高中数学选修2-2教学课件第二章 2 37页

§2 　 导数的概念及其几何意义 第二章　变化率与导数 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 理解导数的概念以及导数和变化率的关系 . 2. 会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义 . 3. 理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 函数 y ＝ f ( x ) 在 x 0 点 的 称为 函数 y ＝ f ( x ) 在 x 0 点的导数，通常用符号 f ′ ( x 0 ) 表示，记作 f ′ ( x 0 ) ＝ ＝ . 瞬时变化率 2. 曲线的 切线 如图，曲线 y ＝ f ( x ) 的一条割线 AB ， 其中 A ( x 0 ， f ( x 0 )) ， B ( x 0 ＋ Δ x ， f ( x 0 ＋ Δ x )). 当 Δ x 趋于 零时，割线 AB 将 ， 称直线 l 为曲线 y ＝ f ( x ) 在点 A 处的切线 . 绕点 A 转动最后趋于直线 l 曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 3. 导数的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是曲线 y ＝ f ( x ) 割线的斜率；函数 y ＝ f ( x ) 在 x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 表示 . 处的切线的斜率 探要点 · 究 所然 情境导学 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容 . 探究点一　函数在一点处的导数 思考 1 　导数和平均变化率有什么关系？ 答　 导数就是平均变化率当 Δ x 趋于 0 时的极限， 思考 2 　导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 答　 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度 . 思考 3 　导数在实际问题中有什么意义？ 答　 导数可以刻画事物变化的快慢 . 例 1 　 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T ( t ) ＝ ＋ 15 ，其中 T ( t ) 为体温 ( 单位： ℃ ) ， t 为太阳落山后的时间 ( 单位： min) ，计算 T ′ (2) ，并解释它的实际意义 . 反思与感悟　 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢 . 跟踪训练 1 　已知正方形的面积 S 是边长 x 的函数 S ＝ x 2 ，计算 S ′ (5) 并说出 S ′ (5) 的意义 . S ′ (5) ＝ 10 说明正方形的面积在边长为 5 时以 10 的速度增加 . 探究点二　导数的几何意义 思考 1 　如图，当点 P n ( x n ， f ( x n ))( n ＝ 1,2,3,4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 时，割线 PP n 的变化趋势是什么？ 答　 当点 P n 趋近于点 P 时，割线 PP n 趋近于确定的位置 . 这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线 . 思考 2 　曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 答　 不一定 . 曲线的切线和曲线不一定只有 一 个 交点，和曲线只有一个交点的直线和 曲线 也 不一定相切 . 如图，曲线的切线是通过 逼近 将 割线趋于确定位置的直线 . 思考 3 　求曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线方程与求过某点 ( x 0 ， y 0 ) 的曲线的切线方程有何不同？ 答　 曲线 f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线，点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 一定是切点，只要求出 k ＝ f ′ ( x 0 ) ，利用点斜式写出切线即可；而求过某点 ( x 0 ， y 0 ) 的曲线 f ( x ) 的切线，给出的点 ( x 0 ， y 0 ) 不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线 . 小结　 (1) 导数的几何意义：曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率 k ＝ f ′ ( x 0 ) ； (2) 欲求曲线切线的斜率，先找切点 P ( x 0 ， f ( x 0 )). 例 2 　 已知曲线 y ＝ x 2 ， (1) 求曲线在点 P (1,1) 处的切线方程 ； 解　 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， ∴ y ′ | x ＝ 1 ＝ 2. ∴ 曲线在点 P (1,1) 处的切线方程为 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 y ＝ 2 x － 1. (2) 求曲线过点 P (3,5) 的切线方程 . 