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- 2021-06-09 发布
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2020年北京市高考数学押题试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
2．设a=213，b＝log32，c＝cosπ，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c
3．下列函数中，最小正周期为π2的是（ ）
A．y＝sin|x| B．y＝cos|2x| C．y＝|tanx| D．y＝|sin2x|
4．若OA→⊥AB→，|OA→|=2，则OA→⋅OB→=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切于原点的直线方程是（ ）
A．x﹣2y＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．2x+y＝0
6．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）
A．16 B．26 C．36 D．12
8．双曲线C的方程x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），左右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，PF1→⋅PF2→=0，以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．2
9．已知函数f（x）＝sin（2x-π3），g（x）＝x2﹣2，若对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[-3，3]
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[-3，﹣1]∪[1，3]
10．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数|2i+1|= ．
12．已知α∈（π2，π），sinα=45，则tan（α+π4）＝ ．
13．在△ABC中，若bcosC+csinB＝0，则∠C＝ ．
14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=20tt2+4，则经过 h后池水中药品的浓度达到最大．
15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x=x，求得x=1+52，类似上述过程，则3+3+3+⋯⋯ ．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
18．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）
19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈R），g（x）＝xf（x）+12x2+2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．
20．已知直线l：x＝t与椭圆C：x24+y22=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点
（Ⅰ）当t＝1时，求△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．
21．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，an），设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An＝{（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn＝{（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3
（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素个数；
（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【分析】利用交集定义能求出集合A∩B．
解：集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝{0}，
故选：B．
2．设a=213，b＝log32，c＝cosπ，则（ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【分析】结合对数的单调性引入0与1进行比较大小，即可判断．
解：a=213＞1，b＝log32∈（0，1），c＝cosπ＝﹣1，
故a＞b＞c．
故选：D．
3．下列函数中，最小正周期为π2的是（ ）
A．y＝sin|x| B．y＝cos|2x| C．y＝|tanx| D．y＝|sin2x|
【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．
解：由于函数y＝sin|x|不是周期函数，故排除A；
由于函数y＝cos|2x|＝cos2x的周期为2π2=π，故B不正确；
由于函数y＝|tanx|的周期为π1=π，故排除C；
由于函数y＝|sin2x|的周期为12•2π2=π2，故D正确，
故选：D．
4．若OA→⊥AB→，|OA→|=2，则OA→⋅OB→=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂直可得OA→•（AO→+OB→）＝0，代入计算即可．
解：∵OA→⊥AB→，|OA→|=2，
∴OA→•AB→=OA→•（AO→+OB→）＝﹣|OA→|2+OA→⋅OB→=-4+OA→⋅OB→=0，
∴OA→⋅OB→=4，
故选：C．
5．与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切于原点的直线方程是（ ）
A．x﹣2y＝0 B．x+2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．2x+y＝0
【分析】先求出圆的标准方程，可得圆心坐标和半径，（0，0）满足圆的方程，从而得到答案．
解：圆：x2+y2+2x﹣4y＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝5，表示以C（﹣1，2）为圆心，半径等于5的圆．
（0，0）满足圆的方程，所以过点（0，0）且与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切的直线方程为x﹣2y＝0．
故选：A．
6．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＞0”是“{Sn
}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：由Sn+1＞Sn⇔（n+1）a1+n(n+1)2d＞na1+n(n-1)2d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．
即数列{Sn}为递增数列的充要条件d≥0且d+a1＞0，
