2018届二轮复习数列教案（全国通用） 10页

春季课程: 数列 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟）‎ ‎120‎ 知识点 差数列等比数列的通项公式、常见性质、递推公式、前n项和公式、归纳猜想证明推理 教学目标 在复习中要熟练掌握数列的概念、性质和公式及变形公式的应用，加强运算能力，防止因计算而造成不必要的失分。解题时，注意数学思想与方法的应用，巧用性质整体代换，把非等比等差数列转化为等差等比数列，然后利用“知三求二”或相关性质求解。‎ 教学重点 差数列等比数列的通项公式、常见性质、递推公式、前n项和公式 教学难点 注意数学思想与方法的应用，巧用性质整体代换，把非等比等差数列转化为等差等比数列，然后利用“知三求二”或相关性质求解。‎ 教学过程 一、考纲解读 ‎1.高考对于本节的考查方式:‎ ‎(1)选择填空重点考查等差、等比数列的性质；‎ ‎(2)解答题中重点考查通项公式、求和（重视求和的错位相减法、裂项相消法）‎ ‎(3)递推数列也是考察的重点，只局限于最基本的形式 ‎2. 数列在历年高考高考试题中占有重要的地位，近几年更是有所加强.一般情况下都是一至两个考查性质的客观题和一个考察能力的解答题。文科以等差数列的基础知识、基本解法为主，理科注重概念的理解和运用。分值在22分左右 二、复习预习 ‎ (1)数列的概念和简单表示法 ‎　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.‎ ‎　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ ‎(2)等差数列、等比数列 ‎　　① 理解等差数列、等比数列的概念.‎ ‎　　② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎　　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎　　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.‎ ‎(3)数列求和,求通项.与函数,不等式等知识的综合题,考查学生对知识的掌握和应用能力.‎ ‎ 错位相减法、裂项相消法 三、知识讲解 考点1 数列的概念和简单表示法 ‎ ‎　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.‎ ‎　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ 考点2 等差数列、等比数列 ‎　　① 理解等差数列、等比数列的概念.‎ ‎　　② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎　　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎　　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.‎ 考点3 综合问题 ‎(1)求数列通项 ‎ 累加法,累乘法,构造法,数学归纳法 ‎(2)数列求和 ‎ 裂项相消法,错位相减法, 数学归纳法 ‎(3)与函数,不等式等知识的综合题,考查学生对知识的掌握和应用能力.‎ 放缩法 ‎ ‎ 四、例题精析 例1 [2014全国大纲] 等比数列中，，，则数列的前8项和等于( )‎ ‎(A)6 (B)5 (C)4 (D)3‎ ‎【规范解答】选（C）.（求解对照）由已知有在等比数列中，，，‎ 则=10‎ 所以。选（C）.‎ ‎【总结与反思】　本题主要考查等比数列及对数函数的性质,属于容易题 例2 [2014重庆卷] 对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）‎ A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 ‎【规范解答】由等比数列的性质：下标成等差，对应项成等比，知选D.‎ ‎【总结与反思】　本题考查等比数列的简单性质，属容易题.‎ 例3 [2014安徽卷] 数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则_______.‎ ‎【规范解答】由题意得 ‎ 设代入上式得 ‎，故公比 ‎【总结与反思】　此题等差、等比数列为背景，考察方程思想、整体思想与换元法的运用.‎ 例4 [2014辽宁卷] 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范解答】解法1 选（C）（求解对照）‎ ‎∵数列为递减数列,∴，.‎ 解法2 选（C）‎ 由数列为递减数列,根据指数函数的性质，知，得，或，当时，，所以，，当时，，所以，‎ 综上：.‎ ‎【总结与反思】　（1）本题涉及到等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基本知识点；‎ ‎（2）解法1、2主要步骤是根据指数的函数的单调性进行求解与判断；‎ ‎（3）本题涉及到了函数思想、分类讨论思想等基本数学思想.‎ 例5[2014全国大纲] 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且。‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，求数列的前n项和。‎ ‎【规范解答】解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数。‎ ‎ 又，故.于是 ‎ 解得 因此.所以数列的通项公式为 ‎ ‎ ‎【总结与反思】　本题考查等差数列、等比数列的概念、通项公式与性质，考查考生对数列知识的综合运用，考查考生的运算求解的能力。‎ 例6[2014全国1卷]已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎【规范解答】证明： (Ⅰ)由题设，，两式相减 ‎，由于，所以 ‎ 解：（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；‎ 证明时，为等差数列：由知 数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列 令则，∴‎ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列 令则，∴‎ ‎∴（），‎ 因此，存在，使得{}为等差数列. ‎ ‎【总结与反思】　本题考查等差数列概念与定义，数列项与数列和的关系，考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属基础题。