解　 点 P (3,5) 不在曲线 y ＝ x 2 上，设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 由 (1) 知， y ′ | x ＝ x 0 ＝ 2 x 0 ， ∴ 切线方程为 y － y 0 ＝ 2 x 0 ( x － x 0 ) ， 由 P (3,5) 在所求直线上得 5 － y 0 ＝ 2 x 0 (3 － x 0 ) ， ① 再由 A ( x 0 ， y 0 ) 在曲线 y ＝ x 2 上得 y 0 ＝ x ， ② 联立 ① ， ② 得， x 0 ＝ 1 或 x 0 ＝ 5. 从而切点 A 的坐标为 (1,1) 或 (5,25). 当切点为 (1,1) 时， 切线的斜率为 k 1 ＝ 2 x 0 ＝ 2 ， 此时切线方程为 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 y ＝ 2 x － 1 ， 当切点为 (5,25) 时，切线的斜率为 k 2 ＝ 2 x 0 ＝ 10 ， 此时切线方程为 y － 25 ＝ 10( x － 5) ， 即 y ＝ 10 x － 25. 综上所述，过点 P (3,5) 且与曲线 y ＝ x 2 相切的直线方程为 y ＝ 2 x － 1 或 y ＝ 10 x － 25. 反思与感悟　 (1) 求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程； (2) 求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按 (1) 完成解答 . 跟踪训练 2 　已知曲线 y ＝ 2 x 2 － 7 ，求： (1) 曲线上哪一点的切线平行于直线 4 x － y － 2 ＝ 0? (1) 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 则 4 x 0 ＝ 4 ， x 0 ＝ 1 ， y 0 ＝－ 5 ， ∴ 切点坐标为 (1 ，－ 5). 即曲线上点 (1 ，－ 5) 的切线平行于直线 4 x － y － 2 ＝ 0. (2) 曲线过点 P (3,9) 的切线方程 . 解　 由于点 P (3,9) 不在曲线上 . 设所求切线的切点为 A ( x 0 ， y 0 ) ， 则 切线的斜率 k ＝ 4 x 0 ， 故所求的切线方程为 y － y 0 ＝ 4 x 0 ( x － x 0 ). 解得 x 0 ＝ 2 或 x 0 ＝ 4 ， 所以 切点为 (2,1) 或 (4,25). 从而所求切线方程为 8 x － y － 15 ＝ 0 和 16 x － y － 39 ＝ 0. 跟踪训练 3 　 若曲线 y ＝ x 3 ＋ 3 ax 在某点处的切线方程为 y ＝ 3 x ＋ 1 ，求 a 的值 . 解　 ∵ y ＝ x 3 ＋ 3 ax . 设曲线与直线相切的切点为 P ( x 0 ， y 0 ) ， 结合已知条件，得 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 函数 f ( x ) 在 x 0 处可导， 则 ( 　　 ) A. 与 x 0 、 h 都有关 B. 仅与 x 0 有关，而与 h 无关 C. 仅与 h 有关，而与 x 0 无关 D. 与 x 0 、 h 均无关 4 B 2. 函数 y ＝ 3 x 2 在 x ＝ 1 处的导数为 ( 　　 ) A.12 B.6 C.3 D.2 1 2 3 4 ＝ 6. B 1 2 3 3. 若曲线 y ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 在点 (0 ， b ) 处的切线方程是 x － y ＋ 1 ＝ 0 ，则 ( 　　 ) A. a ＝ 1 ， b ＝ 1 B. a ＝－ 1 ， b ＝ 1 C. a ＝ 1 ， b ＝－ 1 D. a ＝－ 1 ， b ＝－ 1 4 ∴ a ＝ 1. 又 (0 ， b ) 在切线上， ∴ b ＝ 1 ，故选 A. A 1 2 3 4 4. 设函数 f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数为 A ，试求下列各式的值 . 1 2 3 4 呈 重点、现 规律 1. 导数 f ′ ( x 0 ) 的几何意义是曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，即 k ＝ ＝ f ′ ( x 0 ) ，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 . 2. 利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上 . 如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )( x － x 0 ) ；若已知点不在切线上，则设出切点 ( x 0 ， f ( x 0 )) ，表示出切线方程，然后求出切点 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看