2018届高三数学一轮复习： 第5章 第2节 等差数列及其前n项和 8页

第二节　等差数列及其前n项和 ‎ [考纲传真]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．‎ ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．‎ ‎2．等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.‎ ‎(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.‎ ‎3．等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)‎ A．－1　　　　　　　　　 B.1‎ C．2 D.－2‎ D　[依题意得S3＝‎3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A．5 B.7‎ C．9 D.11‎ A　[a1＋a3＋a5＝‎3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝‎5a3＝5.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B.99‎ C．98 D.97‎ C　[法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.‎ 又∵a10＝8，∴∴ ‎∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.‎ 法二：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.‎ 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.‎ 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.]‎ ‎5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．‎ ‎16　[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，‎ 则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.‎ 由an＝6n≤100，即n≤16＝16，‎ 则在100以内有16个能被6整除的数．]‎ 等差数列的基本运算 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A.　　　　　 B. C．10 D.12‎ ‎(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)‎ A．9 B.10‎ C．11 D.15‎ ‎(1)B　(2)B　[(1)∵公差为1，‎ ‎∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得 ‎∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]‎ ‎[规律方法]　1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．‎ ‎2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)‎ A. B.1‎ C．2 D.3‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. ‎ ‎【导学号：01772176】‎ ‎(1)C　(2)－72　[(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，‎ 得－＝1，即a3－a2＝2，‎ ‎∴数列{an}的公差为2.‎ ‎(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]‎ 等差数列的判定与证明 ‎　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎(2)求数列{an}中的通项公式an.‎ ‎[解]　(1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，‎ bn＝.‎ 所以n≥2时，bn－bn－1＝－ ‎＝－＝－＝1.5分 又b1＝＝－，‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.7分 ‎(2)由(1)知，bn＝n－，9分 则an＝1＋＝1＋.12分 ‎[规律方法]　1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．‎ ‎2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥‎2”‎，否则n＝1时，a0无定义．‎ ‎[变式训练2]　(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋‎2a2n}是(　　) ‎ ‎【导学号：01772177】‎ A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 ‎(2)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a61＝__________.‎ ‎(1)C　(2)480　[(1)∵a2n－1＋‎2a2n－(a2n－3＋‎2a2n－2)‎ ‎＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)‎ ‎＝2＋2×2＝6，‎ ‎∴{a2n－1＋‎2a2n}是公差为6的等差数列．‎ ‎(2)由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，所以{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.]‎ 等差数列的性质与最值 ‎　(1)(2017·东北三省四市一联)如图521所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝(　　)‎ 图521‎ A．2　　　　　　　 B.8‎ C．7 D.4‎ ‎(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．‎ ‎(1)C　[法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝‎3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝‎3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝‎3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝‎3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝‎3a42＋‎3a52＋‎3a62＝3×‎3a52＝63，所以a52＝7，故选C.‎ 法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故选C.]‎ ‎(2)法一：由S3＝S11，可得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，4分 即d＝－a1.7分 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，‎ 因为a1>0，所以－<0.9分 故当n＝7时，Sn最大.12分 法二：由法一可知，d＝－a1.‎ 要使Sn最大，则有5分 即9分 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.12分 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，‎ 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，5分 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，9分 所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大.12分 ‎[规律方法]　1.等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.‎ ‎[变式训练3]　(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(　　)‎ A．18 B.99‎ C．198 D.297‎ ‎(2)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝__________.‎ ‎(1)B　(2)20　[(1)因为a3＋a9＝27－a6,‎2a6＝a3＋a9，所以‎3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝‎11a6＝99.‎ ‎(2)法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.‎ 法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.‎ 所以5＋2D＝10，‎ 所以D＝.‎ 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.‎ ‎(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….‎ ‎(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….‎ ‎2．等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．‎ ‎3．等差数列的四种判断方法：‎ ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．‎ ‎3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．‎