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- 2021-06-09 发布
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单元评估检测(六) 第6章 不等式、推理与证明
(120分钟 150分)
(对应学生用书第309页)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.≥ B.+≤1
C.≥2 D.≤
[答案] D
2.若集合A={x|x2-7x+10<0},集合B=,则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,5)
C.(2,5) D.(2,3)
[答案] D
3.已知a,b,x,y都是正实数,且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系为( )
A.ab>xy B.ab≥xy
C.ab<xy D.ab≤xy
[答案] B
4.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是( )
【导学号:97190427】
A.10 B.-10
C.14 D.-14
[答案] D
5.(2018·济宁模拟)在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A.2 B.
C. D.2
[答案] B
6.若-1<a<0,则关于x的不等式(x-a)·>0的解集是( )
A.{x|x>a} B.
C. D.
[答案] C
7.已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=.类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n=( )
A.(n-m)(nd-mc) B.(nd-mc)n-m
C. D.
[答案] C
8.已知函数f(x)=,则函数f(x)的最大值为( )
A. B.
C.1 D.
[答案] C
9.(2017·临汾模拟)若实数x,y满足不等式组则ω=的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
10.当x>0时,≥,在用分析法证明该不等式时执果索因,最后索的因是( )
A.x>0 B.x2≥0
C.(x-1)2≥0 D.(x+1)2≥0
[答案] C
11.已知实数x,y满足x>y>0且x+y=,则+的最小值为( )
【导学号:97190428】
A.1 B.2 C.6+4 D.8+4
[答案] C
12.设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.已知a>b>0,则a,b,,四个数中最大的一个是________.
[答案] a
14.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为________时,log2a·log2(2b)取得最大值.
[答案] 4
15.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
[答案] 30
16.已知A(-1,0),B(0,-1),C(a,b)三点共线,若a>-1,b>-1,则+的最小值为________.
[答案] 4
三、解答题
(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n.
(1)证明{an}是等差数列.
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,试证明Tn<.
[证明](1)因为Sn=2n2-n.
所以a1=S1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3.
对n=1也成立,所以an=4n-3.
an+1-an=4(n+1)-3-4n+3=4,是常数.
所以数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=
=
所以Tn=
1-+-+-+…+-
=<.
18.(本小题满分12分)如图61,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AB的中点.
图61
求证:(1)直线EF∥平面PBC.
(2)平面DEF⊥平面PAB.
[答案] 略
19.(本小题满分12分)已知f(x)=x2+ax+b.
(1)求f(1)+f(3)-2f(2).
(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于. 【导学号:97190429】
[解] (1)因为f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,所以f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则-<f(1)<,-<f(2)<,-<f(3)<.
所以-1<-2f(2)<1,-1<f(1)+f(3)<1,
所以-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2,
这与f(1)+f(3)-2f(2)=2矛盾,
所以假设错误,
即所证结论成立.
20.(本小题满分12分)已知变量x,y满足条件z=2x+y.设z的最大值、最小值分别为M,m.
(1)若a>0,b>0,且+=m,试求12a+36b+5的最小值.
(2)若m≤a+b≤M,试求a2+b2的最小值.
[解] (1)21+8 (2)
21.(本小题满分12分)据市场分析,某绿色蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数解析式.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获得最大利润.
(3)若x∈[10,c](10<c≤25),当月产量为多少吨时,每吨平均成本最低,最低成本是多少万元?
[解] (1)由题意,设y=a(x-15)2+17.5(a>0),
把x=10,y=20代入,得25a=20-17.5,a=,所以y=(x-15)2+17.5=x2-3x+40,x∈[10,25].
(2)设月利润为g(x),则
g(x)=1.6x-
=-(x2-46x+400)
=-(x-23)2+12.9,
因为x∈[10,25],
所以当x=23时,
g(x)max=12.9.
即当月产量为23吨时,可获最大利润.
(3)每吨平均成本为
=x+-3≥2-3=1.
当且仅当=,即x=20时“=”成立.
因为x∈[10,c],10<c≤25,
所以①当20≤c≤25时,x=20时,每吨平均成本最低,最低为1万元.
②当10<c<20时,=x+-3在[10,c]上单调递减,
所以当x=c时,min=+-3.
故当20≤c≤25时,月产量为20吨时,每吨平均成本最低,最低为1万元;
当10<c<20时,月产量为c吨时,每吨平均成本最低,最低为万元.
22.(本小题满分12分)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
(2)证明:++…+<. 【导学号:97190430】
[解] (1)由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,
猜测an=n(n+1)(n∈N*),
bn=(n+1)2(n∈N*).
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1===(k+2)2,
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
(2)①当n=1时,=<.
②当n≥2时,由(1)知an+bn=n(n+1)+(n+1)2
=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.
所以<,
故++…+
<+
=+
=+
<+=.
由①②可知原不等式成立.