则“d＞0”是“{Sn}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
7．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）
A．16 B．26 C．36 D．12
【分析】根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
解：由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：
它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，
故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，
故几何体的体积V=13×12×1×1×1=16，
故选：A．
8．双曲线C的方程x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），左右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，PF1→⋅PF2→=0，以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．2
【分析】连结PF2、OM，PF2⊥PF1．由圆的切线性质，得到OM⊥PF1，根据三角形中位线定理，算出|PF2|＝2|OM|＝2a．在△PF1F2中利用勾股定理，结合双曲线的定义解出c与a的关系，利用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．
解：如图：连结PF2、OM，
∵PF1→⋅PF2→=0，所以PF1⊥PF2，
以O为圆心，a为半径的圆与PF1相切，
∴M是PF1的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线，
∴OM∥PF2，且|PF2|＝2|OM|＝2a
∵PF1与以原点为圆心a为半径的圆相切，
∴OM⊥PF1，可得PF2⊥PF1，
△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，…①
∵根据双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|＝2a
∴|PF1|＝|PF2|+2a＝4a，代入①得（4a）2+（2a）2＝|F1F2|2，
∴（2c）2＝|F1F2|2＝20a2，解之得c=5a
由此可得双曲线的离心率为e=ca=5，
故选：A．
9．已知函数f（x）＝sin（2x-π3），g（x）＝x2﹣2，若对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，则x2的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[-3，3]
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[-3，﹣1]∪[1，3]
【分析】由题意，求出f（x）的值域，根据对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，可得g（x）的值域，即可求出x2的取值范围．
解：函数f（x）＝sin（2x-π3），
根据正弦函数性可知：f（x）的值域为[﹣1，1]，
对任意的实数x1，总存在实数x2使得f（x1）＝g（x2）成立，
∴[﹣1，1]⊆g（x）．
∵g（x）＝x2﹣2，
根据二次函数性质可知：当g（x）＝﹣1时，可得x＝±1，
当g（x）＝1时，可得x＝±3，
由二洗函数的图象可得：[-3，﹣1]∪[1，3]．
故选：D．
10．已知函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）＝mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，2） B．（0，8） C．（2，8） D．（﹣∞，0）
【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）＝1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．
解：当m≤0时，
当x接近+∞时，函数f（x）＝2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）＝mx均为负值，
显然不成立
当x＝0时，因f（0）＝1＞0
当m＞0时，
若-b2a=4-m2m≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；
若-b2a=4-m2m＜0，时只要△＝4（4﹣m）2﹣8m＝4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8
则0＜m＜8
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数|2i+1|= 2 ．
【分析】先对已知复数进行化简，然后结合模长公式即可求解．
解：|2i+1|=|2(1-i)(1+i)(1-i)|＝|1﹣i|=2．
故答案为：2．
12．已知α∈（π2，π），sinα=45，则tan（α+π4）＝ -17 ．
【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．
解：α∈(π2，π)，sinα=45，
则：cosα=-35，
所以：tanα=-43，
则：tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=-43+11+43=-17，
故答案为：-17．
13．在△ABC中，若bcosC+csinB＝0，则∠C＝ 3π4 ．
【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．
解：∵bcosC+csinB＝0
∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0，
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1，
∵0＜C＜π，
∴C=3π4．
故答案为：3π4．
14．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C=20tt2+4，则经过 2 h后池水中药品的浓度达到最大．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
解：C=20tt2+4=20t+4t≤202t⋅4t=5，当且仅当t＝2时取等号．
因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．
故答案为：2．
15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x=x，求得x=1+52，类似上述过程，则3+3+3+⋯⋯ 1+132 ．
【分析】由阅读能力及类比能力结合解方程x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）解得：x=1+132，即可得解．
解：设x=3+3+3+⋯⋯
由题意可得：
x=3+x，
即x2﹣x﹣3＝0，（x＞0）
