n∥a, 则 m∥n
B. 若 ,m , ,则
C. 若 , , ,则
D. 若 , , 则
6.某城市关系要好的 , , , 四个家庭各有两个小孩共 人,分别乘甲、乙两辆汽
车出去游玩,每车限坐 名(乘同一辆车的 名小孩不考虑位置),其中 户家庭的孪生姐
妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 名小孩恰有 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.中国武汉于 2019 年 10 月 18 日至 2019 年 10 月 27 日成功举办了第七届世界军人运动会.来
自 109 个国家的 9300 余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐,奖牌榜的前 3 名如下:
国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数
中国 133 64 42 239
俄罗斯 51 53 57 161
巴西 21 31 36 88
某数学爱好者采用分层抽样的方式,从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代
表.从这 22 名中随机抽取 3 人,则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为( )
A. B. C. D.
8. 则 a3=( )
A. -40 B. 40 C. -80 D.80
9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何
体的三视图,其中俯视图是等边三角形,则该几何体的外接球
的表面积为( )
A. 10 B. C. 9 D.
10.篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球.某人从篮子中随机取出两个球,记事件 A 为“取
出的两个球颜色不同”,事件 B 为“取出一个红球,一个白球”,则 P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
α β
βα //
A B C D 8
4 4 A
4 2
18 24 36 48
57
22
1540
19
1540
57
1540
171
π π
3
28 π π
3
25
6
1
13
3
9
5
3
2
11.总体由编号为 01,02, ,19,20 的 20 个个体组成 利用下面的随机数表选取 7 个个体,
选取方法是从随机数表第 1 行的第 3 列和第 4 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则
选出来的第 6 个个体的编号为( )
A. 07 B. 06 C. 02 D. 01
12.定义在 R 上的函数 满足 ,且当 时,
, 对 任 意 , 存 在 , 使 得
,则正实数 a 的取值范围为( )
A.[ ,+∞) B. (0,8] C.(0, ] D. [8,+ ∞)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知 ,则 的展开式中 的系数为________.
14.函数 的值域为________.
15.若命题“ ,使得 成立.”为假命题,则实数 a 的最大值为________.
16.正方体 的棱长为 , 为 的中点, 为线段 的动点,过
的平面截该正方体所得的截面记为 ,则下列命题正确的序号是________.
①当 时, 的面积为 ;
②当 时, 为六边形;
③当 时, 与 的交点 满足 ;
④当 时, 为等腰梯形;
⑤当 时, 为四边形.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)设命题 对任意 ,不等式 恒成立;命题 q:存在 ,
使得不等式 成立.
(1)若 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;
(2)若命题 p、q 有且只有一个是真命题,求实数 m 的取值范围.
18.(12 分)已知函数
(1)解不等式 ;
(2)若函数 最小值为 a,且 ,求 的最小值.
8
1
8
1
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 P BC Q 1CC
, ,A P Q S
1CQ = S 6
2
3 14 CQ< < S
3
4CQ = S 1 1C D R 1 1
1
3C R =
1
2CQ = S
10 2CQ< < S
19.(12 分)函数 是定义在 上的奇函数,且 .
(1)确定 的解析式;
(2)判断 在 上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于 t 的不等式
20.(12 分)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机
生成一张如图所示的 3 3 表格,其中 1 格设奖 300 元,4 格各设奖 200 元,其余 4 格各设奖 100
元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击 3 格,记中奖的总金额
为 X 元.
(1)求概率 ;
(2)求 的概率分布及数学期望 .
21.(12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且 PA⊥底面 ABCD.
(1)证明:平面 PBD⊥平面 PAC.
(2)若∠BAD=60°,且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ,求∠PCA 的大
小.
×
( )600P X =
X ( )E X
22.(12 分)为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚” 为了解
大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的 7 个大棚,并对当年的利润进行统计整
理后得到了如下数据对比表:
大棚面积 亩
年利润 万元 6 7
由所给数据的散点图可以看出,各样本点都分布在一条直线附近,并且 y 与 x 有很强的线性相
关关系.
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程;
(2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为 亩,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(3)另外调查了近 5 年的不同蔬菜亩平均利润 单位:万元 ,其中无丝豆为:1.5,1.7,
2.1,2.2,2.5;彩椒为:1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好?
