安徽省六安市第一中学2019届高三下学期高考模拟考试（三）数学（理）试题（解析版） 16页

六安一中2019届高考模拟卷 理科数学（三）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.“”是“复数（其中是虚数单位）为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，是纯虚数，故是必要不充分条件，故选B.‎ 考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．‎ ‎2.若集合，且，则集合可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴选项满足要求 故选A.‎ ‎3.等差数列中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设公差为d,‎ 显然d=0时，是一个与n无关的常数，等于1,；时，需使是一个与n 无关的常数；即对于任意 ‎ 等于同一个常数；则必有此时d=1,。故选B ‎4.西部某县委将位大学生志愿者（男女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多人,则不同的分配方案共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有种;第二类有种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.‎ 考点：排列组合的综合应用．‎ ‎5.已知实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，表示的几何意义为区域内的点到点的斜率加上2．因为、，所以，所以由图知或，所以或，即或，故选D．‎ 考点：简单的线性规划问题．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D.‎ 考点：三视图.‎ ‎7.设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为,在单调递增,所以假，若都小于，则，又根据基本不等式可得,矛盾，真, 根据真值表知为真,故选B.‎ 考点：1、函数的单调性；2、基本不等式的应用及反证法.‎ ‎8.已知函数，在处取得极大值，记,程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填人的关于的判断条件是（ ）‎ A. ？ B. ？ C. ？ D. ？‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，程序框图的作用是求其前项和，由于，故再循环一次就满足，故填.‎ 考点：算法与程序框图．‎ ‎【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.‎ ‎9.已知，，为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以设出三点的坐标，然后通过表示出点的坐标并利用点坐标与是单位向量得出关于的方程，最后通过判断方程解的个数即可得出的位置个数。‎ ‎【详解】以为原点建立坐标系，设、，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 所以 所以 所以，‎ 因为是单位向量，所以 因为为平面上三个不共线的三点，‎ 所以，显然有两解，故满足条件的有两个，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查了向量的相关性质，主要考查了向量的坐标表示、向量的运算、单位向量的相关性质，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是难题。‎ ‎10.已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，为截面圆的直径，且，设球心到平面的距离为，设球的半径为，因为，，所以,因为平面平面，所以点到平面的距离为，由勾股定理可得，解得，所以球的表面积为，故选B．‎ 考点：球的组合体及球的表面积的计算．‎ ‎11.双曲线的左焦点,离心率，过点斜率为1的直线交双曲线的渐近线于A,B两点，中点为,若等于半焦距，则等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以设出双曲线的左焦点坐标并写出过双曲线的左焦点且斜率为1的直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果。‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点，则过点且斜率为1的直线方程为，‎ 与渐近线方程联立可得、，‎ 故中点坐标为，则有，‎ 即，，‎ ‎，，故选B。‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的相关性质，主要考查双曲线的离心率的计算、双曲线的渐近线方程、中点坐标公式、两点间距离公式，考查化归与转化思想，体现了基础性与综合性，是中档题。‎ ‎12.如图，棱长为的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过题意找出满足题意的所在位置，然后设，并根据二面角为写出，即可用表示出，最后通过求导即可得出的最大值。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，取上的一点，当，垂足为时，既是所求的最大值，‎ 由题意可知，‎ 设，则，，，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，由可得，‎ 所以，顶点到平面的距离的最大值是，故选B。‎ ‎【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查点到平面距离的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的空间思维能力，是中档题。‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）‎ ‎13.的展开式中项的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因，故问题转化为求的展开式中含项的系数。又，则含项的系数分别是，故所求的展开式中项的系数为，应填答案。‎ ‎14.已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为_____________‎ ‎（附：，，）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以通过变量在内取值的概率约为得到成绩在内的考生所占的百分比约为，即可求出分以上的考生所占的百分比。‎ ‎【详解】因为数学考试的成绩服从正态分布，‎ 所以，‎ 因为变量在内取值的概率约为，‎ 所以成绩在内的考生所占的百分比约为，‎ 所以成绩在114分以上的考生所占的百分比为。‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布的相关性质，考查了正态分布中值的确定以及正态分布的实际应用，提高了学生对于正态分布的理解，是简单题。‎ ‎15.已知为第二象限角，，则的值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以利用两角和的正弦函数公式将化简为，然后对两边同时平方即可计算出的值，再利用同角三角函数的相关性质可将转化为，即可计算出的值，最后通过即可得出结果。‎ ‎【详解】因为是第二象限角，，‎ 所以，，‎ 即，，‎ 因为，‎ 所以,解得或，‎ 当时，，解得，‎ 因为是第二象限角，故舍去；‎ 当时，，解得或（舍去），‎ 综上所述，。‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角恒等变换的相关公式的使用以及通过角的取值范围来确定三角函数的取值范围，考查化归与转化思想，提高了学生对于三角函数公式的使用，是中档题。‎ ‎16.已知方程有个不同的实数根，則实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：定义域为，令，这是一个偶函数，我们只需研究上的零点即可，此时，当时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当时，函数在区间上单调增，在区间上单调减，要有两个零点，只需，解得.‎ 考点：函数图象与性质，零点问题．‎ ‎【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到的范围.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图中,已知点在边上,且,，，.