解得：x=1+132，
故答案为：1+132．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ① ，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？
【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，先求出，等比数列{bn}的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{an}的通项公式，并判断是否存在符合条件的k．
解：因为在等比数列{bn}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，
从而bn=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2，从而a5＝b1＝﹣1．
若存在k，使得Sk＞Sk+1，即Sk＞Sk+ak+1，从而ak+1＜0；
同理，若使Sk+1＜Sk+2，即Sk+1＜Sk+1+ak+2，从而ak+2＞0．
若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以an＝3n﹣16，
当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；
若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{an}为递减数列，
故不存在ak+1＜0，且ak+2＞0；
若选③：由S5=-25=5(a1+a5)2=5a3，解得a3＝﹣5，从而an＝2n﹣11，
所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值．
【分析】（Ⅰ）证明PA⊥CD，CD⊥AD．得到CD⊥平面PAD，即可证明平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系E﹣xyz，用坐标表示向量，求出平面PBC和平面PBE的法向量所成的角的余弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：由平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD；
又BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD；
又CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：作AD的垂线Ez，以E为原点，以EB→、ED→的方向分别为x轴，y轴的正方向，
建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示；
则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），
B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．
所以PB→=（2，2，﹣2），BC→=（﹣1，2，0），EP→=（0，﹣2，2）；
设平面PBC的法向量为n→=（x，y，z），
所以n→⋅PB→=0n→⋅BC→=0，即x+y-z=0-x+2y=0；
令y＝1，解得n→=（2，1，3）；
设平面PBE的法向量为m→=（a，b，c），
所以m→⋅PB→=0m→⋅EP→=0，即a+b+c=0-b+c=0；
令b＝1，解得m→=（0，1，1）．
所以cos＜m→，n→＞=2×0+1×1+3×14+1+9×0+1+1=277；
由图形可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为277．
18．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）利用抽取的比例即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望EX=1×310+2×610+3×110=1810=95． …
（Ⅲ）利用方程计算公式即可得出结论．
解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为545×27=3，
女员工的人数为545×18=2．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．
所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，P(X=1)=C31⋅C22C53=310，P(X=2)=C32⋅C21C53=610，P(X=3)=C33⋅C20C53=110．
随机变量X的分布列是：
X
1
2
3
P
310
610
110
数学期望EX=1×310+2×610+3×110=1810=95． …
（Ⅲ）s12=s22． …
19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1（a∈一、选择题），g（x）＝xf（x）+12x2+2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1时，若函数g（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．
解：（Ⅰ）由已知得x＞0，f′(x)=1x-a=1-axx，
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）为增函数；
（ⅱ）当a＞0时，由f'（x）＞0，得0＜x＜1a；
由f'（x）＜0，得x＞1a；
所以函数f（x）的单调递增区间为(0，1a)，单调递减区间为(1a，+∞)．
（Ⅱ）因为g(x)=xf(x)+12x2+2x=x(lnx-x-1)+12x2+2x=xlnx-12x2+x，
则g'（x）＝lnx+1﹣x+1＝lnx﹣x+2＝f（x）+3．
由（Ⅰ）可知，函数g'（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
又因为g′(1e2)=-2-1e2+2=-1e2＜0，g'（1）＝1＞0，
所以g'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1．
又在（0，x1）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x1）上单调递减；
在（x1，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x1，1）上单调递增．
所以x1为极值点，此时m＝0．
又g'（3）＝ln3﹣1＞0，g'（4）＝2ln2﹣2＜0，
所以g'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2．
又在（3，x2）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x2）上单调递增；
在（x2，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x2，4）上单调递减．
所以x2为极值点，此时m＝3．
综上所述，m＝0或m＝3．
20．已知直线l：x＝t与椭圆C：x24+y22=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点