参考数据: , .
参考公式: , .
高二第二次月考数学(理)试卷参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13. 14. 15. 16. ①③④⑤
小题详解:
1.C 解:
或 , ,故选 C.
2. D 解:由向量加法的平行四边形法则知: 平行四边形是菱形,
推不出两条对角线相等,即推不出 ; 平行四边形是矩形,推不
出 ; “ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选:D.
3.A 解:根据题意,抽取的样本间隔相等,为 20;
则这个样本的抽样方法最有可能是系统抽样.故选:A.
4.D 解: 某学生 5 次考试的成绩 单位:分 分别为 85,67,m,80,93,其中 ,
该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80, ,
得分的平均数: , 得分的平均数不可能为 85.故选 D.
5.C 解: 同时和一个平面平行的两直线不一定平行,可能相交,可能异面,故 A 错误;
B.两平面平行,两平面内的直线不一定平行,可能异面,故 B 错误;
C.一个平面内垂直于两平面交线的直线,不一定和另一平面垂直,可能斜交,故 C 错误;
D.由 , 得 ,又 ,所以 ,即 ,故 D 正确.故选 D.
6.B 若 A 户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的 2 个家庭,有
种方法. 若 A 户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的 2 名小孩来自剩下的 3 个家庭中
的一个,有 . 所以共有 12+12=24 种方法.
7. C 解:中国和巴西获得金牌总数为 154,按照分层抽样方法,22 名获奖代表中有中国选手 19
个,巴西选手 3 个.故从这 22 名中随机抽取 3 人,则这 3 人中中国选手恰好 1 人的概率为
故选:C.
8.D 解: ,
令 ,则 ,
展开式的通项为: ,令 , ,
所以 ,所以 .故选:D.
9.B 解:由三视图可知,原几何体为四棱锥 ,其中平面 平面 ACDE,
该几何体可补形为棱长均是 2 的正三棱柱 ,
设等边 的中心为 ,几何体外接球的球心为 O,半径为 R,则 ,
在 等 边 中 , ,
, 外 接 球 的 表 面 积
.故选:B.
10.B 解:事件 A 为“取出的两个球颜色不同”,事件 B 为“取出一个红球,一个白球”,
篮子里装有 2 个红球,3 个白球和 4 个黑球,
取出的两个球颜色不同的概率为 .
题号 1
1
2
2
2
3
3
4
4
5
4
6
7
7
8
8
9
9
1
10
1
11
1
12
答案 C
C
D
D
A
A
B
D
C
C
C
B
B
C
B
D
B
B
D
B
A
D
A
A
2 2
3 2 12C ⋅ =
1 2
3 2 12C ⋅ =
又 取出两个球的颜色不同,且一个红球、一个白球的概率为 ,
.故选 B.
11.D 解:从第 1 行的第 3 列和第 4 列组成的数 16 开始,由左到右依次选出的数为 16,08,
02,14,07,01,所以第 6 个个体的编号为 01.故选 D.
12.A 解:由题意可知 在 上单调递减,在 上单调递增,
在 上的值域为 ,在 上的值域为 ,
在 上的值域为 , , ,
在 上的值域为 , 为正实数, 为增函数,
在 上的值域为 , ,解得 ,
故 a 的取值范围是 .故选 A.
13. 解:因为
则
其中 中 的系数为 其中 不存在 项
其中 中 的系数为 所以展开式中 的系数为 .
14. 解:由 ,得到
即 , 当 时, ,适合题意;
当 时,方程有解需满足, ,即 , ,
解得: ;故函数 的值域为 ,故答案为 .
15. 解:由题意,转化为 ,使得 成立为真命题,求实数 a 的最大值,
当 时,显然成立,当 时,分离变量得 成立,
令 ,则 ,
当 时, 恒成立, 单调递减,
在 上的最小值为 , 实数 a 的最大值为 .