‎ ‎(1)求的长；‎ ‎(2)求.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为所以 所以即．‎ 在中,由余弦定理,可知，‎ 即解得或．‎ 因为所以．‎ ‎(2)在中,由正弦定理,可知 又由可知 所以．‎ 因为所以.‎ ‎18.如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以取的中点并连接，然后利用平面侧面得到平面，再根据三棱柱是直三棱柱得到，最后根据线面垂直的相关性质得到侧面，即可得出结果；‎ ‎(2)首先可以构造出空间直角坐标系，然后求出平面与平面的法向量，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图，取的中点，连接.‎ 因为，所以.‎ 由平面侧面，且平面侧面，‎ 得平面，‎ 又平面，所以，‎ 因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，，‎ 又，从而侧面，又侧面，故；‎ ‎(2)由(1)知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的一个法向量，由，，得，‎ 令，得，则，‎ 设直线与平面所成的角为，则，‎ 所以，‎ 解得，即．‎ 又设平面的一个法向量为，同理可得.‎ 设锐二面角的大小为，则，‎ 由，得，所以锐二面角的大小为。‎ ‎【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线线垂直的证明以及二面角的求法，线线垂直可以通过线面垂直证明，而二面角则可以通过构造空间直角坐标系并借助法向量来求解，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题。‎ ‎19.某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 天，两个厂家提供的返利，方案如下：甲厂家每天固定返利元，且每卖出一件产品厂家再返利元，乙厂家无固定返利，卖出件以内（含件）的产品，每件产品厂家返利元，超出件的部分每件返利元，分别记录其天内的销售件数，得到如下频数表：‎ 甲厂家销售件数频数表：‎ 销售件数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 天数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 乙厂家销售件数频数表：‎ 销售件数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 天数 ‎（1） 现从甲厂家试销的天中抽取两天，求一天销售量大于而另一天销售量小于的概率；‎ ‎（2）若将频率视作概率，回答以下问题：‎ ‎①记乙厂家的日返利为 （单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）①见解析②推荐该商场选择乙厂家长期销售 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题中所给数据可得一天销售量大于而另一天销售量小于的概率为；‎ ‎(2)首先确定可能的取值回味，分别求得概率值，最后计算数学期望为；‎ ‎(3)利用题意首先求得甲的平均值，然后求解甲乙的日平均返利额即可得出结论.‎ 试题解析：‎ ‎ 解：(1)记“抽取的两天中一天销售量大于 而另一天销售量小于”为事件 ，则 ‎ ‎ (2) ①设乙产品的日期销售量为 ,则当时， ；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，，的所有可能取值为：‎ 的分别列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎②依题意，甲厂家的日平均销售量为：‎ ‎ ，‎ 所以甲厂家的日平均返利额为： 元，由①得乙厂家的日平均返利额为 元，（大于 元），所以推荐该商场选择乙厂家长期销售.‎ ‎20.设椭圆：，其中长轴是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为。‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）点是椭圆上动点，且横坐标大于，点，在轴上，内切于，试判断点的横坐标为何值时的面积最小。‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据“长轴是短轴长的倍”得出，然后通过“过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为”得出，两式联立即可解出的值并求出椭圆的方程；‎ ‎(2)本题首先可以将三点坐标设出，然后根据“内切于”列出等式并求出两点间距离，最后通过三角形面积公式即可写出的面积并通过求导计算出最小值。‎ ‎【详解】（I）由已知，解得：，‎ 故所求椭圆方程为：；‎ ‎（II）设 ，，.不妨设，‎ 则直线的方程为，即，‎ 又圆心到直线的距离为，即，，‎ 化简得，同理，‎ 所以是方程的两个根，‎ 所以，，，‎ 因为是椭圆上的点，所以，，‎ 则，‎ 令 ，则，令，‎ 化简可得，则，‎ 令，得，而，所以函数在上单调递减，‎ 当即点的横坐标为时，的面积最小。‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质，考查了椭圆、直线与圆的综合，考查了如何利用导数求函数最值，考查了推理能力，考查了化归与转化思想，考查了函数方程思想，体现了综合性，是难题。‎ ‎21.已知函数 .‎ ‎（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；‎ ‎（2）若 在 处取得极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，利用导数几何意义，求出函数在处的切线斜率，再求出切线方程；（2）对函数求导，令，讨论的单调性，对 分情况讨论，得出实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，，，，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（2）由已知得，则，‎ 记，则，‎ ‎①当，时，，函数单调递增，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在处取得极小值，满足题意.‎ ‎②当时，时，，函数单调递增，‎ 可得当时，，时，当，‎ 所以在处取得极小值，满足题意.‎ ‎③当时，当时，，函数单调递增，‎ 时，，在内单调递减，‎ 所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即，当时，，单调递减，‎ ‎，当时，，单调递减，，‎ 所以在处取得极大值，不合题意.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查了导数在研究函数单调性、最值上的应用，考的知识点有导数几何意义，导数的应用等，属于中档题。分类讨论时注意不重不漏。‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点。‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设是过点且关于直线对称的两条直线，与交于两点，与交于两点.求证：。‎ ‎【答案】（I），(t为参数) ；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可根据极坐标方程与直角坐标方程的转化以及参数方程的性质得出结果；‎ ‎(2)首先可以通过“关于直线对称”得出的倾斜角互补并设出的倾斜角，然后将直线的参数方程带入抛物线方程并根据韦达定理得出的值，再然后使用相同的方法得出的值，即可证得。‎ ‎【详解】(1)，(t为参数)‎ ‎(2)因为关于直线对称,‎ 所以的倾斜角互补，设的倾斜角为，则的倾斜角为，‎ 把直线(t为参数)代入，‎ 整理得，‎ 根据韦达定理得，即，‎ 同理即，‎ 所以，即。‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的相关性质，主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及两直线对称的相关性质，考查推理能力，考查直线方程思想，体现了基础性与综合性，是中档题。‎ ‎23.设函数. ‎ ‎（1）若函数有最大值，求的取值范围；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再结合函数图像确定函数有最大值条件，即，且，解得的取值范围；（2）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集.‎ 试题解析：（1），‎ ‎∵有最大值，∴，且，‎ 解得，最大值为；‎ ‎（2）即，‎ 设 由解得.原不等式的解集为.‎