（Ⅰ）当t＝1时，求△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．
【分析】（Ⅰ）将x＝1代入x24+y22=1，求得|AB|=6，当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x＝1的距离取得最大值3，即可求得△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）由题意可知：设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，则直线MA的方程为y-n=y0-nx0-t(x-t)，令y＝0，得x=ty0-nx0y0-n，从而|OE|=|ty0-nx0y0-n|，同理即可求得|OF|=|ty0+nx0y0+n|，则|OE|⋅|OF|=|ty0-nx0y0-n|⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02-n2x02y02-n2|=|4y02-4n2y02-n2|=4．
解：（Ⅰ）当t＝1时，将x＝1代入x24+y22=1，
解得：y=±62，
∴|AB|=6．[]
当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x＝1的距离取得最大值3，[]
∴△MAB面积的最大值是362．[]
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2＝4．[]
设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠t，y0≠±n．[]
直线MA的方程为y-n=y0-nx0-t(x-t)，[]
令y＝0，得x=ty0-nx0y0-n，从而|OE|=|ty0-nx0y0-n|．[]
直线MB的方程为y+n=y0+nx0-t(x-t)，[]
令y＝0，得x=ty0+nx0y0+n，从而|OF|=|ty0+nx0y0+n|．[]
所以|OE|⋅|OF|=|ty0-nx0y0-n|⋅|ty0+nx0y0+n|=|t2y02-n2x02y02-n2|，
=|(4-2n2)y02-n2(4-2y02)y02-n2|，[]
=|4y02-4n2y02-n2|=4．
∴|OE|•|OF|为定值．[]
21．数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，an），设Sn为所有这样的排列构成的集合．集合An＝{（a1，a2，…，an）∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai+i≤aj﹣j}；集合Bn＝{（a1，a2，…，an}∈Sn|任意整数i，j，1≤i＜n，都有ai+i≤aj+j}．
（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3
（Ⅱ）求集合An∩Bn的元素个数；
（Ⅲ）记集合Bn的元素个数为bn．证明：数列{bn}是等比数列．
【分析】（Ⅰ）集合A3属于单调递增排列，集合B3属于实数对，利用列举法表示集合A3，B3即可；
（Ⅱ）根据题意知An＝{（1，2，3，…，n）}、（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An⊆Bn．所以集合An∩Bn的元素个数为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．因为B2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．当n≥3时，考虑Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．
分类讨论：（1）假设ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），
依此类推，若ak＝n，则ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．
①若k＝1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．
②若k＝2，则a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．
③若2＜k＜n，
（2）假设an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1个．
结合等比数列的定义进行证明．
解：（Ⅰ）A3＝{（1，2，3）}，B3＝{（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．
（Ⅱ）考虑集合An中的元素（a1，a2，a3，…，an）．
由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有ai﹣i≤aj﹣j，
所以（ai﹣i）+i＜（aj﹣j）+j，
所以ai＜aj．
由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，an）是1，2，3，…，n的单调递增排列，
所以An＝{（1，2，3，…，n）}．
又因为当ak＝k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，
都有ai+i≤aj+j．
所以（1，2，3，…，n）∈Bn，所以An⊆Bn．
所以集合An∩Bn的元素个数为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn≠0．
因为B2＝{（1，2），（2，1）}，所以b2＝2．
当n≥3时，考虑Bn中的元素（a1，a2，a3，…，an）．
（1）假设ak＝n（1≤k＜n）．由已知，ak+k≤ak+1+（k+1），
所以ak+1≥ak+k﹣（k+1）＝n﹣1，
又因为ak+1≤n﹣1，所以ak+1＝n﹣1．
依此类推，若ak＝n，则ak+1＝n﹣1，ak+2＝n﹣2，…，an＝k．
①若k＝1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．
②若k＝2，则a2＝n，a3＝n﹣1，a4＝n﹣2，…，an＝2．
所以a1＝1．
此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有1个．
③若2＜k＜n，
只要（a1，a2，a3，…ak﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．
此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bk﹣1个．
（2）假设an＝n，只需（a1，a2，a3，…an﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，an）有bn﹣1个．
综上bn＝1+1+b2+b3+…+bn﹣1，n≥3．
因为b3＝1+1+b2＝4＝2b2，
且当n≥4时，bn＝（1+1+b2+b3+…+bn﹣2）+bn﹣1＝2bn﹣1，
所以对任意n∈N*，n≥3，都有bnbn-1=2．
所以{bn}成等比数列．
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