2020届江苏省高考数学二轮复习综合仿真练（三） 7页

综合仿真练(三)‎ ‎1．已知向量m＝(cos x，－1)，n＝(sin x，cos2x)．‎ ‎(1)当x＝时，求m·n的值；‎ ‎(2)若x∈，且m·n＝－，求cos 2x的值．‎ 解：(1)当x＝时，m＝，n＝，‎ 所以m·n＝－＝. ‎ ‎(2)m·n＝cos xsin x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，‎ 若m·n＝－，则sin－＝－，‎ 即sin＝，‎ 因为x∈，所以－≤2x－≤，‎ 所以cos＝， ‎ 则cos 2x＝cos＝cos×cos－sinsin＝×－×＝.‎ ‎2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．‎ ‎(1)求证：MN∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN.‎ 证明：(1)法一： ‎ 取A1C1的中点P，连结AP，NP.‎ 因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，‎ 所以NP∥A1B1，NP＝A1B1.‎ 在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB.‎ 所以NP∥AB，且NP＝AB.‎ 因为M为AB的中点，所以AM＝AB.‎ 所以NP＝AM，且NP∥AM，‎ 所以四边形AMNP为平行四边形，所以MN∥AP.‎ 因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，‎ 所以MN∥平面AA1C1C.‎ 法二： 取BC的中点Q，连结NQ，MQ.‎ 由三棱柱可得，四边形BCC1B1为平行四边形．‎ 又Q，N分别为BC，B1C1的中点，‎ 所以CQ∥C1N，CQ＝C1N，‎ 所以四边形CQNC1为平行四边形．‎ 所以NQ∥CC1.‎ 因为NQ⊂平面MNQ，CC1⊄平面MNQ，‎ 所以CC1∥平面MNQ.‎ 因为AM＝MB，CQ＝QB，所以MQ∥AC.‎ 同理可得AC∥平面MNQ.‎ 因为AC⊂平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，AC∩CC1＝C，所以平面MNQ∥平面AA1C1C.‎ 因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB.‎ 因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1.‎ 在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC.‎ 因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC，CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC.‎ 因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB.‎ 因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN＝C，‎ 所以AB⊥平面CMN.‎ ‎3.(2019·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD，其中AB＝4百米，BC＝3百米，在其中心P处(AC中点)有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池PMN种植荷花，其中M点在BC边上，N点在AB边上，满足∠MPN＝45°.设∠PMC＝θ.‎ ‎(1)将PM表示为角θ的函数，并求出cos θ的取值范围；‎ ‎(2)求水池△PMN面积的最小值．‎ 解：(1)∵矩形ABCD，AB＝4百米，BC＝3百米，‎ ‎∴AC＝5百米，‎ ‎∵P为AC中点，∴AP＝CP＝百米．‎ 设∠ACB＝α，则α∈且sin α＝，cos α＝ 在△CPM中，＝，即＝ ‎ ‎∴ PM＝，当点M在B处时，θ即为∠PBC＝∠PCB＝α，则cos θ＝，当点N在B处时，θ＝∠PBC＋＝α＋，cos θ＝cos＝×－×＝－ ‎∴cos θ的取值范围为(0<θ<π). ‎ ‎(2)在△APN中，＝，即＝，∴PN＝ S△PMN＝×PM×PN×sin ＝··＝ ‎∴当2θ－＝，即θ＝∈(0，π)时，sinmax＝1，则(S△PMN)min＝＝3(－1)‎ 此时cos θ＝<符合条件．‎ 答：水池△PMN面积的最小值为(3－3)百米2.‎ ‎4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中 e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；‎ ‎(3)记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.‎ 解：(1)因为椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，‎ 所以＋＝1.‎ 因为e2＝＝，所以＋＝1，‎ 又a2＝b2＋c2，＋＝1，‎ 解得b2＝4或b2＝8(舍去)．‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 联立直线l与椭圆方程消去y，‎ 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，‎ 联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝.‎ 因为MN∥l，所以＝，‎ 因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝.‎ 所以＝×＝.‎ ‎(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，‎ 从而＝(－x1，－k－y1)，＝(x2－1，y2)，‎ ‎∵＝，∴－x1＝(x2－1)，‎ 即x1＋x2＝，①‎ 由(2)知x1＋x2＝，②‎ 联立①②得x1＝，x2＝.‎ 又x1x2＝，‎ ‎∴50k4－83k2－34＝0，‎ 解得k2＝2或k2＝－(舍去)．‎ 又因为k＞0，所以k＝.‎ ‎5．数列{an}中，对任意给定的正整数n，存在不相等的正整数i，j(i0且q≠1，则bn＝b1·qn－1.‎ ‎∵数列{bn}具有性质P ‎∴存在不相等的正整数i，j(ii≥1，且i，j∈N*，∴i＋j－2≥1‎ 若i＋j－2＝1，即b1＝，∴b2＝1，b3＝q 要使b1＝＝bibj，则必为{bn}中的项，与b1＝矛盾；∴i＋j－2≠1‎ 若i＋j－2＝2，即b1＝，∴b2＝，b3＝1，b4＝q，‎ 要使b1＝＝bibj，则必为{bn}中的项，与b1＝矛盾；∴i＋j－2≠2‎ 若i＋j－2＝3，即b1＝，∴b2＝，b3＝，b4＝1，b5＝q，b6＝q2，b7＝q3, ‎ 这时对于n＝1,2，…，7，都存在bn＝bibj，其中i0)，g(x)＝ln x－2.‎ ‎(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)设函数h(x)＝f(x)－xg(x)－，x>0.若函数y＝h(h(x))的最小值是，求m的值；‎ ‎(3)若函数f(x)，g(x)的定义域都是[1，e]，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，O为坐标原点．求m的取值范围．‎ 解：(1)当m＝1时，f(x)＝＋xln x，f′(x)＝－＋ln x＋1.‎ 因为f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f′(1)＝0，‎ 所以当x>1时，f′(x)>0；当0 时，h′(x)>0，函数h(x)在上单调递增．‎ 所以h(x)min＝h＝2－.‎ ‎①当(2－1)≥ ，即m≥时，‎ 函数y＝h(h(x))的最小值h(2－)‎ ‎＝＝，‎ 即17m－26＋9＝0，‎ 解得＝1或＝(舍去)，所以m＝1.‎ ‎②当0<(2－1)< ，即0在[1，e]上恒成立，‎ 所以函数y＝在[1，e]上单调递增，‎ 故kOB∈，‎ 所以kOA∈，‎ 即≤＋ln x≤e在[1，e]上恒成立，‎ 即－x2ln x≤m≤x2(e－ln x)在[1，e]上恒成立．‎ 设p(x)＝－x2ln x，‎ 则p′(x)＝－2xln x≤0在[1，e]上恒成立，‎ 所以p(x)在[1，e]上单调递减，所以m≥p(1)＝.‎ 设q(x)＝x2(e－ln x)，‎ 则q′(x)＝x(2e－1－2ln x)≥x(2e－1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立，‎ 所以q(x)在[1，e]上单调递增，‎ 所以m≤q(1)＝e.‎ 综上所述，m的取值范围为.‎