在第一小问中通过作差法证明即可；第二小问先由（Ⅰ）求得,利用从特殊到一般的思想来求。先通过成等差数列,求出的值，然后回到一般结论去证明，而往往考生会将这一步骤省略，导致过程不全，拿不到满分。数列是高中数学的主干内容，数列题一直是考试热点内容之一，其试题的难度分布幅度有点大，既有容易的基础题和难度中等的中档题，也可能有综合性强对能力要求高的难题。‎ 例7[2014全国2卷] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．（Ⅰ）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：＋＋…＋＜． ‎ ‎【规范解答】（Ⅰ） ∵ a1＝1，an＋1＝3an＋1．N∈N *．∴ an＋1＋＝3an＋1＋＝3（an＋）‎ ‎∴ {an＋}是首项为，公比为3的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an＋＝，∴ an＝， ＝‎ ‎＝1，当n＞1时，＝＜．‎ ‎∴　＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝＝（1－）＜‎ ‎∴　＋＋…＋＜．‎ ‎【总结与反思】　⑴ 本题第一问涉及了等比数列的证明（用定义证明）, ⑵ 第二问中能找到＜是破解本题的关键，该问中运用了等比数列的求和公式.‎ 例8[2014浙江卷] 已知等差数列的公差，设的前n项和为，，‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）求（）的值，使得 ‎【规范解答】(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，‎ 将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.‎ 因为d>0，所以d＝2.‎ 从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，‎ 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.‎ 由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，‎ 故所以 ‎【总结与反思】　该题考察了方程思想和估算思想。第一小题比较常规，第二小题在解答的时候要注意把65保留下来，因为它的因数比较少。挖掘一切信息来缩小可能因数的范围是这个题目的能力要点。‎ 例9[2014广东卷] 设数列的前项和为,且．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求数列的通项公式．‎ ‎【规范解答】（1）当时， ①当时， ② ③‎ 由①②③解得 ‎(2)当时，①②‎ ①—②化简得(当时也成立)‎ 方法1：（凑配）‎ 令，求得即 令，则，即 因为，故必有，即 方法2：（数学归纳法）由（1），猜想，‎ 下面用数学归纳法证明对：‎ 当时，成立 假设当时成立，即有，‎ 当时， ‎ 所以，成立 综上所述，对 ‎【总结与反思】　①知识点:数列基本知识、数列的前项和与的关系．②思想与方法: 转化与化归 ‎ ③能力: 运算求解、推理论证 例10[2014重庆卷] 设 ‎（I）若，求及数列的通项公式；‎ ‎（II）若，问：是否存在实数使得对所有都成立？证明你的结论。‎ ‎【规范解答】（I）解法一：，‎ 再由题设条件知，从而是首项为0公差为1的等差数列，‎ 故，。‎ 解法一：，可写为，‎ 因此，猜想，下用数学归纳法证明上式。‎ 当n=1时，结论显然成立。‎ 假设n=k时，结论成立，即，则 ‎，‎ 这就是说，当时结论也成立。‎ 所以。‎ ‎（II）解法一：设，则。‎ 令，即，解得。‎ 下用数学归纳法证明加强命题<1。‎ 当n=1时，，所以，结论成立。‎ 假设n=k时结论成立，即<1，‎ 易知在上为减函数，从而即 再由在上为减函数得 故，因此<1。这就是说，当n=k+1时结论成立。‎ 综上，符合条件的c存在，其中一个值为。‎ 解法二：设，则。‎ 先证： （）。 ①‎ 当n=1时，结论显然成立。‎ 假设n=k时结论成立，即。‎ 易知在上为减函数，从而 即，这就是说，当n=k+1时结论成立。故①成立。‎ 再证： （）。 ②‎ 当n=1时，有，即n=1时②成立。‎ 假设n=k时结论成立，即，‎ 由①及在上为减函数，得，‎ ‎。‎ 这就是说，当n=k+1时，②成立。‎ 所以②对一切都成立。‎ 由②得即 因此。 ③‎ 又由①、②及在上为减函数，得，即，‎ 所以解得。 ④‎ 综上，由②、③、④知，存在使对所有都成立。‎ ‎【总结与反思】①本题涉及等差数列、数学归纳法、递推公式、函数的单调性等相关知识点。‎ ‎②本题第（II）问的求解关键是如何应用递推式，函数的单调性和函数式是辅助解题的，同时也是解决问题的根本。‎ ‎③本题的难度较大，解法比较灵活，着重考察学生的化归能力，抽象思维能力以及逻辑推理能力。‎ 课程小结 ‎ (1)数列的概念和简单表示法 ‎　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.‎ ‎　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ ‎(2)等差数列、等比数列 ‎　　① 理解等差数列、等比数列的概念.‎ ‎　　② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎　　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎　　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.‎ ‎(3)数列求和,求通项.与函数,不等式,数学归纳法综合,考查学生对知识的掌握和应用能力.‎