16.①③④⑤ 如图,当 时,即 Q 为 CC 1 中点,此时可得 PQ∥AD1 ,
AP=QD1= ,故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故④正确;
由上图当点 Q 向 C 移动时,满足 ,只需在 DD1 上取点 M 满足 AM∥PQ,即
可得截面为四边形 APQM,故⑤正确;
③当 CQ= 时,如图, 延长 DD1 至 N,使 D1N= ,连接 AN 交 A1D1 于 S,连接 NQ 交 C1D1
于 R,连接 SR,可证 AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得 C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,
故可得 C1R= ,故正确;
1
2CQ =
2
2 1 51 2 2
+ =
10 2CQ< <
3
4
1
2
1
3
②由③可知当 时,只需点 Q 上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS,
显然为五边形,故错误;
①当 CQ=1 时,Q 与 C1 重合,取 A1D1 的中点 F,连接 AF,可证 PC1∥AF,且 PC1=AF,可知
截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 ,故正确. 故答案为:
①③④⑤.
17.解:对于命题 p:对任意 ,不等式 恒成立成立,
而 ,有 , , ,
命题 q:存在 ,使得不等式 成立,
只需 ,而 , ; ,
若 p 为真,则 ;
若 为假命题,为 真命题,则 p、q 一真一假.
若 p 为假命题,为 q 真命题,则 所以 ;
若 q 为假命题,为 p 真命题,则 所以
综上, 或
18.解: 当 时, ,无解;
当 时, ,得 ;
当 时, ,得 ,所以不等式解集为 ;
当且仅当 时取等号
.当且仅当 时取等号,
所以当 时, 最小值为 4,即 ,所以 ,
所以
,
当且仅当 且 即 时取“ ”,
所以 最小值为
19.解: 函数 是定义在 的奇函数, , ,
经检验,当 时, 是 的奇函数,满足题意.
又 ,解得 ,故 , ;
是 上的增函数,证明如下:设任意 , ,且 ,
则 , , , ,
, ,
函数 在 上为增函数;
因为 是 上的奇函数,
所以由 得, ,
又 是 上的增函数,所以 ,解得 .
3 14 CQ< <
1
1 1 63 22 2 2AC PF⋅ = × × =
所以原不等式的解集为 .
20.(1)从 3 3 表格中随机不重复地点击 3 格,共有 种不同情形,则事件:“ ”包
含两类情形:第一类是 3 格各得奖 200 元;第二类是 1 格得奖 300 元,一格得奖 200 元,一
格得奖 100 元,其中第一类包含 种情形,第二类包含 种情形.
∴ .
(2) 的所有可能值为 300,400,500,600,700.
则 , ,
, .
∴ 的概率分布列为:
X 300 400 500 600 700
P
∴ (元).
21. 证明:因为底面 ABCD 为菱形,所以 .因为 底面 ABCD,
所以 .又 ,所以 平面 PAC.
因为 平面 PBD,所以平面 平面 PAC.
解:设 AC 与 BD 交于点 O,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系
,如图所示,设 , ,
则 ,
则 .
设平面 PAB 的法向量为 ,则
令 ,得 .
设平面 PCD 的法向量为 ,则.
令 ,得 .
设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 ,则 ,
解得 ,则 ,故 .
22.解: 1 根据题意, , ,则 ,
,
,
那么回归方程为: ;
× 3
9C 600X =
3
4C 1 1 1
1 4 4C C C⋅ ⋅
( ) 3 1 1 1
4 1 4 4
3
9
C C C C 5600 C 21P X
+ ⋅ ⋅= = =
X
( ) 3
4
3
9
C 4 1300 C 84 21P X = = = = ( ) 1 2
1 4
3
9
C C 24 2400 C 84 7P X
⋅= = = =
( ) 1 2 1 2
1 4 4 4
3
9
C C C C 30 5500 C 84 14P X
⋅ + ⋅= = = = ( ) 1 2
1 4
3
9
C C 6 3700 C 84 42P X
⋅= = = =
X
1
21
2
7
5
14
5
21
3
42
( ) 1 2 5 5 3300 400 500 600 700 50021 7 14 21 42E X = × + × + × + × + × =
2 将 代入方程得 ,
即小明家的“超级大棚”当年的利润大约为 万元;
3 近 5 年来,无丝豆亩平均利润的平均数为 ,
方差 ,
彩椒亩平均利润的平均数为 ,
方差为 ,
因为 , , 种植彩椒比较好.